北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 設(shè)集合，，則集合（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即得.
【詳解】集合，，所以.
故選：A
2. 已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)除法運算計算即得.
【詳解】由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，得，
則，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.
故選：D
3. 已知向量，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算和三角函數(shù)的倍角公式求出結(jié)果.
詳解】已知向量，，由，
則，即，
又，
故選：A.
4. 已知雙曲線的左右焦點依次為，，且，若點在雙曲線的右支上，則（）
A. B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得，，求出，根據(jù)雙曲線的定義即可求出的值.
【詳解】
由題意知，，，
，
雙曲線，
點在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義得，，
故選：B.
5. 設(shè)，若，則（）
A. 80B. 40C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令,求出，結(jié)合為的系數(shù)，求出這一項即可求出.
【詳解】令，則可得，
又，則，
又為的系數(shù)，且，
因此.
故選：C.
6. “一尺之錘，日取其半，萬世不竭”語出《莊子·天下》，意思是一尺長的棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長度小于0.33厘米，則需要截取的最少次數(shù)為（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由題可知截取第n次后，剩余的棍棒長為尺, 然后列不等式可求出n的值.
【詳解】由題意可知第一次剩余的棍棒長度為12尺，
則第n次剩余的棍棒長為尺，
由，解得，
所以當(dāng)剩余的棍棒長度小于1厘米時,需要截取的最少次數(shù)為7.
故選: C.
7. 已知直線與交于、兩點，則“”是“的面積取得最大值”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的面積公式可得，當(dāng)時，的面積取得最大值，利用等面積求出圓心到直線的距離，
再由點到直線的距離公式求出的值，最后結(jié)合充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
由，可得圓心，半徑，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
此時，
由等面積可得點到直線的距離，
又點到直線的距離，
解得，，
因此“”是“的面積取得最大值”的充分必要條件.
故選：C.
8. 設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（）
A. B. 3C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.
【詳解】由，得，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為3.
故選：B
9. 將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，當(dāng)時，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】現(xiàn)根據(jù)平移得到的表達(dá)式，再由，可知在處，一個取最小值，一個取最大值，且相鄰，進(jìn)而可以列出等式，求解即可.
【詳解】的圖象向左平移個單位后得到，
因為，
所以在處，一個取最小值，一個取最大值，
不妨設(shè)，，
則，
因為，則，解得.
故選:.
10. 邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角.設(shè)為的中點，為的中點，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作圖，根據(jù)二面角的定義，余弦定理，可得是兩腰為1，底邊為的等腰三角形，從而可得旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，將該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑再轉(zhuǎn)化為其軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑，最后根據(jù)等面積求出，即可得到該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積.
【詳解】由邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角，
則可得，，，，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
又為的中點，為的中點，為的中點，
則可得,,
過作于點，連接，
則，平面，
又平面，
又，，，,
，
在中，，
又，
，
將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，
作出其軸截面，如圖，
則該軸截面中和為邊長為1的等邊三角形，
該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑即為菱形的內(nèi)切圓的半徑，
由等面積法，則，
即，則，
因此該旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球的表面積為.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于得到旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，其次把求旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑，轉(zhuǎn)化為求軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一個社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為____________.
【答案】##
【解析】
【分析】由全概率公式求解可得.
【詳解】記事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是甲班的”，
事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是乙班的”，
“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是女生”，
則，且互斥，，
由題意可知，，，
且，，
由全概率公式可知
，
即該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.
故答案為：.
12. 設(shè)函數(shù)，若的最小值為，則的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)求的函數(shù)值的范圍，結(jié)合條件及對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性列不等式求.
【詳解】當(dāng)時，，
由反比例函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，故，
又函數(shù)上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，的函數(shù)值的最小值為，
因為的最小值為，
所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知數(shù)列滿足，，設(shè)，則____________；的最小值為____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列求出，進(jìn)而求出及其的最小值.
【詳解】由，得，而，則，
因此數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，，
，所以當(dāng)時，取得最小值.
故答案為：；
14. 已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則____________.
【答案】5
【解析】
【分析】求出拋物線焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點的縱坐標(biāo)即可得解.
【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程，，
由消去得，則，由，得，
聯(lián)立解得或，因此，所以.
故答案為：5
15. 平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越大，圓越大，曲率越小.定義函數(shù)的曲率函數(shù)（其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），函數(shù)在處的曲率半徑為此處曲率的倒數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1；
②函數(shù)的曲率恒為；
③函數(shù)的曲率半徑隨著變大而變大；
④若函數(shù)在與（）處的曲率半徑相同，則.
其中，所有正確結(jié)論的序號是_____________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)給定的定義，求出各個命題中的，由有無數(shù)個解判斷①；計算判斷②；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性判斷③；由有兩個不等正根，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合極值點偏移推理判斷④.
【詳解】對于①，，則，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1，①正確；
對于②，，，則，，②正確；
對于③，，則函數(shù)的曲率半徑，
令，求導(dǎo)得，
由，得，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，③錯誤；
對于④，，則函數(shù)的曲率半徑，
依題意，，令，則方程有兩個不等正根，
即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
因此當(dāng)時，方程有兩個不等正根，不妨令，
令函數(shù)，求導(dǎo)得
，
而，
則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
令，則，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即，④正確，
所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.
故答案為：①②④
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在五面體中，平面，平面.
（1）求證：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定性質(zhì)推理即得.
（2）結(jié)合已知可得直線兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，再利用線面角的向量求求解即得.
【小問1詳解】
由平面，平面，得，而平面，平面，
則平面，又平面，平面平面，
所以.
【小問2詳解】
令，則，有，
于是，由已知得直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)，其中，，若在上單調(diào)遞減，且，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)時，函數(shù)恰有一個零點，求的取值范圍.
條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）條件①結(jié)合的單調(diào)性比較大小可知不符合要求；條件②③結(jié)合函數(shù)的對稱性與周期關(guān)系待定，再由最值點代入求即可；
（2）整體換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上恰有一個公共點，結(jié)合圖象可得.
【小問1詳解】
.
由，則周期為，且最大值為，最小值為.
由在上單調(diào)遞減，且，
得的圖象關(guān)于直線對稱，所以在單調(diào)遞增.
條件①由在單調(diào)遞增，，
得，故，
這與最小值為矛盾，故不選條件①；
選擇條件②：在上單調(diào)遞減，且，，
則，所以，解得，
所以，
由得，故，解得，
故；
選擇條件③：在單調(diào)遞增，由知關(guān)于對稱，
由，則關(guān)于對稱，且與為相鄰的對稱軸，
故，所以，解得，
所以，
由得，故，解得，
故；
【小問2詳解】
函數(shù)恰有一個零點，
即與的圖象在上恰有一個公共點.
,，
設(shè)，，
要使與的圖象在上恰有一個公共點，
則，即.
18. 為了調(diào)研某地區(qū)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區(qū)隨機選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）從這10所學(xué)校中隨機選取1所，已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；
（2）已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學(xué)校評定為“基地學(xué)?！?現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取2所，設(shè)“基地學(xué)?！钡膫€數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，并專門對這3個動作進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在此集訓(xùn)測試中，李華同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學(xué)在集訓(xùn)測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達(dá)到5次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？（結(jié)果不要求證明）
【答案】（1）12
（2）分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）先將題設(shè)的數(shù)據(jù)整理為表格，根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合條件概率的計算公式可求概率；
（2）結(jié)合超幾何分布可求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）先求出李華在一輪測試中“優(yōu)秀”的概率，再結(jié)合二項分布的期望公式可求至少要進(jìn)行多少輪測試.
【小問1詳解】
由題設(shè)可得如下數(shù)據(jù)：
設(shè)為“學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人”，
為“該校參與“單板滑雪”超過30人”，則，
而，故.
故已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，
該校參與“單板滑雪”超過30人的概率為12.
【小問2詳解】
參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，的所有可能取值為，
所以，，，
所以的分布列如下表：
所以.
【小問3詳解】
記“李華在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件，則，
由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，
由題意列式，得，
因為，所以的最小值為，故至少要進(jìn)行輪測試.
19. 已知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形.
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）若過點與點的直線交橢圓于，兩點，過點且與直線平行的直線交軸于點，直線與直線于點，求的值.
【答案】（1）;
（2）1
【解析】
【分析】（1）由題可知，再由條件兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形可知，結(jié)合求解，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率.
（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，由韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系；根據(jù)平行得到斜率相等，可以寫出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，聯(lián)立直線得到點的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可.
【小問1詳解】
依題意得，
解得,
所以橢圓C的方程為，離心率.
【小問2詳解】
由于，所以直線l的斜率不為0.
設(shè)直線l的方程為:,，
聯(lián)立，消去并整理得，
其中，
所以，
對于直線l的方程，令，得，
所以點M的坐標(biāo)為，
由于直線的斜系為，
直線直線,所以，
從而直線的方程為，
令，有
將代入，得，
于是點N的坐標(biāo)為
由于直線的斜率為，
所以直線的方程為,
因為，
，
即
即，
其中，
所以，
于是有，
從而得
即點的坐標(biāo)為，
因為
其中分子為
將和代入,有，
因此有
即，
即點為點和點的中點，
故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于求出的坐標(biāo)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.
20. 已知函數(shù)，其中.
（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意，都有，求的值.
【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，由題意得求出，檢驗可得；
（2）先將“不等式恒成立”問題等價轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題，再構(gòu)造函數(shù)，由與，分三類探究即可.
【小問1詳解】
，由，函數(shù)定義域為.
則，
∵在處取得極值，
∴，
設(shè)，則在單調(diào)遞減，
至多一個實數(shù)根，又，
方程有且僅有一個實數(shù)根.
當(dāng)時，，其中.
，，
當(dāng)時，，則，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則，在單調(diào)遞減；
所以在處取得極大值，極大值為.
故的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)時，在處取最大值，且最大值為，
即任意時，都有，滿足題意.
由，得，
令，則，不等式轉(zhuǎn)化為，
即在恒成立.
設(shè)，其中，
，其中，
①當(dāng)時，且，
故存在，使，由在單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，
所以，故不滿足恒成立，即不合題意；
②當(dāng)時，且，
故存在，使，由在單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
所以，故不滿足恒成立，即不合題意；
綜上所述，若對于任意，都有，則.
【點睛】已知不等式恒成立求參數(shù)問題，我們可以先取定義域內(nèi)的一個或幾個特殊點探路.如題目第（2）問中得到，由恒成立，考慮，再借助與的大小分類討論求解即可.
21. 已知為有窮實數(shù)數(shù)列.對于實數(shù)，若中存在，使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)，將所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合記作.
（1）設(shè)數(shù)列，寫出，并寫出一個與不同的數(shù)列使得；
（2）求所有的整數(shù)，使得存在數(shù)列滿足；
（3）設(shè)數(shù)列與數(shù)列滿足，，，.證明：.
【答案】（1）.（答案不唯一）；
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列舉可求，舉例數(shù)列滿足即可；
（2）法一，按集合中最大最小元素的符號進(jìn)行討論，分最小元素、最大元素、三類討論滿足題意條件的可能性，再對有可能的取值舉例驗證；
法二，先對可能的取值舉例，再對其他情況用反證法證明其不符合要求；
（3）利用等式與不等式的性質(zhì)得，結(jié)合放縮法對比兩相等集合確定，再轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分析出，故得證.
【小問1詳解】
數(shù)列，所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合，
則；，
則.
令數(shù)列，所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合，
設(shè)，
則，故，
數(shù)列是一個與不同的數(shù)列，且滿足；
（其他參考答案：；
.答案不唯一）
【小問2詳解】
若數(shù)列滿足，不妨設(shè).
假設(shè)數(shù)列只有兩項，則中至多3個元素，
這與中有4項矛盾，故假設(shè)錯誤，
所以數(shù)列至少3項，即.
①當(dāng)時，由，
得，且，
解得，所以，又，所以，即；
②當(dāng)，即時，由，
得，且，
解得，所以，又，則；
③當(dāng)時，由，.
綜上所述，可能的取值有.
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
綜上所述，滿足題意所有整數(shù)有；
法二：當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，令數(shù)列，滿足；
當(dāng)時，假設(shè)滿足，
得，
則且中存在某項或連續(xù)若干項的和為，
所以必存在某項或連續(xù)某些項的和為，這與矛盾，
故不存在數(shù)列滿足；
當(dāng)時，假設(shè)滿足，
則，且，
中存在若干連續(xù)的項和為，
所以必存在某項或連續(xù)某些項的和為，這與矛盾.
故不存在數(shù)列滿足.
綜上所述，滿足題意所有的整數(shù)有；
【小問3詳解】
，，
由題意可知中最小和最大元素分別為和；
中最小和最大元素分別為和.
因為，所以，
故，
由，則，
因為，由，所以，
又，是連續(xù)項之和中最大的連續(xù)可表數(shù).
故中比大，且比小的元素只可能是
連續(xù)項之和或，
由，，
又
，
所以.
即，
則，由知，而，
所以，故
故得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題目屬于數(shù)列與集合綜合考查的新定義題型，解答關(guān)鍵有三點：
一是對新定義的透徹理解，理解連續(xù)可表數(shù)的定義，核心就是數(shù)列連續(xù)幾項（可以是一項）之和；二是由集合中最大元素與最小元素與數(shù)列中最大（?。╉椉八许椫椭g關(guān)系的分類討論；三是兩集合相等條件的轉(zhuǎn)化，最大與最小元素必對應(yīng)相等，再由不等式，結(jié)合數(shù)列的正項有序性，利用放縮法與不等式的性質(zhì)確定兩元素的相等關(guān)系.
自由
單板
0
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2

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