2021-2022學(xué)年北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列，，， ，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將分別代入四個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，利用排除法即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，，，不符合題意，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，不符合題意，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于D：，不符合題意，故選項(xiàng)D不正確；對(duì)于C：，，，, 符合題意，故選項(xiàng)C正確；故選：C.2．有3張獎(jiǎng)券，其中2張可中獎(jiǎng)，現(xiàn)3個(gè)人按順序依次從中抽一張，小明最后抽，則他抽到中獎(jiǎng)券的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)每人抽到中獎(jiǎng)券的概率都相等，與抽簽順序無(wú)關(guān)，即可得到答案.【詳解】有3張獎(jiǎng)券，其中2張可中獎(jiǎng)，每人依次從中抽一張，每人抽到中獎(jiǎng)券的概率都為，故小明最后抽，則他抽到中獎(jiǎng)券的概率也是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能事件的概率，注意每個(gè)人抽到中獎(jiǎng)券的概率相等，與抽簽先后順序無(wú)關(guān)，屬于簡(jiǎn)單題.3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(a，b)，導(dǎo)函數(shù)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)在(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（       ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)極大值點(diǎn)的定義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象分析判斷即可【詳解】由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在(a，b)上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè)．故選：B4．已知一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)時(shí)間從變到時(shí)，物體的位移為，那么為A．時(shí)間從變到時(shí)物體的速度B．在時(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度C．當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度D．時(shí)間從變到時(shí)物體的平均速度【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率、瞬時(shí)速度定義進(jìn)行判斷選擇.【詳解】表示從時(shí)間t到時(shí)物體的平均速度，從而表示在t時(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度．選B.【點(diǎn)睛】本題考查平均變化率、瞬時(shí)速度定義,考查基本分析識(shí)別能力,屬基礎(chǔ)題.5．已知函數(shù)，那么（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】．故選：C．6．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（       ）A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)【答案】C【解析】根據(jù)超幾何分布列式求解即可．【詳解】X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故選：C.7．曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（     ）A．e2 B．2e2 C．e2 D．【答案】D【分析】求函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，得到切線(xiàn)斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，求出切線(xiàn)坐標(biāo)軸上的截距，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>y′＝ex，所以切線(xiàn)的斜率k＝e2，所以切線(xiàn)方程為y＝e2x－e2，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－e2)，(1，0)，所以切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故選：D8．遞增的等比數(shù)列中，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由為遞增的等比數(shù)列，可知，與聯(lián)立求解，，確定公比，再根據(jù)，求解，即可.【詳解】為遞增的等比數(shù)列①，又②①②聯(lián)立解得，，即即故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.9．已知袋子內(nèi)有7個(gè)球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球，那么在已知第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)古典概型概率公式可分別求得“第一次抽到紅球”和“第一次和第二次都抽到紅球”的概率，利用條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“第一次抽到紅球”為事件；記“第二次抽到紅球”為事件，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的關(guān)系是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)，的關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】由函數(shù)圖象知，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，即，是的兩個(gè)根，又，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為是的等比中項(xiàng)，，則S10等于（ ）A．18 B．24 C．60 D．90【答案】C【詳解】依題意可得，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．由，可得，解得所以，故選C12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中的遞推關(guān)系式及，依次取，，，可分別求出，，，的值，即可求得答案.【詳解】由題意得，又，所以，易得，則，同理，，，故故選：B13．某隨機(jī)變量的取值為，，，若，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，則由，，列出方程組，求出，．【詳解】解：設(shè)，，①，又，②由①②得，，，所以故選：B.14．在等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使an>0成立的n的最大值為 (   )A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】由題意可得S15   =15a8＞0，即a8＞0；同理可得S16= =8（a8+a9）＜0，即a8+a9＜0，綜上可得a8＞0，a9＜0，故等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．故數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，故使an＞0成立的n的最大值為8故選C點(diǎn)睛：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式結(jié)合題意可得，得到a8＞0，a9＜0，進(jìn)而可得數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，故數(shù)列從第九項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，前八項(xiàng)都為正.從而得到答案.15．在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A發(fā)生次數(shù)的期望和方差分別為   A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求得，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差的公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，因?yàn)槭录?/span>至少發(fā)生一次的概率為，即，解得，則事件發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以事件發(fā)生的次數(shù)的期望為，方差為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算，以及二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算，其中解答中熟記獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算公式，以及二項(xiàng)分布的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．若數(shù)列滿(mǎn)足則“”是“為等比數(shù)列”的（       ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】,不妨設(shè)，則可證充分性；為等比數(shù)列且時(shí)得不到，可知必要性不成立【詳解】不妨設(shè)，則 為等比數(shù)列；故充分性成立反之若為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，， 當(dāng)時(shí)，所以必要性不成立故選：A．【點(diǎn)睛】(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與中項(xiàng)公式法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證．17．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和是，那么數(shù)列的前項(xiàng)和是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：，..故C正確.【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.18．已知函數(shù)，且，則等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出，利用并項(xiàng)求和法可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)任意的，，因此，.故選：C.19．已知函數(shù)，若且滿(mǎn)足，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)間的關(guān)系及范圍，然后把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其取值范圍．【詳解】由題意時(shí)，是減函數(shù)，且，時(shí)，是減函數(shù)，且，由且得，，，，，所以，，設(shè)，，時(shí)，，是增函數(shù)，所以，即，所以．故選：C．20．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，部分對(duì)應(yīng)值如下表：的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的命題：① 函數(shù)是周期函數(shù)；② 函數(shù)在是減函數(shù)；③ 如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4；④ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是 A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【詳解】①顯然錯(cuò)誤；③容易造成錯(cuò)覺(jué)，tmax＝5；④錯(cuò)誤，f(2)的不確定影響了正確性；②正確，可由f′(x)<0得到．二、填空題21．若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是________．【答案】【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求切線(xiàn)的方程.【詳解】由題意知，切線(xiàn)的斜率．所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即．故答案為：．22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則________.【答案】【分析】先利用公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不適合上式，.因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用前項(xiàng)和求通項(xiàng)，一般利用公式，但需要驗(yàn)證是否滿(mǎn)足，考查計(jì)算能力，屬于中等題.23．已知在定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意知對(duì)于恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可求解.【詳解】由題意知對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，令，只需要即可，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，最小為，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.24．某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是去年200例類(lèi)似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果.投資成功投資失敗192次8次 則該公司一年后估計(jì)可獲收益的平均數(shù)是________元.【答案】4760【分析】設(shè)可獲收益為x萬(wàn)元，先求出投資成功與失敗的概率和收益，再計(jì)算收益的平均數(shù)，即得解.【詳解】設(shè)可獲收益為x萬(wàn)元，如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為－5×50%，一年后公司成功的概率估計(jì)為＝，失敗的概率估計(jì)為＝，所以一年后公司收益的平均數(shù)＝（元）.故答案為：476025．若數(shù)列滿(mǎn)足，且，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合遞推關(guān)系式與歸納推理，分別求出數(shù)列前20項(xiàng)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知，或，或，、或，、或，、、或，以此類(lèi)推，、、、、、、、… ，、、、、、、、… .故，，，以此類(lèi)推，得.故答案為：.【點(diǎn)睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．26．已知在數(shù)列中，，，其前n項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①時(shí)，；②；③當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；④對(duì)任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①②④【分析】①依題意可得，即可求出，②表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；利用特殊值判斷③，④利用構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)列成等比數(shù)列，即可得到結(jié)論；【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，則，即，則，則，，則；故①正確．②因?yàn)?/span>，，所以，，即，故②正確；③當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則由，，得，則，則，故數(shù)列是遞增數(shù)列錯(cuò)誤；故③錯(cuò)誤．④設(shè)，則，，，即存在，數(shù)列成等比數(shù)列，此時(shí)公比；故④正確；故答案為：①②④三、解答題27．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）最大值； 最小值1．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解；（2）比較端點(diǎn)函數(shù)值和極值的大小即得解.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．   ．   令，解得． ，的變化情況如下表所示．1－0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增 所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)?， ， ，          所以，時(shí)，有最大值；時(shí)，有最小值1．28．《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)本記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖1）．其中四邊形為矩形，，和是三角形，“芻甍”字面意思為茅草屋頂．圖是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)．它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖，屋頂五面體為“芻甍”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)F在平面和上射影分別為H，M，已知米，米，梯形的面積是面積的倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知上部屋頂造價(jià)由屋頂面積確定，造價(jià)為元/平方米，下部主體造價(jià)由高度確定，造價(jià)為元/米．現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為米的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由題意知，在中，，得的面積為，從而得屋頂面積為；（2）別墅總造價(jià)為，令，求導(dǎo)求最值即可求解.【詳解】（1）由題意知平面，，又因?yàn)?/span>平面，所以，在中，，，所以，因此的面積為，從而得屋頂面積為，所以屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，；（2）在中，，所以主體的高度為，所以，令，，則，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出的邊角關(guān)系，表示出的面積，第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是求出下部主體的高度即可表示出別墅總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.29．設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.(2)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)的極大值為，極小值為；(2)或；(3).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)的極值；（2）求導(dǎo)得，令，等價(jià)于在內(nèi)滿(mǎn)足或恒成立，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，,進(jìn)而得的取值范圍．（3）先假設(shè)存在，因?yàn)?/span>，若在，上存在實(shí)數(shù)，使得，在區(qū)間，上分別求出和的最大值和最小值，然后討論求解．（1）解：由已知，得，時(shí)，．令，可得或，函數(shù)在，，上為單調(diào)增函數(shù)，在，上為單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：，令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)，滿(mǎn)足或恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)樵?/span>內(nèi)有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，綜上，的取值范圍為或．（3）解：，在，上是減函數(shù)，時(shí)，；時(shí)，，即，.①時(shí)，由（2）知在，遞減（1），不合題意.②時(shí)，由，，不合題意③時(shí)，由（1）知在，上是增函數(shù)，故只需，，，而（e），，，解得．故的取值范圍為，． 

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