注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）
1．絕對值等于7的數是（ ）
A．7B．C．7或D．
2．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．有9名同學參加歌詠比賽，他們的預賽成績各不相同，現(xiàn)取其中前4名參加決賽，小紅同學在知道自己成績的情況下，要判斷自己能否進入決賽，還需要知道這9名同學成績的（ ）
A．中位數B．眾數C．平均數D．加權平均數
4．如圖，是一個正方體紙盒的平面展開圖，則寫有“為”字的面所對的面上的是（ ）
A．漢B．！C．武D．加
5．“踐行垃圾分類·助力雙碳目標”主題班會結束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池數量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據題意可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
6．將一塊三角板和一塊直尺如圖放置，若，則的度數為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在和中，，，，直線，交于點，連接．下列結論：①，②，③，④平分，其中正確結論的個數是( )
A．B．C．D．
8．若拋物線向右平移m個單位長度后經過點，則（ ）
A．B．或4C．2或4D．2或
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
9．袁隆平院士被譽為“雜交水稻之父”，經過他帶領的團隊多年艱苦努力，目前我國雜交水稻種植面積達2.4億畝，每年增產的糧食可以養(yǎng)活8000萬人，將數據8000萬用科學記數法表示為8×10n，則n的值為_____．
10．單項式的系數是______，多項式的次數是______．
11．將函數化為形式為___________．
12．若是關于x、y的二元一次方程的解，則______．
13．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上一點．，，若，矩形ABCD的周長為26，則矩形ABCD的面積為________．
14．當______時，分式的值為零．
15．如圖，，，將向右平移到位置A的對應點是，的對應點是，反比例函數的圖像經過點和的中點，則k的值是______．
16．廊橋是我國古老的文化遺產．如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是__________米．
17．如圖，在扇形中，，以點B為圓心，長為半徑畫弧交弧于點A，得扇形，若，則圖中陰影部分的面積為______．
18．如圖，已知，于點，于點A，點E是的中點，連接并延長交于點F，，，則的長為__________．
三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）
19．（10分）（1）計算：(－1)2021＋(2sin30°＋)0－＋（2）因式分解：（a-b）(a-4b)+ab．
20．（10分）解下列方程：
(1)(2)
21．（7分）2020年春節(jié)期間，全國爆發(fā)了新型冠狀病毒傳染的肺炎，對環(huán)境的治理工作迫在眉睫．某社區(qū)為了疫情防控落實到位，社區(qū)成立了甲、乙兩個檢查組，采取隨機抽查的方式分別對轄區(qū)內的，，，四個小區(qū)進行檢查，并且每個小區(qū)不重復檢查．
(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是___________；
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū)，同時乙組抽到小區(qū)的概率．
22．（7分）如圖①是一本長為26cm，寬為、厚為的數學書．小明用一張面積為的矩形紙包好了這本數學書，書皮展開后如圖②所示，圖中虛線為折痕，陰影是裁剪掉的部分，四角均為大小相同的小正方形，小正方形的邊長即為折疊進去的寬度，設小正方形的邊長（即折疊進去的寬度）為xcm．
(1)矩形書皮的長為______，寬為______（用含x的代數式表示）．
(2)求小正方形的邊長x的值．
23．（8分）如圖，中，，點P在上，，，垂足分別為D，E，已知．
(1)試說明；
(2)求BE多長？
24．（8分）已知，如圖，的三個頂點都在上，直徑，為的弦，，于，，交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)求的長．
25．（7分）一個不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別標有數字，，0，1，它們除標號外無其他差別．
(1)隨機從袋子中摸出一個小球，直接寫出摸出的球上面標號是負數的概率；
(2)小聰先從袋子中隨機摸出一個小球記下數字，然后放回攪勻，接著小明從袋子中隨機摸出一個小球記下數字．若兩次數字之積為正數，則小聰獲勝；若兩次數字之積為負數，則小明獲勝．請判斷這種安排是否公平？并說明理由．
26．（8分）如圖，在已知中，是的角平分線．
(1)根據要求作圖：在邊上求作一點E，使得點E到A、D的距離相等．（不要求寫作法，但需要保留作圖痕跡和結論）
(2)在第（1）小題所作的圖中，求證：．
27．（9分）如圖，反比例函數過點，連接并延長交反比例函數圖象于點B，C為反比例函數圖象上一點，橫坐標為-4，一次函數經過B，C兩點，與x軸交于點D，連接．
(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)求四邊形的面積；
(3)當時，直接寫出自變量x的取值范圍．
28．（12分）【問題背景】太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈以及其他很多燈具都與拋物線有關．如圖，從點O照射到拋物線上的光線等反射以后沿著與平行的方向射出．
（1）若，則______；
【類比發(fā)現(xiàn)】如圖1、2、3，把呈拋物線的曲面鏡改成兩平面鏡，且，點O在的角平分線上，從點O照射到平面鏡上的光線，經過平面鏡與反射若干次．某創(chuàng)新興趣小組的成員發(fā)現(xiàn)，當光線和平面鏡的夾角（記為）與反射的總次數n（n是正整數）滿足某種數量關系時，反射光線可以沿著與平行的方向射出
（2）當光線經過平面鏡與反射n次后，沿平行的方向射出，根據反射的次數，填寫下表中角的度數：
（3）當光線經過平面鏡與反射n次后，沿平行的方向射出，則與n的數量關系為______；
【拓展延伸】若兩平面鏡的夾角，其他條件不變，當光線經平面鏡與反射n次后，沿著與平行的方向射出時，請直接寫出與n之間的數量關系為______．
經平面鏡反射的總次數n
1次
2次
3次
參考答案
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）
1、C
【分析】根據絕對值的意義解答即可．
【詳解】解：絕對值等于7的數是7或-7，故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的絕對值，一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．本題是絕對值性質的逆向運用，此類題要注意答案一般有2個，除非絕對值為0的數才有一個為0．
2、B
【分析】先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出解集即可．
【詳解】解：解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式組的解集為，
在數軸上表示為：，
故選：B．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵．
3、A
【分析】9人成績的中位數是第5名的成績．參賽選手要想知道自己是否能進入前4名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數，比較即可
【詳解】解：由于總共有9個人，且他們的分數互不相同，第5的成績是中位數，要判斷是否進入前5名，故應知道中位數的多少．
故選：A．
【點睛】本題主要考查統(tǒng)計的有關知識，掌握平均數、中位數、眾數、方差的意義是解題的關鍵．
4、B
【分析】根據正方體的平面展開圖的特點，相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形，且沒有公共的頂點，結合展開圖很容易找到寫有“為”字的對面是什么字．
【詳解】解：結合展開圖可知，“武”和“加”相對，“漢”和“油”相對，“為” 和“！”相對．
故選：B．
【點睛】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，知道相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形，且沒有公共的頂點，是解題關鍵．
5、A
【分析】根據題意找出等量關系列出方程組即可．
【詳解】解：由題意可知：
米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池??！”
，
琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池數量就是你的2倍”．
，
所列方程組為：，
故選：A．
【點睛】本題考查了根據實際問題列二元一次方程組，理解題意找出等量關系是解題的關鍵．
6、D
【分析】根據平行線的性質，可得，再由對頂角相等可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，
根據題意得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，對頂角相等，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握平行線的性質，直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．
7、B
【分析】由證明得出，，①②正確；由全等三角形的性質得出，由三角形的外角性質得：，得出，③正確；作于，于，則，即可判定，得出，由角平分線的判定方法得，假設平分，則可求出，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故④錯誤；即可得出結論．
【詳解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
即，
故①②正確；
由三角形的外角性質得：
，
，
，
故③正確；
作于，于，如圖所示，
則，
在和中，
，
，
，
平分，
，
假設平分，則，
，
，
即，
在與中，
，
，
，
，
，
而，故④錯誤；
正確的個數有個；
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定、三角形的外角性質、角平分線的判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
8、B
【分析】先由平移規(guī)律求出平移后的拋物線解析式，因為它經過點，所以再把點代入新的拋物線解析式即可求出的值．
【詳解】解：設把拋物線向右平移個單位長度后得到．
經過點，
，
解得：或．
故選：B．
【點睛】題主要考查了二次函數圖象平移和二次函數圖象上點的坐標特征，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
9、7
【分析】科學記數法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，由此進行求解即可．
【詳解】解：8000萬，故n的值為7，
故答案為：7．
【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．
10、
【分析】單項式的系數指的是單項式中的數字因數，多項式的次數指的是次數最高項的次數，由此即可求解．
【詳解】解：單項式的系數是，
多項式中，的次數是，的次數是，
∴多項式的次數是，
故答案為：，．
【點睛】本題主要考查單項式，多項式的概念，理解并掌握單項式的系數，多項式的次數的確定方法是解題的關鍵．
11、
【分析】配方法是指利用完全平方公式將二次函數轉化為的形式，函數的二次項系數為1，一次項系數為6，在等號的右邊加上一次項系數一半的平方并減去一次項系數一半的平方，組成完全平方公式，進而可得到答案．
【詳解】解：
故答案為：
【點睛】此題考查將二次函數一般式轉化為頂點式，利用配方法是解題關鍵．
12、7
【分析】把x與y的值代入方程計算得到的值，原式變形后代入計算即可求出值．
【詳解】解：由題意得，．
則．
故答案為：7．
【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解決本題的關鍵．
13、
【分析】由矩形的性質可得∠B=∠C=90°，又，則根據等量代換即可得∠EAB=∠FEC，利用AAS求得，可得AB=EC，結合矩形的周長則可求得AB，BC進而可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
又∵，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
在△AEB和△EFC中，
，
∴，
∴AB=EC，
又∵矩形ABCD的周長為26，BE=3
∴，
，
，
∴矩形ABCD的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定及性質、矩形的性質，熟練掌握三角形全等的判定及性質是解題的關鍵．
14、1
【分析】先化簡再將分子等于0計算即可．
【詳解】解：
使分式的值為0，則且
故答案為：1
【點睛】此題考查分式化簡求值，掌握分式值為零的條件是題關鍵．
15、24
【分析】作軸，軸，軸，設，表示出四邊形的面積，再根據相似三角形的性質得出，，即可表示出四邊形的面積，然后根據的幾何意義得出方程，求出，可得答案．
【詳解】解：過點作軸，軸，軸，根據題意，得，
設，
∴四邊形的面積是
∵是的中點，軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形的面積為，
∴，
解得，
∴
故答案為：24．
【點睛】本題主要考查了反比例函數中k的幾何意義，正確的作出輔助線構造矩形是解題的關鍵．
16．18
【分析】由題可知，、兩點縱坐標為8，代入解析式后，可求出二者的橫坐標，的橫坐標減去的橫坐標即為的長．
【詳解】解：由“在該拋物線上距水面高為8米的點”，
可知，
把代入得：
，
解得，
由兩點間距離公式可求出（米．
故答案為：18．
【點睛】本題考查的是二次函數的應用，掌握其性質是解決此題的關鍵．
17．
【分析】如圖，連接，由題意可知是等邊三角形，且故扇形全等于扇形，運用割補法可知，運用等邊三角形面積等于進行計算．
【詳解】解：如圖，連接，作于E，
以點B為圓心，長為半徑畫弧交弧于點A，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故扇形全等于扇形，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角形，割補法求不規(guī)則圖形的面積；解題的關鍵是割補法求面積、用勾股定理求邊長．
18．
【分析】由“”可證，可得，，由勾股定理可求的長，即可求的長．
【詳解】解：∵點E是的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在與中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴在中，，
∴.
故答案為：
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理，證明全等三角形是本題的關鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）
19．（1）1 （2）
【分析】（1）由冪運算的公式和立方根運算可直接得到答案．
（2）按整式乘法展開，合并同類項，進而由完全平方公式可得到答案．
【詳解】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【點睛】本題考查冪運算的基本公式、立方根運算、因式分解；熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
20． (1)， (2)，
【分析】（1）采用直接開平方法解方程即可；
（2）采用提取公因式法分解因式解方程即可．
【詳解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
或，
，．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法主要有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，選擇合適簡便的方法解一元二次方程是解題的關鍵．
21． (1) (2)
【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖得到所有可能的結果數，然后找出符合條件的結果數，再根據概率公式進行計算即可得．
【詳解】（1）解：根據題意得：
，
故答案為：；
（2）如圖：
共有12種等可能的結果數，滿足條件的結果數有1種，所以甲組抽到A小區(qū)，同時乙組抽到小區(qū)的概率為．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
22． (1)； (2)1
【分析】（1）根據題意和圖形直接列出表示矩形書皮的長和寬的代數式即可；
（2）根據長方形的面積公式列出關于x的一元二次方程，進而解方程即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意，矩形書皮的長為，
寬為，
故答案為：，；
（2）解：依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：小正方形的邊長x的值為1．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出代數式和方程是解答的關鍵．
23． (1)見解析， (2)2．
【分析】（1）根據已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，進而證明；
（2）由全等三角形性質可知．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）由（1）得，
∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，根據利用同角的余角相等證明角相等是證明關鍵．
24．(1)證明見解析 (2)
【分析】（1）連接，根據同弧或等弧所對的圓周角相等和角平分線的性質，得出，，再根據“”，得出，再根據全等三角形的性質，即可得出結論；
（2）連接，根據題意和圓周角定理，得出，進而得出，再根據等邊對等角，得出，進而得出，進而得出，再根據，計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、等邊對等角、等邊三角形的性質、圓的概念，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理，并正確作出輔助線．
25． (1) (2)不公平，理由見解析
【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；
（2）利用列表法求出所有可能得結果，然后計算出數字之積為正數和數字之積為負數的概念，然后比較求解即可．
【詳解】（1）在，，0，1中負數有2個，
∴摸出的球上面標的數字為負數的概率是；
（2）
由表知，共有16種等可能結果，其中數字之積為正數的共有5種，數字之積為負數的共有4種，
∴數字之積為正數的概率為，
數字之積為負數的概率為，
∵
∴這種安排不公平．
【點睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
26．(1)見解析 (2)見解析
【分析】（1）分別以點A和點D為圓心，以大于長為半徑畫弧相交于兩點，經過這兩點作直線交于點E即可；
（2）連結，由是的角平分線，得到，由是線段的垂直平分線，得到，則，得到，即可得到結論．
【詳解】（1）解：如圖所示，
∵點E在線段的垂直平分線上，
∴點E到A、D的距離相等．
（2）證明：連結，
∵是的角平分線，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
【點睛】此題考查線段垂直平分線的作圖和性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的判定等知識，熟練掌握線段垂直平分線的作圖和性質是解題的關鍵．
27． (1)， (2)9 (3)或
【分析】（1）將代入得出，即可得出反比例函數解析式，根據點A，B關于原點成中心對稱，求出B坐標為，將，代入，即可得出一次函數的解析式；
（2）作軸交于點E，設所在直線解析式為，將，代入即可得出，求出點D坐標為，點E坐標為，根據，進而得出答案；
（3）曲線在直線下方時，，根據圖象即可得出答案．
【詳解】（1）解：將代入得，
解得，
∴，
∵A，B在反比例函數圖象上，
∴點A，B關于原點成中心對稱，
∴點B坐標為，
把代入得，
∴點C坐標為，
將，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：如圖，作軸交于點E，
設所在直線解析式為，
將，代入，
得，
解得，
∴，
將代入得，
解得，
∴點D坐標為，
把代入得，
∴點E坐標為，，
∴
＝ ?（）+（）．
∴四邊形的面積．
（3）解：由圖象可得當或時，曲線在直線下方，
∴當時，或．
【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，求反比例函數解析式，一次函數解析式，求出函數解析式是解題的關鍵．
28．（1）；（2），，；（3），
【分析】（1）根據平行線的性質求解即可；
（2）首先根據角平分線的概念得到，然后結合鏡面反射的特點和三角形外角的性質，平行線的性質分別求解即可；
（3）根據（2）中的數據整理求解即可；
【詳解】（1）∵，
∴，
故答案為：；
（2）∵，點O在的角平分線上，
∴
如圖1，
∵
∴
∴，即；
如圖2，
∵
∴
∴
∴
∴；
如圖3
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
故答案為：，，；
（3）由（2）可得，
當時，
當時，
當時，
∴與n的數量關系為：，
故答案為：；
由上面的結論可得，
當兩平面鏡的夾角時，
．
故答案為：.
【點睛】此題考查了角平分線的概念，平行線的性質，軸對稱的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點。兩數之積
0
1
4
2
0
2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1

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2023年揚州市中考第二次模擬數學試卷（含答案解析）：

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