2023-2024學(xué)年蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊第9章《整式乘法與因式分解》單元綜合測試卷（含答案解析）

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2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元綜合測試卷 第9章《整式乘法與因式分解》 考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分 姓名：_________ 班級：_________ 學(xué)號：_________ 一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的） 1．計算-5a2.a3的結(jié)果是（???） A．-4a5 B．-4a6 C．-5a5 D．-5a6 2．下列各式不能用平方差公式直接計算的是（????） A．（-x+y）（x-y）B．（x-y）（-x-y）C．（x+2）（x-2）D．（-2x-y）（2x-y） 3．下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（????） A． B． C． D． 4．若等式成立，則的值是（????） A． B． C． D． 5．若長方形的一邊長為，另一邊比它長，則這個長方形的面積是（????） A． B． C． D． 6．若，，則，，的大小關(guān)系是（????） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 7．分解因式：． 8．多項式與的公因式是． 9．，則． 10．已知，計算的值為． 11．定義一種新運算：，則． 12．若關(guān)于的多項式展開后不含有一次項，則實數(shù)的值為． 13．若要使成為一個兩數(shù)差的完全平方式，則m的值應(yīng)為． 14．如果單項式與的差是一個單項式，則這兩個單項式的積是． 15．如圖，某小區(qū)要在長方形操場上鋪設(shè)塑膠地墊（地墊無縫拼接，不可剪裁），現(xiàn)有正方形地墊A，B和長方形地墊C若干張已知操場長、寬分別為和，則需要用到B地墊的張數(shù)為張． 16．現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式因式分解的結(jié)果是，若取時，則各個因式的值是：，，把這些值從小到大排列得到，于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式，取時，請你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼． 三、解答題（本大題共11小題，17,18每小題7分，19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27每小題9分，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．分解因式： （1）；（2）． 18．計算： （1）；（2）． 19．19．先化簡，再求值：，其中． 20．計算（用簡便方法）： （1）；（2）． 21．小軒計算時，將第一個多項式中的“”抄成“”，得到的結(jié)果是． （1）求的值； （2）請計算出這道題的正確結(jié)果． 22．某市有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規(guī)劃部分計劃將陰影部分進行綠化，中間修建一座雕像． ?? （1）請用含，的代數(shù)式表示綠化面積； （2）當，時，求綠化面積． 23．仔細閱讀下面例題，解答問題： 例題：已知關(guān)于x的多項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值． 解：設(shè)另一個因式為，得：，則， ∴，解得：，． ∴另一個因式為，m的值為－21． 問題：仿照以上方法解答下面問題： （1）二次三項式有一個因式是，求p的值； （2）已知關(guān)于x的多項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值； （3）已知關(guān)于x的多項式有一個因式為，求b的值． 24．利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸?，如圖2，則． 根據(jù)閱讀材料解決下列問題： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）結(jié)合本題知識，分解因式：． 25．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：，常數(shù)項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項系數(shù)就是：，即一次項為．認真領(lǐng)會小明同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題． （1）計算所得多項式的一次項系數(shù)為________． （2）所得多項式的二次項系數(shù)為________． （3）若計算所得多項式的一次項系數(shù)為0，則_________． （4）若，則________． 26．閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運用配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解． 例如：． 即：． 根據(jù)以上材料，解答下列問題： （1）因式分解：； （2）已知，，是的三邊長，且滿足，求的最長邊的取值范圍； （3）已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長． 27．觀察以下各等式，并完成問題． ；①； ；②； ；…… （1）請根據(jù)觀察結(jié)果，寫出空格中相應(yīng)的式子：①______，②______； （2）小明發(fā)現(xiàn)當時，形如，，的二次多項式的值都為0，他把這樣的式子叫作“二次原點式”，并記為．（其中m為常數(shù)，且）請寫出“二次原點式”的一個性質(zhì)：； （3）在（2）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)當與時，的值相等，其他二次原點式也有類似結(jié)論．他把能使二次原點式的值相等的兩個數(shù)a與b（）叫作該二次原點式的一組“和諧數(shù)對”．如1與是的一組“和諧數(shù)對”．請?zhí)骄縜，b與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。參考答案 一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的） 1．C 【分析】本題考查了單項式的乘法，單項式與單項式的乘法法則是，把它們的系數(shù)相乘，字母部分的同底數(shù)的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式．根據(jù)運算法則計算即可． 【詳解】解：-5a2.a3=-5a5．故選C． 2．A 【分析】本題考查了平方差公式．熟練掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解題的關(guān)鍵。 根據(jù)平方差公式的形式進行判斷作答即可。 【詳解】解：A中，不能用平方差公式直接計算，故符合要求； B中，能用平方差公式直接計算，故不符合要求； C中，能用平方差公式直接計算，故不符合要求； D中，能用平方差公式直接計算，故不符合要求； 故選：A． 3．D 【分析】本題考查的是因式分解的意義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定義判斷即可． 【詳解】解：A、，從左到右的變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意； B、，右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意； C、，右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意 D、，符合因式分解的定義，故本選項符合題意． 故選：D． 4．C 【分析】此題考查了多項式乘以多項式，將等式左側(cè)運算，利用對應(yīng)項的系數(shù)相同即可求出的值，正確使用多項式的乘法法則是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：， ∵， ∴， 故選：． 5．A 【分析】本題考查了整式乘法的運用，熟練掌握長方形的面積公式以及整式乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：由題意得，長方形的另一邊長為：， 所以長方形的面積為： ，故A正確． 故選：A． 6．B 【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較，平方差公式，積的乘方，零指數(shù)冪，將各數(shù)進行計算求得正確的結(jié)果是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解： ， ， ， ，故選：B． 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 7． 【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【詳解】解； ， 故答案為：． 8． 【分析】把每個多項式先因式分解，然后選出公有的因式即可． 【詳解】解：， ， 多項式與的公因式是：． 故答案為：． 【點睛】本題考查了因式分解，公因式的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 9． 【解析】略 10． 【分析】本題考查了多項式乘以多項式運算和整體代入求值，解題的關(guān)鍵是求出． 【詳解】解：， ， ， 故答案為：． 11．/ 【分析】本題考查整式的混合運算、新定義，根據(jù)，可以將所求式子變形，然后化簡即可，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答． 【詳解】解：∵， ∴ ， ， 故答案為：． 12． 【分析】本題考查多項式乘多項式不含某一項的問題．利用多項式乘多項式的法則化簡后，使一次項的系數(shù)為0，進行求解即可． 【詳解】解：∵ ， ∵乘積不含一次項， ∴， ∴； 故答案為：． 13． 【分析】本題考查了完全平方公式．熟練掌握是解題的關(guān)鍵． 由題意知，，即，計算求解即可． 【詳解】解：由題意知，， ∴， 解得，， 故答案為：． 14．/ 【分析】根據(jù)與的差是一個單項式，可得兩者為同類項，進而得出兩個單項式分別為，，進一步計算即可． 【詳解】解：∵單項式與的差是一個單項式， ∴與是同類項， ∴兩個單項式分別為，， ∴這兩個單項式的積是， 故答案為：． 【點睛】本題考查了合并同類項，單項式的乘法，熟練掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵． 15．48 【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握多項式乘以多項式運算法則，用邊長表示出操場的面積即可求解． 【詳解】解：操場長和寬分別為和， ∴操場的面積為， ∴需要96張A型地墊，48張B型地墊，136張C型地墊， 即，需要用到B型地墊的張數(shù)為48張． 故答案為：48． 16． 【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識點，正確進行因式分解是解題的關(guān)鍵． 把所求的代數(shù)式分解因式后整理成條件中所給出的代數(shù)式的形式，然后整體代入即可解答． 【詳解】解：， 當時，， 所以把它們從小到大排列得到． 用上述方法產(chǎn)生的密碼是：． 故答案為：． 三、解答題（本大題共11小題，17,18每小題7分，19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27每小題9分，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．（1）；（2） 【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法． （1）用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【詳解】（1） （2） 18．（1）；（2） 【分析】本題考查了整式混合運算的計算法則以及平方差公式和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）利用平方差公式和整式乘法得運算法則，即可求解； （2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【詳解】（1）解： （2） 19．， 【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項式除以單項式的計算法則去括號，然后合并同類項，再推出，即可利用整體代入法求出答案． 【詳解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式 20．（1）1；（2）20000 【分析】本題考查了平方差公式、完全平方公式的逆運用： （1）先整理為平方差公式，得，再化簡，即可作答． （2）先提取公因數(shù)2，得，再運用完全平方公式的逆運用，進行化簡計算，即可作答． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）；（2） 【詳解】解：（1）因為， 所以， 所以，，解得． （2）由（1），得． 22．（1）；（2） 【分析】本題考查了整式的乘法與圖形面積，列代數(shù)式，代數(shù)式求值； （1）根據(jù)陰影部分面積等于大長方形的面積減去小正方形的面積即可求解； （2）將字母的值代入，即可求解． 【詳解】（1）解：依題意， ； （2）解：當，時，． 23．（1）p的值為6；（2）另一個因式是，；（3） 【分析】本題主要考查了整式的乘法； （1）設(shè)另一個因式為，根據(jù)整式乘法的法則進行計算，得出關(guān)于p、n的方程，求解即可； （2）設(shè)另一個因式為，根據(jù)整式乘法的法則進行計算，得出關(guān)于k、n的方程，求解即可； （3）設(shè)另一個因式為，根據(jù)整式乘法的法則進行計算，得出關(guān)于m、n、b的方程，求解即可． 【詳解】（1）解：設(shè)二次三項式的另一個因式為， 則， 即， ∴， 解得， 答：p的值為6； （2）設(shè)關(guān)于x的多項式的另一個因式是， 則， 即， ∴， 解得， ∴關(guān)于x的多項式的另一個因式是，； （3）設(shè)關(guān)于x的多項式的另一個因式為， 則， 即， ∴， ∴， 即． 24．（1）；（2）；（3） 【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用． （1）利用十字相乘法進行求解即可； （2）利用十字相乘法進行求解即可； （3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可． 【詳解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 25．（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，本題重點掌握多項式乘多項式的法則，掌握積的特點是解本題的關(guān)鍵．我們可知多項式乘多項式就是把一個多項式每一項去乘另一個多項式，在把所得積相加，根據(jù)題干提示，我們可以根據(jù)題目要求可以選擇性求出一次項和二次項以及多項的系數(shù)． （1）中求一次項系數(shù)，含有一次項的有，這三個中依次選出其中一個在與另外兩項中的常數(shù)相乘最終積相加即可或者展開所有的式子得出一次項系數(shù)． （2）中求二次項系數(shù)，含有未知數(shù)的為：、、，選出其中兩個在與另一個括號的常數(shù)相乘，最后所得的積相加或者展開所有的式子得出一次項系數(shù)； （3）先根據(jù)（1）所求方法求出一次項系數(shù)，最后用表示，列出等式，求出； （4）根據(jù)前三問的規(guī)律可以計算出第四問的值． 【詳解】（1）解：由題意得： 一次項系數(shù)為：； （2）由題干材料知： 二次項系數(shù)為：； （3）一次項系數(shù)為： 解得； （4）通過題干以及前三問知：故答案為：． 26．（1）；（2）；（3） 【分析】本題考查因式分解應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，平方得非負性． （1）根據(jù)題意進行求解即可； （2）利用完全平方公式將所給式子變形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解； （3）將式子變形利用平方非負性即可計算出，，三邊長，再計算周長即可． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意列式： ∴， 即：； （2）解：∵，∴，即：， ∴， ∵，，是的三邊長，∴，即：， ∵是的最長邊，∴； （3）解：∵， ∴， 即：， ∴， ∴的周長為：． 27．（1）， （2）最小值為 （3），理由見解析 【分析】本題以新定義題型為背景，考查了完全平方公式以及因式分解的相關(guān)知識點，掌握公式的形式以及因式分解的各種方法是解題關(guān)鍵． （1）將各式配湊成完全平方即可求解； （2）結(jié)合（1）可得，即可得出答案； （3）根據(jù)二次原點式“和諧數(shù)對”的定義可知，移項進行因式分解即可求解． 【詳解】（1）解：， ， 故答案為：，； （2）解：有（1）可得：， ∴“二次原點式”有最小值， 故答案為：最小值為； （3）解：，理由如下： ∵a與b是二次原點式的一組“和諧數(shù)對”，∴， 即：， ∵，∴， 即：．