1. 下列哪個(gè)方程是一元二次方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
B、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
C、該方程屬于分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
2. 大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. AB2＝AP2+BP2B. BP2＝AP?BA
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)黃金分割的定義分別進(jìn)行判斷．
【詳解】解：P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB）可得AP2＝AB?PB或．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中ACAB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．
3. 若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，此函數(shù)圖象必經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，可得k的值，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，分析選項(xiàng)可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，
則，
結(jié)合反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，分析選項(xiàng)：
A、，故反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)A符合題意，
B、，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)B不符合題意，
C、，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)，故選項(xiàng)C不符合題意，
D、，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確求出參數(shù)k的值是解題關(guān)鍵．
4. 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. 3，；9B. 3，， C. 3，5，9D. 3，5，
【答案】B
【解析】
【分析】先把一元二次方程化成一般形式得到，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的定義求解．
【詳解】解：去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，
所以二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般形式為（a、b、c為常數(shù)且）；要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
5. 若，且相似比為，則與的面積比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：面積的比等于相似比的平方，解答即可．
【詳解】解：，相似比為，
與的面積比為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．
6. 關(guān)于一元二次方程的根的情況敘述正確的是（ ）
A. 方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根B. 方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根
C. 方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根D. 方程沒有實(shí)數(shù)根
【答案】D
【解析】
【分析】先找到，再判斷，根據(jù)根的判別式即可求出答案．
【詳解】解：，
∵，
∴，
故一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解根的判別式，根據(jù)判別式得到根的情況．
7. 在下列條件中，能夠判定四邊形是菱形的是（ ）
A. 兩條對(duì)角線互相垂直平分B. 兩條對(duì)角線相等且互相垂直
C. 兩條對(duì)角線互相垂直D. 兩條對(duì)角線相等
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】A、兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故正確；
B、兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是箏形，故不正確；
C、兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故不正確；
D、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故不正確.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，矩形的判定方法，熟記兩個(gè)圖形的判定方法是解題的關(guān)鍵，本題“一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等”根據(jù)平行線的性質(zhì)可以推出另一組對(duì)角相等，從而得到四邊形是平行四邊形，再利用平行四邊形與矩形、菱形、正方形的特殊關(guān)系判定．
8. 利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，經(jīng)過配方得到（ ）
A. （x+6）2＝49B. （x+6）2＝23C. （x﹣6）2＝23D. （x﹣6）2＝49
【答案】C
【解析】
【分析】方程先移項(xiàng)，再給兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可完成配方．
【詳解】解：x2﹣12x+13＝0，
移項(xiàng)得：x2﹣12x＝﹣13，
配方得：x2﹣12x+36＝23，即（x﹣6）2＝23．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程?配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
9. 在一個(gè)不透明的口袋里有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，除數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別，摸球前先攪拌均勻，每次摸一個(gè)球．下列說法正確的是（ ）
A. 任意摸一次，摸出1號(hào)球和摸出5號(hào)球的概率相同
B. 有放回的連續(xù)摸10次，則一定摸出2號(hào)球兩次
C. 有放回的連續(xù)摸5次，則摸出五個(gè)球標(biāo)號(hào)數(shù)字之和可能是30
D. 有放回的連續(xù)摸6次，則一定能摸出2號(hào)球
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)概率的意義，逐項(xiàng)分析判斷即可即可求解．
【詳解】解：A. 任意摸一次，摸出1號(hào)球和摸出5號(hào)球的概率相同，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B. 有放回的連續(xù)摸10次，不一定摸出2號(hào)球兩次，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. 有放回的連續(xù)摸5次，每個(gè)球的數(shù)字都小于6，則摸出五個(gè)球標(biāo)號(hào)數(shù)字之和不可能是30，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. 有放回連續(xù)摸6次，不一定能摸出2號(hào)球，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了概率的理解，掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場(chǎng)地上修建兩條小路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644平方米，那么小路進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？設(shè)小路進(jìn)出口的寬為米，則可列方程為( )（注：所有小路進(jìn)出口的寬度都相等，且每段小路均為平行四邊形）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把減去小路的部分拼成一個(gè)矩形去計(jì)算面積，列出方程．
【詳解】解：減去小路的部分依舊可以看作是一個(gè)矩形，該矩形的長是米，寬是米，
列式：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握幾何問題的列式方法．
二、填空題（每空3分，共18分）
11. 已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2，b＝3，c＝5，則d＝___．
【答案】##75
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得 再將a＝2，b＝3，c＝5，代入求解即可．
【詳解】解：線段a，b，c，d是成比例線段，

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查成比例的線段，屬于基礎(chǔ)題，能夠根據(jù)題意列出等式這是解題關(guān)鍵．
12. 若點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖像上，，則，大小關(guān)系是 _____．
【答案】y1＞y2
【解析】
【分析】反比例函數(shù)中，，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，由此即可求解．
【詳解】解：反比例函數(shù)中，，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，且，
∴，
故答案是為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)中時(shí)的圖像或時(shí)的圖像所在象限及特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
13. 在一個(gè)不透明的盒子里，裝有5個(gè)黑球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，將其搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估計(jì)盒子中白球的個(gè)數(shù)是 _____．
【答案】15
【解析】
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解．
【詳解】解：∵共試驗(yàn)40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例為 ，
設(shè)盒子中共有白球x個(gè)，則，
解得：．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查利用利用頻率估計(jì)概率．正確列出算式是解題關(guān)鍵．
14. 如圖中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，過F作交于點(diǎn)G，若，且，，則陰影部分的面積為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】連接，根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)題意得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，
E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，
，
，F(xiàn)是的中點(diǎn)，
，G是的中點(diǎn)，
，
，
F是的中點(diǎn)，
，，
，
，
E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
15. 已知正方形，點(diǎn)E在線段上，連接，過點(diǎn)E作，垂足為G，過點(diǎn)D作交延長線于點(diǎn)F，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先證四邊形是平行四邊形可得，進(jìn)而得到，再證明可得，進(jìn)而得到是等腰直角三角形，從而完成解答．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在矩形中，，，P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，把沿直線翻折，頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，當(dāng)線段與相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，連接，交于點(diǎn)F，連接，若，則的值為 _____．
【答案】或
【解析】
【分析】利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到四邊形為菱形，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到；設(shè)，則，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，得到關(guān)于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理求得的長，將相應(yīng)線段的值代入中，則結(jié)論可得．
【詳解】解：由題意得：，
∴，，，，，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∴結(jié)合折疊的性質(zhì)可得：，
∴四邊形為菱形．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴ ，
設(shè)，則，
∴， 解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
∴或．
∴或，
∴或，
故答案為： 或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（17題5分，18題8分，19題9分，共計(jì)22分）
17. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?br>【答案】，
【解析】
【分析】先移項(xiàng)，把方程化為，再配方得到，再解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
則，即，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步驟”是解本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，在坐標(biāo)系內(nèi)畫，使它與位似，且位似比為．
（1）畫出；
（2）請(qǐng)直接寫出△DEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）作圖見詳解
（2）D的坐標(biāo)為，E的坐標(biāo)為，F(xiàn)的坐標(biāo)為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)位數(shù)定義，及位似比即可作圖；
（2）的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為，由此可求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：原點(diǎn)為位似中心，位似比為，
∴如圖所示，
和即為所求．
【小問2詳解】
解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為，
∴，，，， ，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的位似，掌握位似圖形的定義及位似比的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
19. 小明、小芳做一個(gè)“配色”的游戲，如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，則紅色和藍(lán)色在一起配成紫色，這種情況下小芳獲勝；同樣，藍(lán)色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明獲勝；在其他情況下不分勝負(fù)．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，請(qǐng)直接寫出轉(zhuǎn)到紅色的概率；
（2）此游戲的規(guī)則，對(duì)小明、小芳是否公平？請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法解釋說明．
【答案】（1）
（2）不公平，理由見詳解
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，可能出現(xiàn)的結(jié)果有種，其中紅色的有種，由此即可求解；
（2）用列表法將所有可能出現(xiàn)的結(jié)果表示出來，有種情況可能得到紫色，有種情況才可能得到綠色，由此即可求解．
【小問1詳解】
解：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，可能出現(xiàn)的結(jié)果有種，其中紅色的有種，
∴，
故轉(zhuǎn)到紅色的概率為．
【小問2詳解】
解：不公平．理由如下，
用列表法將所有可能出現(xiàn)的結(jié)果表示如下，
上面等可能出現(xiàn)的種結(jié)果中，有種情況可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小芳獲勝的概率是；但只有種情況才可能得到綠色，配成綠色的概率是，即小明獲勝的概率是．而，故小芳獲勝的可能性大，這個(gè)“配色”游戲?qū)﹄p方是不公平的．
【點(diǎn)睛】本題主要考查用列表法或列舉法求概率，理清題意，找出事件可能出現(xiàn)的結(jié)果，利用概率公式計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．
四、（20題8分，21題8分，共計(jì)16分）
20. 如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，且與x軸相交于點(diǎn)B．
（1）求a、b的值；
（2）若點(diǎn)P在x軸上，且的面積是的面積的，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線與反比例函數(shù)的解析式求得a的 值，即可確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得b的值；
（2）先根據(jù)直線確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的面積是的面積的，即，即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：∵直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，
∴，
∴a＝﹣1．
∴．
把A的坐標(biāo)代入得:，解得：．
【小問2詳解】
解：∵直線與x軸相交于點(diǎn)B．
∴，
∵點(diǎn)P在x軸上，
∴的面積是的面積的，
∴，
∴P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問題，求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．
21. 隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，人們的購物方式有了變化，使用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)在線購物的越來越多．某產(chǎn)品今年開始做線上銷售，二月份銷售利潤5萬元，四月份銷售利潤萬元，求三、四兩個(gè)月份銷售利潤的月均增長率．
【答案】三、四兩個(gè)月份銷售利潤的月均增長率為
【解析】
【分析】設(shè)三、四兩個(gè)月份銷售利潤的月均增長率為x，則三月份獲得利潤萬元，四月份獲得利潤萬元，根據(jù)題意列出方程即可解得．
【詳解】解：設(shè)三、四兩個(gè)月份銷售利潤的月均增長率為x，則三月份獲得利潤萬元，四月份獲得利潤萬元，
依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：三、四兩個(gè)月份銷售利潤的月均增長率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系式列出方程．
五、（10分）
22. 如圖，有一塊面積為的待加工材料，將它加工成一個(gè)矩形零件，矩形一邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)落在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)H，G分別在上．
（1）求證：；
（2）當(dāng)矩形的面積為的面積一半時(shí)，求矩形的長和寬分別是多少厘米？
【答案】（1）見解析 （2）矩形的長為6厘米，寬為4厘米
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)證明即可；
（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)M，由的面積為得到厘米，再由得到，設(shè) 厘米，厘米，根據(jù)得到，最后根據(jù)“矩形的面積為的面積一半”求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴；
【小問2詳解】
過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)M，如圖，
∵的面積為，
∴，
∵厘米，
∴厘米．
∵，
∴，
∴．
設(shè) 厘米，厘米，則 厘米，
∴ 厘米，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
∵矩形的面積為的面積一半，
∴．
∴．
解得：，
∴，
∴厘米，厘米．
答：矩形的長為6厘米，寬為4厘米．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
六、（10分）
23. 如圖，中，，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且速度均為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．過E作線段，且，連接，解答下列問題：
（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，求的長；
（2）連接，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求t的值；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出，求出，即可求出；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥CB于M，表示出，過點(diǎn)P作，交的延長線于G，四邊形是矩形，得出，根據(jù)面積求出即可解得；
（3）分兩種情況：①若時(shí)，證明求得；②當(dāng)時(shí)，，求出．
【小問1詳解】
∵，
∴，
∵F為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
過點(diǎn)E作于M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)P作，交的延長線于G，
∵，，
四邊形是矩形，
∴（cm），
∵，
∴，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，的面積為；
【小問3詳解】
存在．
分兩種情況：
①若時(shí)，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)E作，過點(diǎn)P作，交的延長線于G，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
綜上所述，或時(shí)，為直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、三角形相似、一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理、三角形相似、一元二次方程相關(guān)知識(shí)．
七、（12分）
24. 已知正方形，E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)F在直線上，且，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)C作的平行線，交射線于點(diǎn)H，連接．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在中點(diǎn)時(shí)，重合，請(qǐng)判斷四邊形的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，補(bǔ)全圖形并回答下列問題：
①四邊形的形狀是否發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由；
②連接，交于點(diǎn)M，若， ，請(qǐng)直接寫出的長．
【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析
（2）①四邊形的形狀不會(huì)發(fā)生改變，四邊形是菱形，理由見解析；②
【解析】
【分析】（1）設(shè)與交與點(diǎn)M，利用正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①延長交于點(diǎn)K，利用正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
②設(shè)交于點(diǎn)N，利用①的結(jié)論證明，得到，則和為等腰直角三角形，設(shè),則，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得的長，則．
【小問1詳解】
解：四邊形是菱形，理由：
設(shè)與交與點(diǎn)M，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵點(diǎn)E在中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵重合，
∴，
∵將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴．
∵，
∴．
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
四邊形的形狀不會(huì)發(fā)生改變，四邊形是菱形，理由：
延長交于點(diǎn)K，如圖，
由題意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
②設(shè)與交于點(diǎn)N，如圖，
由①知：，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得：（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
八.（12分）
25. 已知，菱形中，，，線段，分別與，兩邊相交，且．
（1）如圖1，設(shè)線段，分別交，兩邊于點(diǎn)，，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長；
（2）將繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線，交于點(diǎn)．
①如圖2，連接，，若，求出，，之間的數(shù)量關(guān)系；
②旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形的面積是否有最大值，如果有，請(qǐng)直接寫出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）①，理由見詳解；②四邊形的面積有最大值，最大值為
【解析】
【分析】（1）四邊形是菱形，，，易證，可知是等邊三角形，，，由此即可求解；
（2）①將繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證，，，從而得出，由此即可求解；②旋轉(zhuǎn)過程中，判斷四邊形的面積何時(shí)為最大值即可，如圖所示（見相機(jī)），連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則可求出，四邊形的面積，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，四邊形的面積最大，由此找出的面積最大即可，當(dāng)時(shí)，由，為邊組成正方形時(shí)，的面積最大，且的最大面積，由此即可求解．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小問2詳解】
解：①，理由如下，
如圖所示，連接，，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形的面積，
∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，四邊形的面積最大，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，即由，為邊組成正方形時(shí)，的面積最大，
∵是由，為邊組成正方形的對(duì)角線，
∴正方形面積為，
∴的最大面積，
∴四邊形的面積．
∴四邊形的面積有最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握根據(jù)菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出角與角，線段與線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．紅
藍(lán)
黃
紅
（紅，紅）
（藍(lán)，紅）
（黃，紅）
藍(lán)
（紅，藍(lán)）
（藍(lán)，藍(lán)）
（黃，藍(lán)）
紅
（紅，紅）
（藍(lán)，紅）
（黃，紅）
黃
（紅，黃）
（藍(lán)，黃）
（黃，黃）

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