福建省2024春九年級數學下冊第26章二次函數學情評估試卷（華東師大版）-試卷下載-教習網

第26章學情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分) 1.下列函數關系式中，是二次函數的是(　　) A.y＝x3－2x2－1 B.y＝x2 C.y＝2x2－3 D.y＝x＋1 2.二次函數y＝(x－1)2＋2的最小值是(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 3.將拋物線y＝x2通過一次平移可得到拋物線y＝(x＋5)2，對這一平移過程描述正確的是(　　) A.向上平移5個單位 B.向下平移5個單位 C.向左平移5個單位 D.向右平移5個單位 4.拋物線y＝x2－4x＋1與y軸交點的坐標是(　　) A.(0，1) B.(1，0) C.(0，－3) D.(0，2) 5.已知二次函數y＝x2＋2x＋4，若y隨x的增大而減小，則x的取值范圍是(　　) A.x＞－1 B.x＜－1 C.x＞1 D.x＜1 6.在平面直角坐標系中，點A，B，C的位置如圖所示，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過A，B，C三點，則下列關于拋物線性質的說法正確的是(　　) (第6題) A.開口向上 B.與y軸交于負半軸 C.頂點在第二象限 D.對稱軸在y軸右側 7.在同一平面直角坐標系內，二次函數y＝ax2＋bx＋b(a≠0)與一次函數y＝ax＋b的圖象可能是(　　) 8.如圖，已知拋物線y1＝－x2＋4x和直線y2＝2x，當y1＜y2時，x的取值范圍是(　　) (第8題) A.0＜x＜2 B.x＜0或x＞2 C.x＜0或x＞4 D.0＜x＜4 9.已知拋物線y＝12x2－x＋2與直線y＝x－2如圖所示，點P是拋物線上的一個動點，則點P到直線y＝x－2的最短距離為(　　) (第9題) A.524 B.324 C.2 D.2 10.已知拋物線y＝－(x－b)2＋2b＋c(b，c為常數)經過不同的兩點(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么該拋物線的頂點坐標不可能是下列中的(　　) A.(－2，－7) B.(－1，－3) C.(1，8) D.(2，13) 二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分) 11.若拋物線的頂點坐標為(0，3)，開口向下，則符合條件的拋物線對應的函數表達式為　　　　　.(寫1個即可) 12.當x＝－2時，函數y＝x2－2x－6的值為　　　　. 13.如圖是拋物線y＝－(x－1)2＋2，若－1＜x＜2，則y的取值范圍是　　　　　　　. (第13題) 14.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，動點P從點A開始沿AB向點B以2 cm/s的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始沿BC向點C以4 cm/s的速度移動(不與點C重合).如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，那么經過　　　　s，四邊形APQC的面積最小. (第14題) 15.如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化.如圖②，“門”的內側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80 m，高度為200 m，則離地面150 m處的水平寬度(即CD的長)為　　　　. (第15題) 16.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)，a＋b＋c＝0.下列四個結論： ①若拋物線經過點(－3，0)，則b＝2a； ②若b＝c，則方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2； ③拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點； ④點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，若0＜a＜c，則當x1＜x2＜1時，y1＞y2. 其中正確的是　　　　　(填寫序號). 三、解答題(本題共6小題，共70分) 17.(10分)如圖，二次函數y＝(x－1)(x－a)(a為常數)的圖象的對稱軸為直線x＝2. (1)求a的值； (2)向下平移該二次函數的圖象，使其經過原點，求平移后圖象所對應的二次函數的表達式. (第17題) 18.(10分)在平面直角坐標系xOy中，點(1，m)和點(3，n)在拋物線y＝ax2＋bx(a＞0)上. (1)若m＝3，n＝15，求該拋物線的對稱軸； (2)已知點(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在該拋物線上.若m＜0，n＞0，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由. 19.(12分)肉燕又稱太平燕，是福建福州的一道著名的特色風味小吃，也是福州風俗中的喜慶名菜.福州人逢年過節(jié)，婚喪喜慶，親友聚別，必吃“太平燕”，即取其“太平”“平安”之吉利，故“無燕不成宴，無燕不成年”.肉燕皮是用精肉配上淀粉等輔料制作而成，形似紙狀，潔白光滑細潤，散發(fā)出肉香，非常爽口.肉燕亦由此成為饋贈佳品，為福州人包括海外鄉(xiāng)親所鐘情.已知每袋肉燕的成本為8元.按每袋10元出售時，平均每天售出300袋，單價每上漲0.5元，則平均每天的銷售量會減少10袋，若該網店銷售肉燕每天的利潤為y元，每袋的售價為x元，請求出y與x的函數表達式，當x是多少時，y最大？最大是多少？ 20.(12分)根據以下素材，探索完成任務. 21.(12分)如圖，已知拋物線y＝x2＋mx＋n經過(0，－3)，(2，－3)兩點，與x軸交于A、B兩點. (1)求拋物線的表達式； (2)點C為拋物線上一動點，且在第四象限，連結AC，BC.若∠ACB＝90°，求點C的坐標. (第21題) 22.(14分)拋物線y＝ax2＋b經過點A(4，0)，B(0，－4)，直線EC經過點E(4，－1)，C(0，－3)，P是拋物線上點A，B間的動點(不含點A，B)，過點P作PD⊥x軸于點D，連結PC，PE. (1)求拋物線與直線CE的表達式； (2)求證：PC＋PD為定值； (3)若△PEC的面積為1，請直接寫出滿足條件的點P的坐標. 參考答案一、1.B　2.B　3.C　4.A　5.B　6.D　7.C　8.B　9.D　10.B 二、11.y＝－x2＋3(答案不唯一)　12.2 13.－2＜y≤2　14.3　15.40 m　16.①②④ 三、17.解：(1)根據題意，得1+a2＝2，所以a＝3. (2)y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，設平移后圖象所對應的二次函數的表達式為 y＝x2－4x＋3－b，把(0，0)代入，得b＝3. 所以平移后圖象所對應的二次函數的表達式為y＝x2－4x. 18.解：(1)因為m＝3，n＝15，所以點(1，3)，(3，15)在拋物線上. 將點(1，3)，(3，15)代入y＝ax2＋bx，得 3=a＋b，15=9a+3b，解得a=1，b=2，所以y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以對稱軸為直線x＝－1. (2)y2＜y1＜y3.理由如下：因為點(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在拋物線上，所以y1＝a－b，y2＝4a＋2b，y3＝16a＋4b. 因為m＜0，n＞0，所以a＋b＜0，9a＋3b＞0. 所以y1－y2＝a－b－(4a＋2b)＝－3a－3b＝－3(a＋b)＞0，y1－y3＝a－b－(16a＋4b)＝－15a－5b＝－53(9a＋3b)＜0，所以y1＞y2，y1＜y3，所以y2＜y1＜y3. 19.解：由題意得y＝(x－8)300－x－100.5×10＝(x－8)(500－20x)＝－20x2＋660x－4 000＝－20x－3322＋1 445. 因為－20＜0，所以當x是332時，y最大，最大是1 445. 20.解：任務1：以拱頂為原點，建立如圖①所示的直角坐標系， (第20題) 則拋物線的頂點為(0，0)，且經過點(10，－5). 設該拋物線的表達式為y＝ax2(a≠0)，則－5＝100a，所以a＝－120，所以拋物線的表達式是y＝－120x2. 任務2：因為水位再漲1.8 m達到最高，燈籠底部距離水面不小于1 m，燈籠長40 cm＝0.4 m，所以y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8，所以懸掛點的縱坐標的最小值是－1.8. 當y＝－1.8時，－1.8＝－120x2，解得x1＝6，x2＝－6，所以懸掛點的橫坐標的取值范圍是－6≤x≤6. 任務3：(答案不唯一)如圖②(坐標系的橫軸)，從原點O處開始懸掛燈籠. (第20題) 因為－6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6 m，所以若原點一側掛4盞燈籠，則1.6×4＞6，若原點一側掛3盞燈籠，則1.6×3＜6，所以原點一側最多可掛3盞燈籠. 3×2＋1＝7(盞)，所以方案為：原點O處掛1盞燈籠，兩側每間距1.6 m各掛3盞燈籠，共掛7盞燈籠. 最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是－3×1.6＝－4.8. 21.解：(1)因為拋物線y＝x2＋mx＋n經過(0，－3)，(2，－3)兩點，所以－3=n，－3=22+2m＋n，解得m＝－2，n＝－3. 所以拋物線的表達式為y＝x2－2x－3. (2)由(1)知y＝x2－2x－3，令y＝0，則x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 所以A(－1，0)，B(3，0). 作CH⊥x軸于點H，因為∠ACB＝90°，所以∠HCB＋∠HCA＝90°. 因為CH⊥x軸，所以∠HAC＋∠HCA＝90°，所以∠HAC＝∠HCB. 又因為∠AHC＝∠CHB＝90°，所以△HAC∽△HCB，所以AHCH＝CHBH，所以CH2＝AH·BH. 因為點C為拋物線上一動點，且在第四象限，所以設C(t，t2－2t－3)，所以AH＝t－(－1)＝t＋1，BH＝3－t，CH＝－(t2－2t－3)，所以[－(t2－2t－3)]2＝(t＋1)(3－t)，化簡得t2－2t－2＝0，解得t＝1±3. 因為點C在第四象限，所以t＞0，所以t＝1＋3，此時t2－2t－3＝(1＋3)2－2×(1＋3)－3＝－1，所以點C的坐標為(1＋3，－1). 22.(1)解：將A(4，0)，B(0，－4)的坐標代入y＝ax2＋b，得16a＋b=0，b＝－4，解得a＝14，b＝－4，所以拋物線的表達式為y＝14x2－4. 設直線CE的表達式為y＝mx＋n，將E(4，－1)，C(0，－3)的坐標代入y＝mx＋n，得4m＋n＝－1，n＝－3，解得m＝12，n＝－3，所以直線CE的表達式為y＝12x－3. (2)證明：設點Pt，14t2－4，0＜t＜4，如圖，過點P作PF⊥y軸于點F，則PF＝t，FC＝14t2－4+3＝14t2－1，PD＝4－14t2，則PC＝t2＋14t2－12＝14t2+12＝14t2＋1，所以PC＋PD＝14t2+1＋4－14t2＝5，為定值. (第22題) (3)解：滿足條件的點P的坐標為(1＋3，32－3)，(1＋7，72－2).如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1　　圖①是某拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20 m，拱頂離水面5 m.據調查，該河段水位在此基礎上再漲1.8 m達到最高.素材2　　為迎佳節(jié)，擬在橋拱上懸掛40 cm長的燈籠，如圖②.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1 m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6 m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布.問題解決任務1確定拋物線形橋拱的表達式　　在圖①中建立合適的直角坐標系，求拋物線的表達式.任務2探究懸掛范圍　　在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍.任務3擬定設計方案　　設計一種符合所有懸掛條件的燈籠數量的方案，并根據你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標.