第27章學(xué)情評(píng)估 一、選擇題(每題3分，共24分) 1．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝38°，則∠BOC的度數(shù)為(　　) A．80° B．76° C．62° D．52° 2．如圖，在⊙O中，若C是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∠AOB＝80°，則∠AOC的度數(shù)為(　　) A．40° B．45° C．50° D．60° 3．如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連結(jié)OC，若∠ACO＝25°，則∠BOC的度數(shù)是(　　) A．40° B．50° C．55° D．60° 4．如圖，P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠P＝30°，若直線PA是⊙O的切線，則∠ACP的度數(shù)為(　　) A．20° B．30° C．15° D．25° 5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，則⊙O的半徑為(　　) A．4 B．2 eq \r(2) C.eq \r(3) D．4 eq \r(2) 6．如圖，已知A、B、C是⊙O上三點(diǎn)，OC＝2，∠ABC＝30°，切線AP交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則AP的長(zhǎng)為(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C．4 D．4 eq \r(3) 7．如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為(　　) A.eq \r(2) B．2 C．4＋2 eq \r(2) D．4－2 eq \r(2) 8．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PC、PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C、D，若AB＝4，PC＝4，則sin∠CBD等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(\r(5),4) 二、填空題(每題3分，共18分) 9．若⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到直線l的距離為d，且直線l與⊙O相交，則d________5.(填“＞”“＜”或“＝”) 10．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若∠APB＝60°，PO＝2，則⊙O的半徑等于________． 11．“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞，如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5 m，地面入口寬為1 m，則該門(mén)洞的半徑為_(kāi)_______m. 12．若圓錐的底面半徑為5，高為12，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是________． 13．扇子古稱(chēng)“翣”，在我國(guó)已有兩千多年歷史．“打開(kāi)半個(gè)月亮，收起兜里可裝．來(lái)時(shí)荷花初放，去時(shí)菊花正黃．”這則謎語(yǔ)說(shuō)的就是扇子．如圖，一竹扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條AB，AC的夾角為135°，AB的長(zhǎng)為30 cm, 扇面BD的長(zhǎng)為20 cm，則扇面面積為_(kāi)_______cm2. 14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，G為邊CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿直線向各自終點(diǎn)A，B移動(dòng)，連結(jié)CE，DF交于點(diǎn)P，連結(jié)BP，則BP的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______． 三、解答題(第15，16題每題6分，第17～19題每題9分，第20，21題每題12分，第22題15分，共78分) 15．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝30°，過(guò)圓心O作OD⊥BC，垂足為D.若⊙O的半徑為6，求OD的長(zhǎng)． 16．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為eq \o(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連結(jié)AM，BM，OA，OM. (1)求證：AM＝BM； (2)求∠AOM的度數(shù)． 17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E. (1)求證：BE＝CE； (2)若AB＝6，∠BAC＝54°，求eq \o(AD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)． 18．如圖，以BC為直徑的⊙O交△ABC的邊AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E，且AC＝BC. (1)求證：DE⊥AC； (2)若BC＝4，AD＝3，求AE的長(zhǎng)． 19．如圖，在半圓O中，直徑AB的長(zhǎng)為6，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，過(guò)圓心O作AB的垂線交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交弦BC于點(diǎn)E. (1)求證：∠D＝∠ABC； (2)若OE＝CE，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)． 20．【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在eq \o(AC,\s\up8(︵))上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，連結(jié)PA、PB、PC.求證：PB＝PA＋PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連結(jié)BE，通過(guò)證明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證． 下面是小明的部分證明過(guò)程： 證明：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連結(jié)BE，如圖①. ∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP＋∠BCP＝180°. ∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE. ∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△PBC≌△EBA. 請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程． 【應(yīng)用】如圖②，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC.若PB＝2 eq \r(2)PA，則eq \f(PB,PC)的值為_(kāi)_____． 21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證：∠1＝∠BCE； (2)求證：BE是⊙O的切線； (3)若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA. 22．如圖①，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O與內(nèi)心I之間的距離OI＝d，則有d2＝R2－2Rr. 下面是上述結(jié)論的證明過(guò)程(部分)：連結(jié)AI并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連結(jié)DM、AN. ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI， ∴△MDI∽△ANI，∴eq \f(IM,IA)＝eq \f(ID,IN)， ∴IA·ID＝IM·IN.(a) 如圖②，在圖①(隱去MD、AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連結(jié)BE、BD、BI、IF. ∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE＝90°. ∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA. ∵∠BAD＝∠E，∴△AIF∽△EDB， ∴eq \f(IA,DE)＝eq \f(IF,BD)，∴IA·BD＝DE·IF.(b) (1)觀察發(fā)現(xiàn)：IM＝R＋d，IN＝________(用含R，d的代數(shù)式表示)； (2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)請(qǐng)觀察式子(a)和式子(b)，并利用(1)(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該結(jié)論證明的剩余部分； (4)應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5 cm，內(nèi)切圓的半徑為2 cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為_(kāi)_______cm. 答案 一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.B　6.B　7.D　8.C 二、9.＜　10.1　11.1.3　12.65π　13.300π 14．3 eq \r(5)－3　點(diǎn)撥：由題意得BE＝CF，∠EBC＝∠FCD，BC＝CD， ∴△EBC≌△FCD，∴∠ECB＝∠FDC， ∵∠ECB＋∠DCP＝90°， ∴∠FDC＋∠DCP＝90°，∴∠DPC＝90°， ∴點(diǎn)P在以DC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．連結(jié)BG，易知當(dāng)點(diǎn)P在線段BG上時(shí)BP的長(zhǎng)最短，GP＝eq \f(1,2)CD＝3，由勾股定理，得BG＝3 eq \r(5)， ∴BP的長(zhǎng)度的最小值為3 eq \r(5)－3. 三、15.解：∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC， ∴△BOC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝6. ∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3. 在Rt△ODB中，OD＝eq \r(OB2－BD2)＝3 eq \r(3). 16．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵)).∵M(jìn)為eq \o(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴eq \o(DM,\s\up8(︵))＝eq \o(CM,\s\up8(︵))， ∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＋eq \o(DM,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))＋eq \o(CM,\s\up8(︵))，∴eq \o(AM,\s\up8(︵))＝eq \o(BM,\s\up8(︵))，∴AM＝BM. (2)解：連結(jié)OB. ∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴易得∠AOB＝90°. ∵eq \o(AM,\s\up8(︵))＝eq \o(BM,\s\up8(︵))，∴∠AOM＝∠BOM＝eq \f(1,2)×(360°－90°)＝135°. 17．(1)證明：連結(jié)AE.∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE. (2)解：連結(jié)OD.∵AB＝6，∴OA＝3. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAC＝54°， ∴∠AOD＝180°－2×54°＝72°， ∴eq \o(AD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為 eq \f(72×π×3,180)＝eq \f(6π,5). 18．(1)證明：如圖，連結(jié)OD. ∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.∵CA＝CB，∴∠A＝∠B， ∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴DE⊥AC. (2)解：如圖，連結(jié)CD. ∵AC＝BC，BC＝4，∴AC＝4. ∵BC為⊙O的直徑， ∴∠BDC＝90°， ∴易得∠AED＝∠ADC， ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD， ∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(AE,3)＝eq \f(3,4)，解得AE＝eq \f(9,4). 19．(1)證明：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵DO⊥AB，∴∠A＋∠D＝90°，∴∠D＝∠ABC. (2)解：設(shè)∠B＝α，則易得∠BCO＝α， ∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α. 在△BCO中，α＋α＋90°＋α＝180°， ∴α＝30°，∴∠D＝∠ABC＝∠EOC＝30°， ∴CA＝eq \f(1,2)AB＝3，∴CA＝OA＝3. ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴△ACB≌△AOD，∴S△ABC＝S△ADO，AD＝AB＝6. ∵AO＝BO＝3， ∴S△AOC＝eq \f(1,2)S△ABC，OD＝eq \r(AD2－AO2)＝3 eq \r(3)， ∴S陰影＝eq \f(1,2)×3×3 eq \r(3)－eq \f(30×π×32,360)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×3×3 eq \r(3)＝eq \f(9 \r(3),4)－eq \f(3π,4). 20．解：【探究】余下的證明過(guò)程如下： ∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA， ∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°， 即∠EBP＝60°，∴△PBE是等邊三角形， ∴PB＝PE＝PA＋AE＝PA＋PC. 【應(yīng)用】eq \f(2 \r(2),3)　點(diǎn)撥：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連結(jié)BE，如圖． ∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠BAP＋∠BCP＝180°. ∵∠BAP＋∠BAE＝180°， ∴∠BCP＝∠BAE. ∵AB＝CB，∴△PBC≌△EBA. ∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝90°，即∠EBP＝90°，∴△PBE是等腰直角三角形，∴PB2＋BE2＝PE2， ∴2PB2＝PE2，即PE＝eq \r(2)PB. ∵PE＝PA＋AE＝ PA＋PC，∴PA＋PC＝eq \r(2)PB. ∵PB＝2 eq \r(2)PA，∴PA＋PC＝eq \r(2)×2 eq \r(2)PA＝4PA，∴PC＝3PA， ∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(2 \r(2)PA,3PA)＝eq \f(2 \r(2),3). 21．(1)證明：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F. ∵eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴AB＝BD.在△ABF與△DBE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠DEB＝90°，,∠BAF＝∠BDE，,AB＝DB，))∴△ABF≌△DBE，∴BF＝BE， ∴∠1＝∠BCE. (2)證明：連結(jié)OB.∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90°，∴∠1＋∠BAC＝90°. ∵BE⊥DC，∴∠BCE＋∠EBC＝90°， 又∵∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC. ∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA， ∴∠OBE＝∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝∠ABC＝90°， ∴BE是⊙O的切線． (3)解：由(1)易得Rt△EBC≌Rt△FBC， ∴CF＝CE＝2. ∵△ABF≌△DBE，∴AF＝DE＝2＋8＝10， ∴AC＝CF＋AF＝2＋10＝12. ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°. ∵∠DBA＝∠DCA，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝eq \f(CD,CA)＝eq \f(2,3). 22．解：(1)R－d (2)BD＝ID，理由：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI. ∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI， ∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID. (3)由(2)知，BD＝ID，∴IA·ID＝DE·IF. 又∵IA·ID＝IM·IN，∴DE·IF＝IM·IN， ∴2R·r＝(R＋d)(R－d)，∴2Rr＝R2－d2， ∴d2＝R2－2Rr. (4)eq \r(5)

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