?二次函數(shù)

基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(1，－4)，(2，－2)兩點(diǎn)，在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi)，都有函數(shù)值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數(shù)可能是(D)
A. 正比例函數(shù) B. 一次函數(shù)
C. 反比例函數(shù) D. 二次函數(shù)
2．設(shè)二次函數(shù)y1＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的圖象與一次函數(shù)y2＝dx＋e(d≠0)的圖象交于點(diǎn)(x1，0)，若函數(shù)y＝y(tǒng)2＋y1的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則(B)
A. a(x1－x2)＝d　　　　 B. a(x2－x1)＝d
C. a(x1－x2)2＝d　　　 D. a(x1＋x2)2＝d
3．當(dāng)x＝m或x＝n(m≠n)時(shí)，代數(shù)式x2－2x＋3的值相等，則x＝m＋n時(shí)，代數(shù)式x2－2x＋3的值為_(kāi)_3__．

(第4題圖)
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y＝x2－2x＋2上運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對(duì)角線(xiàn)作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對(duì)角線(xiàn)BD的最小值為_(kāi)_1__．
5．對(duì)于兩個(gè)二次函數(shù)y1，y2，滿(mǎn)足y1＋y2＝2x2＋2x＋8.當(dāng)x＝m時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3.請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)符合題意的二次函數(shù)y2的表達(dá)式y(tǒng)2＝x2＋3，y2＝(x＋)2＋3(要求：寫(xiě)出的表達(dá)式的對(duì)稱(chēng)軸不能相同)．
6．拋物線(xiàn)y＝2x2－4x＋3繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y＝－2x2－4x－3．

(第7題圖)
7．如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)．若拋物線(xiàn)y＝x2＋k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是－2＜k＜．
解：由圖可知，∠AOB＝45°，
∴直線(xiàn)OA的表達(dá)式為y＝x，
聯(lián)立消掉y，得
x2－2x＋2k＝0，
Δ＝(－2)2－4×1×2k＝0，
即k＝時(shí)，拋物線(xiàn)與OA有一個(gè)交點(diǎn)，
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，
∴OA＝OB＝2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，
∴交點(diǎn)在線(xiàn)段OA上．
當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，0)時(shí)，×4＋k＝0，
解得k＝－2，
∴要使拋物線(xiàn)y＝x2＋k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是－2＜k＜.
8．某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐話(huà)動(dòng)中，帶隊(duì)老師考問(wèn)學(xué)生：基地計(jì)劃新建一個(gè)矩形的生物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長(zhǎng))，另外三邊用總長(zhǎng)69 m的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個(gè)寬為3 m的出入口，如圖所示，如何設(shè)計(jì)才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭(zhēng)議的情境：

(第8題圖)
請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問(wèn)題：
(1)設(shè)AB＝x(m)(x＞0)，試用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)你判斷誰(shuí)的說(shuō)法正確，為什么？
解：(1)AB＝x(m)，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)(m)．
(2)小英說(shuō)法正確，理由如下：
矩形面積S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，
∵72－2x＞0，
∴x＜36，
∴0＜x＜36，
∴當(dāng)x＝18時(shí)，S取最大值，
此時(shí)x≠72－2x，
∴面積最大的不是正方形．
9．在“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛(ài)貧困母親”的活動(dòng)，他們購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣(mài)，并將所得利潤(rùn)捐給貧困母親．經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每天能賣(mài)出36件；若每件按29元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每天能賣(mài)出21件．假定每天銷(xiāo)售件數(shù)y(件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/件)滿(mǎn)足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù)．
(1)求y與x滿(mǎn)足的函數(shù)表達(dá)式(不要求寫(xiě)出x的取值范圍)．
(2)在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤(rùn)p最大？
解：(1)設(shè)y與x滿(mǎn)足的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b.由題意，得
解得
故y與x滿(mǎn)足的函數(shù)表達(dá)式為y＝－3x＋108.
(2)每天獲得的利潤(rùn)為p＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2160＝－3(x－28)2＋192.
故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為28元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大．
拓展提高


10．某服裝店購(gòu)進(jìn)單價(jià)為15元童裝若干件，銷(xiāo)售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為25元時(shí)平均每天能售出8件，而當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價(jià)為_(kāi)_22__元時(shí)，該服裝店平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．
11．如圖，已知直線(xiàn)y＝－x＋3分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，P是拋物線(xiàn)y＝－x2＋2x＋5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線(xiàn)交直線(xiàn)y＝－x＋3于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ＝BQ時(shí)，a的值是－1，4，4＋2，4－2．

(第11題圖)

(第12題圖)
12．如圖，拋物線(xiàn)y＝－x2－2x＋3 的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)M為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B重合)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)E，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積．
(3)在(2)的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連結(jié)DQ.過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)F作y軸的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方)．若FG＝2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
解：(1)由拋物線(xiàn)y＝－x2－2x＋3可知點(diǎn)C(0，3)，
令y＝0，則0＝－x2－2x＋3，解得x＝－3或x＝1，
∴點(diǎn)A(－3，0)，B(1，0)．
(2)由拋物線(xiàn)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－1，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，
∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，
∴當(dāng)m＝－2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．
∵點(diǎn)A(－3，0)，C(0，3)，可求得直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋3，當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－2＋3＝1，則點(diǎn)E(－2，1)，
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM·EM＝.
(3)∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，
∴點(diǎn)N應(yīng)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
∴DQ＝DC，
把x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，
∴點(diǎn)D(－1，4)．
∴DQ＝DC＝.
∵FG＝2DQ，
∴FG＝4，
設(shè)點(diǎn)F(n，－n2－2n＋3)，
則點(diǎn)G(n，n＋3)，
∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，
∴(n＋3)－(－n2－2n＋3)＝4，
解得n＝－4或n＝1.
∴點(diǎn)F(－4，－5)或(1，0)．

(第13題圖)
13．如圖，拋物線(xiàn)y＝a(x－1)2＋c與x軸交于點(diǎn)A(1－，0)和點(diǎn)B，將拋物線(xiàn)沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′(1，3)處．
(1)求原拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
(2)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)(5)班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過(guò)點(diǎn)P′作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線(xiàn)CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開(kāi)頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過(guò)計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比(約等于0.618)．請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少(參考數(shù)據(jù)：≈2.236，≈2.449，結(jié)果可保留根號(hào))．
解：(1)∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′(1，3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－3)．
設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋3，∵其過(guò)點(diǎn)A(1－，0)，
∴0＝a(1－－1)2－3，解得a＝1.
∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.
(2)∵CD∥x軸，P′(1，3)在CD上，
∴C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)均為3.
由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－，x2＝1＋，
∴C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1－，3)，(1＋，3)，
∴CD＝2.
∴“W”圖案的高與寬(CD)的比＝＝(或約等于0.6124)．

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26.1 二次函數(shù)

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