基于問題情境的數(shù)列問題是高考的熱點內(nèi)容,通過具體的問題背景,考查數(shù)列的應(yīng)用,以此來檢驗學(xué)生的核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識.解決情境下的數(shù)列問題,常用的解題思路是:審題、建立數(shù)列模型、研究模型、解決實際問題.建立數(shù)列模型時需注意分析:問題中有哪些量,這些量之間的關(guān)系和規(guī)律是什么,是否符合等差、等比數(shù)列的定義,它們之間的遞推關(guān)系是什么等,有時還需要從特殊到一般進行歸納總結(jié).只要建立起恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,就可運用數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及相關(guān)的性質(zhì)、方法解決問題.
題型一 數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問題
對于以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題,解題時常常受困于背景陌生,閱讀受阻,無法獲得解題思路.解題時應(yīng)認(rèn)真審題,從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,從中構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型,再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)公式求解作答,必要時進行檢驗.
例1(多選題)(2024·福建龍巖模擬)在《算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)”,其大致意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,從第二天起因為腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達目的地”,則(　　)A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路
[對點訓(xùn)練1](多選題)(2024·江蘇如皋中學(xué)模擬)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,21,….該數(shù)列的特點如下:前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列.現(xiàn)將{an}中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列記為{bn},數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,下列說法正確的是(　　 )A.T2 022=1 348B.S1 000=a1 002-1C.若Tn=2 022,則n=3 033
解析 根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出,數(shù)列為依次連續(xù)兩個奇數(shù)和一個偶數(shù),所以數(shù)列{bn}為1,1,0,1,1,0,…,則數(shù)列{bn}為周期數(shù)列,且周期為3,所以T2 022=(1+1+0)×674=1 348,故A正確;因為S1 000=a1+a2+…+a999+a1 000=a3-a2+a4-a3+…+a1 001-a1 000+a1 002-a1 001=a1 002-a2=a1 002-1,故B正確;因為2 022=(1+1+0)×1 011,1 011×3=3 033,且b3 031=1,b3 032=1,b3 033=0,所以
題型二 實際生活中的數(shù)列問題
實際生產(chǎn)生活中的許多問題都與數(shù)列問題緊密相關(guān),解決這些問題的關(guān)鍵是弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)列模型,抽象出通項公式或遞推關(guān)系式,然后利用數(shù)列知識解決問題.
例2(多選題)(2024·山東德州模擬)某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金2 000萬元,已知每年可獲利20%,但由于競爭激烈,每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術(shù)改造與廣告投入,方能保持原有的利潤增長率.設(shè)經(jīng)過n年之后,該項目的資金為an萬元.(取lg 2≈0.30,lg 3≈0.48),則下列敘述正確的是(　 　)A.a1=2 200B.數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an+1=an×(1+20%)C.數(shù)列{an-1 000}為等比數(shù)列D.至少要經(jīng)過6年,該項目的資金才可以達到或超過翻一番(即為原來的2倍)的目標(biāo)
解析 根據(jù)題意,經(jīng)過1年之后,該項目的資金為a1=2 000×(1+20%)-200=2 200萬元,A正確;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,B不正確;an+1=1.2an-200,則an+1-1 000=1.2(an-1 000),又a1-1 000=1 200,所以數(shù)列{an-1 000}是首項為1 200,公比為1.2的等比數(shù)列,C正確;an-1 000=1 200×1.2n-1=1 000×1.2n,即an=1 000(1.2n+1),令an=1 000(1.2n+1)≥4 000,則n≥lg1.23= 6,至少要經(jīng)過6年,該項目的資金才可以達到或超過翻一番(即為原來的2倍)的目標(biāo),D正確.故選ACD.
[對點訓(xùn)練2](2024·上海南洋模范中學(xué)模擬)某高科技企業(yè)研制出一種型號為A的精密數(shù)控車床,A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價值逐年減少(以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價值的第一年).若第1年A型車床創(chuàng)造的價值是250萬元,且第1年至第6年,每年A型車床創(chuàng)造的價值減少30萬元;從第7年開始,每年A型車床創(chuàng)造的價值是上一年創(chuàng)造的價值的50%.現(xiàn)用an(n∈N*)表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價值.(1)求數(shù)列{an}(n∈N*)的通項公式an;(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項的和,Tn= ,企業(yè)經(jīng)過成本核算,若Tn>100萬元,則繼續(xù)使用A型車床,否則更換A型車床,試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床?
解 (1)由題意得a1,a2,…,a6構(gòu)成首項a1=250,公差d=-30的等差數(shù)列.故an=280-30n(n≤6,n∈N*).
(2)由(1)得{an}是遞減數(shù)列,于是數(shù)列{Tn}也是遞減數(shù)列.
當(dāng)n=11時,T11>104;當(dāng)n=12時,T12

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