建立一元二次方程的模型解應用題的一般步驟可化為一元二次方程的分式方程的解法
建立一元二次方程的模型解應用題的一般步驟
1.列一元二次方程解應用題的一般步驟歸納為 審、設、列、解、檢、答 .
審 ——審題，明確已知量和未知量，找出它們之間的關系 ；設——設未知數(shù) ；列 ——根據(jù)題目中的等量關系，列出方程 ；解——解方程，求出未知數(shù)的值 ；檢——檢驗方程的解能否保證實際問題有意義 ；答——寫出答案，應遵循“問什么，答什么，怎么問，怎么答” 的原則 .
特別解讀第一步“審”一般不寫出來，但它是關鍵的一步，只有審清題意，明確已知量、未知量及它們之間的關系才能準確列出方程.
特別解讀列方程，這是解應用題的關鍵一步，一般先找出一個能夠表達全部含義的等量關系，然后列代數(shù)式表示等量關系中的各個量，就得到含未知數(shù)的等式，即方程.
2. 列一元二次方程解應用題注意事項(1)在一道應用題中，往往含有幾個未知量，應恰當?shù)剡x擇其中的一個用字母 x 表示，然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關系，將其他幾個量用含 x 的代數(shù)式表示出來 .(2)設未知數(shù)時必須寫清單位、用對單位 . 列方程時，方程兩邊各個代數(shù)式的單位必須一致，作答時必須寫上單位 .(3)要對方程的根加以檢驗，看它是否符合實際意義 .
建設美麗城市，改造老舊小區(qū) . 某市 2021 年投入資金 1 000 萬元，2023 年投入資金 1 440 萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
解題秘方：此題考查了一元二次方程的應用，不等式的應用，解決此題的關鍵是緊扣增長率問題中的等量關系和相應的不等關系，列出正確的方程和不等式．
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
解：設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為 x. 根據(jù)題意，得 1 000(1＋x) 2=1 440．解得 x1=0.2=20%， x2=－2.2(不合題意，舍去)．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為 20%．
(2) 2023 年老舊小區(qū)改造的平均費用為 每個 80 萬元 . 2024 年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加 15%. 如果投入資金的年增長率保持不變，求該市在 2024 年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？
方法點撥增長率問題中的等量關系：(1)增長率=增量÷原來的量；(2)設 a 為原來的量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則有a(1 ＋ m)n=b.
[ 中考·德州 ] 如圖 17.5-1，某小區(qū)長方形綠地的長、寬分別為 35 m，15 m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的長方形綠地 .
解題秘方： 緊扣長方形的面積公式，建立一元二次方程模型解決問題 .
(1)若擴充后的長方形綠地面積為 800 m2，求新的長方形綠地的長與寬；
解：設將綠地的長、寬分別增加 x m，則新的長方形綠地的長為(35 ＋ x) m，寬為(15 ＋ x) m，根據(jù)題意得(35 ＋ x)(15 ＋ x) =800，解得 x1=5， x2= － 55(舍去)，∴ 35 ＋ x=35 ＋ 5=40，15 ＋ x=15 ＋ 5=20.答：新的長方形綠地的長為 40 m，寬為 20 m．
(2)擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的長方形綠地的長寬之比為 5 ∶ 3．求新的長方形綠地面積．
解：設將綠地的長、寬分別增加 y m，則新的長方形綠地的長為(35 ＋ y) m，寬為(15 ＋ y) m，根據(jù)題意得(35 ＋ y)∶(15 ＋ y) =5 ∶ 3，解得 y=15，∴(35 ＋ y)(15 ＋ y) =(35 ＋ 15)×(15 ＋ 15) =1 500．答：新的長方形綠地面積為 1 500 m2.
方法點撥解此類題除了要準確掌握幾何圖形的面積、體積或周長公式及計算方法之外，關鍵是能用未知數(shù)表示相關的線段長，以及對方程的根進行取舍 .
有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換，所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積為 1 855，求原來的兩位數(shù) .
解題秘方：本題考查的是用一元二次方程解數(shù)字問題，弄清數(shù)字和用數(shù)字表示的數(shù)之間的關系是解題的關鍵 .
解：設原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x，則個位數(shù)字為8－x，列方程，得［10x＋(8－x)］［10(8－x) ＋x］ =1 855，整理，得 x2－8x＋15=0，解方程，得 x1=3， x2=5，由原來的兩位數(shù)的個位數(shù)字為 8－x，可得個位數(shù)字為 5 或 3.答：原來的兩位數(shù)為 35 或 53.
教你一招：列方程求解數(shù)字問題的方法解決數(shù)字問題的關鍵是用代數(shù)式表示出這個多位數(shù)，設未知數(shù)時，通常采用間接設元法，即設這個多位數(shù)的某一數(shù)位上的數(shù)字為 x，然后將其他數(shù)位上的數(shù)字用含 x 的代數(shù)式表示出來，最后再根據(jù)題中的數(shù)量關系列方程即可 .
知識儲備整數(shù)的常用表示方法：1. 兩位數(shù)=十位上的數(shù)字×10＋個位上的數(shù)字 .2. 三位數(shù)=百位上的數(shù)字×100＋十位上的數(shù)字×10＋個位上的數(shù)字 .3. 三個連續(xù)整數(shù)，設中間的一個數(shù)為 x，則其余兩個數(shù)分別為x－1，x＋1.4. 三個連續(xù)偶數(shù)可設為 2x－2，2x，2x＋2；三個連續(xù)奇數(shù)可設為 2x－3，2x－1，2x＋1.
[ 期末· 北京東城區(qū) ] 2023 年 5 月 30 日，神舟十六號發(fā)射升空 . 某商店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了 “中國空間站”模型 . 已知該模型平均每天可售出 20 個，每個獲利 40 元 . 為了擴大銷售，盡快減少庫存，該商店決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每個模型每降低 1 元，商店平均每天可以多售出 2 個 .
解題秘方：本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)銷售問題列出一元二次方程是解題的關鍵 .
(1)若每個模型降價 4 元，商店平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？
解：20＋4×2=28(個)，(40－4)×28=1 008(元) .答：每個模型降價 4 元，商店平均每天可以售出 28 個模型，此時每天獲利 1 008 元．
(2)要使“中國空間站”模型每天獲利 1 200 元，每個模型應降價多少元？
解：設每個模型應降價 x 元，依題意得(40－x)(20+2x)=1 200， 解得 x1=10，x2=20.為了盡快減少庫存，所以 x=20.答：要使“中國空間站”模型每天獲利 1 200 元， 每個模型應降價 20 元 .
方法點撥降價前后模型的銷量與獲利情況如下表所示 .
可化為一元二次方程的分式方程的解法
1.可化為一元二次方程的分式方程的解法步驟(1)去分母(兩邊同時乘最簡公分母)，將分式方程化成整式方程；(2)解整式方程；(3)檢驗 .
2. 解可化為一元二次方程的分式方程應用題的一般步驟(1)分析——找出等量關系；(2)設元——用含字母的代數(shù)式表示相關的量；(3)列方程——列分式方程；(4)解方程；(5)檢驗并作答 .
特別提醒解分式方程驗根時，只需把求得的整式方程的根代入最簡公分母 ，若最簡公分母為0，則是增根 , 應舍去；若最簡公分母不為0，則是原方程的根.
解題秘方：緊扣解分式方程的步驟，將分式方程轉(zhuǎn)化為元二次方程是解題的關鍵 .
解：去分母，得 2x＋ (x－1) =(x＋3)(x－1)，∴ x2－x－2=0，解得 x1=2， x2=－1.經(jīng)檢驗 x1=2， x2=－1 是原分式方程的解 .
方法點撥解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化——把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，容易忽視的步驟是驗根，若有兩根，必須都檢驗 .
A， B 兩地間的距離為 15 km，甲從 A 地出發(fā)步行前往 B 地，20 min 后，乙從 B 地出發(fā)騎車前往 A 地，且乙騎車比甲步行每小時多行 10 km. 乙到達 A 地后停留 40 min， 然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時到達 B 地 . 求甲從A 地到 B 地步行所用的時間 .
解題秘方：緊扣等量關系建立分式方程模型，求出分式方程的解并檢驗是解題的關鍵 .
易錯警示在解分式方程時，要注意檢驗，特別是分式方程的應用題，檢驗應包含兩個方面， 一是得到的未知數(shù)的值是不是分式方程的解，二是方程的解是否與實際意義相符合 .

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17.5 一元二次方程的應用

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