中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專項練習(xí)：相似模型--母子型相似（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．如圖， SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AC= SKIPIF 1 < 0 ，AD=1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案為2
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，點D是△ABC的邊AB上一點，∠ABC＝∠ACD．
(1)求證：△ABC∽△ACD；
(2)當(dāng)AD＝2，AB＝3時，求AC的長．
【答案】(1)見解析
(2)AC的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可證出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，可求出AC的長．
【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 (負值已舍)．
∴AC的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”證出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求出AC的長．
3．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．
【答案】（1）見解析；（2）AD= SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；
（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．
【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC2=AD?AB．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF2=BE?BC，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
4．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，分別交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求證；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，即可求證．
(1)
證明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 垂直平分 AB ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
證明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在銳角三角形ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上， SKIPIF 1 < 0 于點G， SKIPIF 1 < 0 于點F， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CD的值．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可推出 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此求出AB的長即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面積為15，
(1)求證：△DAC∽△ABC；
(2)求△ACD的面積．
【答案】(1)見解析
(2)△ACD的面積為5
【分析】（1）由∠DAC＝∠B， SKIPIF 1 < 0 即可證明△DAC∽△ABC；
（2）設(shè)△ACD的面積為S，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，列出方程求解即可．
【詳解】（1）證明：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△DAC∽△ABC；
（2）設(shè)△ACD的面積為S，
∵△ABD的面積為15．
∴△ABC的面積為15+S，
∵△DAC∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得S=5，
∴△ACD的面積為5．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定．
7．如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 延長線上一點，連接 SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩點．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求當(dāng)該菱形 SKIPIF 1 < 0 改變?yōu)檎叫?，其余條件不變時正方形的邊長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）只需證明 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）想證明 SKIPIF 1 < 0 ，通過觀察 SKIPIF 1 < 0 為比例中項，只需證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可到得答案．
（3）根據(jù)學(xué)過的知識，出現(xiàn)比例中項的只有在三角形相似這個章節(jié)，所以只要證明 SKIPIF 1 < 0 即可到得答案．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）該菱形 SKIPIF 1 < 0 改變?yōu)檎叫螘r，
由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得正方 SKIPIF 1 < 0 的邊長 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了三角形全等、相似的內(nèi)容，熟練掌握三角形全等及相似的證明方法是解決此題的關(guān)鍵．
8．如圖，點P是菱形 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 上一點，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 于點E，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點F．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3) SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用 SKIPIF 1 < 0 即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了菱形，全等三角形，相似三角形，熟練掌握菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
9．（1）【基礎(chǔ)模型】：
如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）【嘗試應(yīng)用】：
如圖2，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 延長線上一點， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
（3）【更上層樓】：
如圖3，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請直接寫出菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長．

【答案】（1）見解析；（2）9；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接利用兩個角對應(yīng)相等證明 SKIPIF 1 < 0 即可得到結(jié)論；
（2）首先說明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的長，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 的長；
（3）延長 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，利用兩組對邊分別平行可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，得 SKIPIF 1 < 0 ，在利用 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入化簡即可．
【詳解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖所示，延長 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握共邊共角三角形相似是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）證明見解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，進而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可證 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由（1）可證 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得出線段之間關(guān)系．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AD是△ABC的中線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出 SKIPIF 1 < 0 是解題關(guān)鍵．
11．解答下列各題：
（1） [基礎(chǔ)鞏固]
如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
（2）[嘗試應(yīng)用]
如圖2，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E為BC延長線上一點， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的長．
（3）[拓展提高]
如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的邊長．
【答案】（1）見解析；（2）9；（3）5
【分析】（1）證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用對應(yīng)邊相似求解．
（2）證明 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，利用對應(yīng)邊關(guān)系列出方程求解．
（3）延長 SKIPIF 1 < 0 ，交于點 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，表示對應(yīng)關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 ，交于點 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為5．
【點睛】本題考查了相似三角形的運用以及菱形的性質(zhì)，利用相似比求解即可．
12．已知正方形ABCD中，點E是邊CD上一點（不與 C、D重合），將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，如圖1，連接EF分別交AC、AB于點P、G．
（1）求證：△APF∽△EPC；
（2）求證：PA2＝PG?PF
（3）如圖2，當(dāng)點E是邊CD的中點時，PE＝1，求AG的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AG= SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可．
（2）證明△APG∽△FPA，即可解決問題．
（3）如圖2中，設(shè)正方形的邊長為2a．想辦法用a表示AG，EG，GP，證明AG2=GP?GE，由此構(gòu)建方程求出a，即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AE，∠FAE=90°，
∴∠AFP=∠ECP=45°，
∵∠APF=∠EPC，
∴△APF∽△EPC；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∵∠AFE=45°，
∴∠PAG=∠AFP，
∵∠APG=∠FPA，
∴△APG∽△FPA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PA2=PG?PF；
（3）解：如圖2中，設(shè)正方形的邊長為2a．
∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=180°，
∴F，B，C共線，
∵DE=EC=BF=a，BC=2a，
∴CF=3a，EF= SKIPIF 1 < 0 ，
∵BG∥EC，
∴BG：EC=FB：CF=FG：FE=1：3，
∴BG= SKIPIF 1 < 0 a，AG= SKIPIF 1 < 0 a，GE= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，
∴△AGP∽△EGA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AG2=GP?GE，
∴（ SKIPIF 1 < 0 a）2=（ SKIPIF 1 < 0 a－1）? SKIPIF 1 < 0 a，
∴a= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AG= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
13．如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點 SKIPIF 1 < 0 從點 SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以 SKIPIF 1 < 0 的速度沿 SKIPIF 1 < 0 向點 SKIPIF 1 < 0 勻速運動，同時點 SKIPIF 1 < 0 從點 SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以 SKIPIF 1 < 0 的速度沿 SKIPIF 1 < 0 向點 SKIPIF 1 < 0 勻速運動，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點隨之停止．
（1）求經(jīng)過幾秒后， SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 面積的 SKIPIF 1 < 0 ？
（2）經(jīng)過幾秒， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似？
【答案】（1）經(jīng)過3秒后， SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 面積的 SKIPIF 1 < 0 ；（2）經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 秒或 SKIPIF 1 < 0 秒時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似
【分析】（1）分別表示出線段PC和線段CQ的長后利用 SKIPIF 1 < 0 列出方程求解；
（2）設(shè)運動時間為 SKIPIF 1 < 0 秒， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似時，則有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，分別代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過x秒， SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 面積的 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：經(jīng)過3秒后， SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 面積的 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以分為兩種情況：
① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 秒或 SKIPIF 1 < 0 秒時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
14．如圖，在正方形ABCD中，點G是對角線上一點，CG的延長線交AB于點E，交DA的延長線于點F，連接AG．
（1）求證：AG＝CG；
（2）求證：△AEG∽△FAG；
（3）若GE?GF＝9，求CG的長．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CG＝3
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，從而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），進而利用全等三角形的性質(zhì)進行證明即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD∥CB，推出∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠DAG＝∠DCG，結(jié)合圖形根據(jù)角之間的和差關(guān)系∠DAB?∠DAG＝∠DCB?∠DCG，推出∠BCF＝∠BAG，從而結(jié)合圖形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可．
【詳解】（1）證明：∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
又AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB?∠DAG＝∠DCB?∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
（3）∵△AEG∽△FAG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即GA2＝GE?GF，
∴GA＝3或GA＝?3（舍去），
根據(jù)（1）中的結(jié)論AG＝CG，
∴CG＝3．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的和差關(guān)系．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是斜邊AC的中點，聯(lián)結(jié)DB，線段AE⊥線段BD交BC于點E交DB于點G，垂足為點G．
（1）求證：EB2＝EG?EA；
（2）聯(lián)結(jié)CG，若∠CGE＝∠DBC．求證：BE＝CE．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 證明 SKIPIF 1 < 0 可得結(jié)論；
（2）證明 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 從而可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，點D是斜邊 SKIPIF 1 < 0 的中點
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由（1）得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，證明 SKIPIF 1 < 0 是解答本題的關(guān)鍵．
16．如圖1，△ABC中，AB＝AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，連接DE、DC，DE交AC于點G，且DE＝DC．
（1）請證明∠ACD＝∠BDE；
（2）若AB＝mAD，求 SKIPIF 1 < 0 的值（用含m的式子表示）
（3）如圖2，將△ABC沿BC翻折，若點A的對應(yīng)點A'恰好落在DE的延長線上，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)即可證得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）過點E作 SKIPIF 1 < 0 交AB于點F，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可證得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此計算即可求得答案．
【詳解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）如圖，過點E作 SKIPIF 1 < 0 交AB于點F，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍負），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍負），
∴ SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，熟練掌握它們的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
17．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長線于點E，連結(jié)AE交BD于點F，交CD于點G，連結(jié)CF．
(1)求證：AF＝CF；
(2)求證：AF2＝EF?GF；
(3)若菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，求FG的長．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)先由菱形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABF=∠CBF，然后結(jié)合BF=BF，得到△ABF≌△CBF，進而得到AF=CF；
(2)先由菱形得到∠BAD=∠BCD，AD//BE，從而得到∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠FEC，再結(jié)合∠CFG=∠EFC，得到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到CF2=EF×GF，最后結(jié)合AF=CF，得到AF2=EF×GF；
(3)先由∠BAD=120°，得到∠DCE=60°，然后結(jié)合菱形邊長為2得到CD的長，進而利用DE⊥BC，得到CE、AE的長，然后通過證明△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，進而得到AF、AG的長，最后得到FG的長．
【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AD//BE，
∴∠DAF=∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴∠GCF=∠CEF，
∵∠CFG=∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF2=EF×GF，
∵AF=CF，
∴AF2=EF×GF；
（3）∵∠BAD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵菱形邊長為2，
∴CD=AD=2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE=∠CED=90°，
∴∠CDE=30°，
∴CE= SKIPIF 1 < 0 CD=1，DE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，BE=BC+CE=2+1=3，
∵AD//BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴FG=AG-AF= SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30° 角的直角三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì)得到相關(guān)的角相等．
18．如圖，在正方形ABCD中，點G是對角線上一點，CG的延長線交AB于點E，交DA的延長線于點F，連接AG．
(1)求證：AG＝CG；
(2)若GE?GF＝9，求CG的長．
【答案】(1)見解析
(2)CG=3．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，從而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），進而利用全等三角形的性質(zhì)進行證明即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠DAG=∠DCG，結(jié)合圖形根據(jù)角之間的和差關(guān)系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，從而結(jié)合圖形可利用相似三角形的判定定理即可得到△AEG∽△FAG；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可．
【詳解】（1）證明：∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即GA2=GE?GF=9，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根據(jù)（1）中的結(jié)論得AG=CG，
∴CG=3．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的和差關(guān)系．
19．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點F是CE上一點，連接AF并延長交BC于點D，CG⊥AD于點G，連接EG．
(1)求證：CD2＝DG?DA；
(2)如圖1，若點D是BC中點，求證：CF＝2EF；
(3)如圖2，若GC＝2，GE＝2 SKIPIF 1 < 0 ，求證：點F是CE中點．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）先證明△ACD∽△CGD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）如圖1，過E作EH∥AD交BC于點H，運用平行線分線段成比例定理即可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四點共圓，過點E作EM⊥AD于點M，可得△EGM是等腰直角三角形，再證明△CGF≌△EMF，即可證明F是CE中點．
【詳解】（1）證明：∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠CGD＝∠ACB＝90°，
∵∠CDA＝∠CDG，
∴△ACD∽△CGD，
∴CD：DG＝DA：CD，
∴CD2＝DG?DA；
（2）如圖1，過E作EH∥AD交BC于點H，
∵HE∥AD，
∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴E為AB的中點，
∴BE：EA＝1，
∴BH：HD＝BE：EA＝1
∵D為BD的中點
∴CD=BD，
∴CD：HD＝2，
∵EH∥AD
∴CD：HD＝CF：EF＝2
∴CF＝2EF．
（3）∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵CE⊥AB，CG⊥AD，
∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴A、C、G、E四點共圓，
∴∠EGF＝∠ACF＝45°，
過點E作EM⊥AD于點M，
∴△EGM是等腰直角三角形，
EM＝GE?sin45°＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝2，
∵CG＝2，
∴CG＝EM，
∵∠CFG=∠EFM，∠CGF=∠EMF=90°，
∴△CGF≌△EMF，
∴CF＝EF ，
即點F是CE中點．
【點睛】∴本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)與判定，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線并結(jié)合相關(guān)知識進行解題．
20．模型建立：
(1)如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)類比探究：如圖2，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ，射線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點 SKIPIF 1 < 0 ，射線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點 SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①得： SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，由①可知， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而即可求解．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①證明：如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②解：由①得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由①得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21．已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ，點E、F分別在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 邊上運動，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點P．
-
(1)如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長度；
(2)如圖2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如圖3，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可進行解答；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)論；
（3）過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點H，過點P作 SKIPIF 1 < 0 于點N，交 SKIPIF 1 < 0 于點M，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點H，過點P作 SKIPIF 1 < 0 于點N，交 SKIPIF 1 < 0 于點M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對邊相等，四個角都為直角，相似三角形對應(yīng)邊成比例．
22．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，點E為射線BC上的一個動點，AE與邊CD交于點G．
（1）如圖1，連接對角線BD交AE于點F，連接CF，若AF2＝CG?CD，試求∠CFE的度數(shù)；
（2）如圖2，點F為AE上一點，且∠ADF＝∠AED，若菱形的邊長為2，則當(dāng)DE⊥BC時，求△CFE的面積；
（3）如圖3，當(dāng)點E在射線BC上運動時，試求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）30°；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）如圖1，證明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再證明△FCG∽△DCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如圖2，過點F作MN⊥BC于N，交AD于M，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)得：CE＝1，根據(jù)勾股定理計算DE和AE的長，證明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的長，證明△AFM∽△EFN，得FN的長，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論；
（3）如圖3，過點E作EH⊥CD于H，過點A作AN⊥BC于N，設(shè)菱形ABCD的邊長為a，CE＝x，分別計算AE2和DE2，變形后可得當(dāng)a＝x時， SKIPIF 1 < 0 有最小值．
【詳解】解：（1）如圖1，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠FDC SKIPIF 1 < 0 ∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如圖2，過點F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE SKIPIF 1 < 0 ，
Rt△ADE中，AE SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF SKIPIF 1 < 0 ，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵MN＝DE SKIPIF 1 < 0 ，
∴FN SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△CEF SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖3，過點E作EH⊥CD于H，過點A作AN⊥BC于N，
設(shè)菱形ABCD的邊長為a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH SKIPIF 1 < 0 x，EH SKIPIF 1 < 0 x，
∴DH＝a SKIPIF 1 < 0 x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2＋EH2
＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0
＝a2﹣ax＋x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN SKIPIF 1 < 0 a，AN SKIPIF 1 < 0 a，
∴CN＝BC﹣BN SKIPIF 1 < 0 a，
∴EN＝EC＋CN SKIPIF 1 < 0 a＋x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2＋EN2
＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0
＝a2＋ax＋x2，
∴ SKIPIF 1 < 0 （a＞0，x＞0），
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，即x＝a時， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
則此時 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握判定兩三角形相似的方法是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．
（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）求證EG2＝ SKIPIF 1 < 0 GF?AF；
（3）若AG＝3，EG＝ SKIPIF 1 < 0 ，求BE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；
（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF= SKIPIF 1 < 0 GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；
（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．
【詳解】（1）證明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四邊形EFDG為菱形．
（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．
∵四邊形EFDG為菱形，
∴GF⊥DE， SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即DF2=FO?AF．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵．
24．在△ABC中，點D是BC上一點，點E是AD上一點，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延長線交AC于點F．

(1)求證：△AEF∽△BAF；
(2)如圖2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的長；
(3)如圖3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBE=∠DEB，由∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，推出∠AEF=∠BAF，再由∠BFA=∠AFE，即可證明△AEF∽△BAF；
（2）先求出BD=DE=12，AD=AE+DE=18，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由此求解即可；
（3）如圖所示，過點A作AG∥BC交BF延長線于G，先證明BC=BF，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而推出 SKIPIF 1 < 0 ；證明△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，再證明AE=DE=BD=AG，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；證明△ABC∽△BFC，推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠BFA=∠AFE，
∴△AEF∽△BAF；
（2）解：∵AE=6，DE=12，
∴BD=DE=12，AD=AE+DE=18，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵△AEF∽△BAF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如圖所示，過點A作AG∥BC交BF延長線于G，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
又∵∠FBC=∠BAC，
∴∠BFC=∠C，
∴BC=BF，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵△AEF∽△BAF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AD=2BD，BD=DE，
∴AE=DE=BD=AG，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠C=∠C，∠CBF=∠CAB，
∴△ABC∽△BFC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
25．在△ABC中，P為邊AB上一點．
(1)如圖1，若∠ACP＝∠B，求證： SKIPIF 1 < 0 ＝AP?AB；
(2)若M為CP的中點，AC＝4．
①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的長；
②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的長．
【答案】(1)見解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①取AP在中點G，連接MG，設(shè)AG＝x，則PG＝x，BG＝7﹣x，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到MG SKIPIF 1 < 0 AC，由平行線的性質(zhì)得到∠BGM＝∠A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到即 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到結(jié)論；
②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE＝BP，解直角三角形得到 SKIPIF 1 < 0 根據(jù)勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，相似三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①如圖2，取AP在中點G，連接MG，設(shè)AG＝x，則PG＝x， SKIPIF 1 < 0 ，
∵M是PC的中點，
∴MG SKIPIF 1 < 0 AC，
∴∠BGM＝∠A，
∵∠ACP＝∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴x＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB＝7，
∴AP＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PB＝ SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖3，過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE＝BP，
設(shè)BP＝x．
∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，
∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵PB＝BE，PM＝CM，
∴BM SKIPIF 1 < 0 CE，
∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，
∵∠E＝∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱點P為這個三角形的“理想點”．
(1)如圖①，若點D是 SKIPIF 1 < 0 的邊AB的中點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試判斷點D是不是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，并說明理由；
(2)如圖②，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若點D是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，求CD的長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的理想點,理由見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可證點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，分三種情況：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，根據(jù)面積法可求 SKIPIF 1 < 0 長度；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 ，對應(yīng)邊成比例即可求 SKIPIF 1 < 0 長度； SKIPIF 1 < 0 不可能在 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）
解：點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”；
（2）
① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上時，如圖：
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 “理想點” SKIPIF 1 < 0 不可能在 SKIPIF 1 < 0 邊上，
③ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上時，如圖：
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“理想點”， SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．

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