【知識(shí)要點(diǎn)】
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
【解題思路】
1.正邊形半徑、邊心距和12邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形。
2.已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值可以借助勾股定理求解。
正多邊形的對(duì)稱性：
1）正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。
2）一個(gè)正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．對(duì)稱中心就是這個(gè)正多邊的中心。
【小結(jié)】正n變形的內(nèi)角為n?2×180°n，外角為3600n，中心角為3600n 內(nèi)角和為（ n-2 ）×180°。
【擴(kuò)展】正多邊形常見邊心距與邊長(zhǎng)的比值
第一種 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (圖一)
變式 正三角形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2 （圖二）
第二種 正方形 在⊙O中四邊形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (圖三)
變式 正方形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1: 2 （圖四）
第三種 正六變形 在⊙O中六邊形是正六邊形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (圖五)

圖一 圖二 圖三 圖四 圖五
設(shè) QUOTE 的半徑為R， QUOTE 圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，
弧長(zhǎng)公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）
扇形面積公式： QUOTE
圓錐的側(cè)面積公式：S=12l2πr=πrl (其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑)
母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。
圓錐體表面積公式： QUOTE （l為母線）
【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積
2）扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓周長(zhǎng)2πR
求陰影部分面積的幾種常見方法：1）公式法；2）割補(bǔ)法；3）拼湊法；4）等積變形構(gòu)造方程法；5）去重法。
考查題型一 與正多邊形中心角有關(guān)的計(jì)算
典例1．(2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
變式1-1．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)正多邊形的中心角為30°，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
變式1-2．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．B．6C．3D．23
變式1-3．(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對(duì)角線AD的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（ ）
A．2mmB．22mmC．23mmD．4mm
變式1-4．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為______度．
變式1-5．(2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角α可以為__________度．（寫出一個(gè)即可）
變式1-6．(2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為DE上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D，點(diǎn)E不重合），連接PC、PD，DG⊥PC，垂足為G，∠PDG等于________度．
變式1-7．(2023·湖南株洲·中考真題）一個(gè)蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OC上，則∠MON=________度．
考查題型二 正多邊形與圓
典例2．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（ ）
A．3B．32C．332D．3
變式2-1．(2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3）．則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．(2?23,3)B．(0,1+23)C．(2?3,3) D．(2?23,2+3)
變式2-2．(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和BC的長(zhǎng)分別為（ ）
A．4，π3B．3，πC．2，4π3D．3，2π
變式2-3．(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)l6=6R，則π≈l62R=3．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來計(jì)算圓周率則圓周率約為（ ）
A．12sin15°B．12cs15°C．12sin30°D．12cs30°
變式2-4．(2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．（?32，?3）B．（32，?332）C．（?3，）D．（?32，?32）
變式2-5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)的值，下面d及π的值都正確的是（ ）
A．d=8(2?1)sin22.5°，π≈8sin22.5°B．d=4(2?1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
C．d=4(2?1)sin22.5°，π≈8sin22.5°D．d=8(2?1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
變式2-6．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是(?3,3)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．
變式2-7．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是_____．
變式2-8．(2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為_________厘米．
變式2-9．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b=20mm，則邊長(zhǎng)a為_________mm．
變式2-10．(2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．
變式2-11．(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是24cm，連接這個(gè)六邊形的各邊中點(diǎn)G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長(zhǎng)是 ___cm．
變式2-12．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N；③連接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度數(shù)．
(2)△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(3)從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．
變式2-13．(2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為______；
（2）①如圖1，P是邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a?1+?2+?3=S△ABC=3S△OAB，可得?1+?2+?3=_____；（結(jié)果用含a的式子表示）
②如圖2，P是邊長(zhǎng)為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為?1，?2，?3，?4，?5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示?1+?2+?3+?4+?5的值．（參考數(shù)據(jù)：tan36°≈811，tan54°≈118）
（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC//OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留π）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由．
考查題型三 與弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算
典例3．(2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則BC 的長(zhǎng)為（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
變式3-1．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為23m，則改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是（ ）
A．5π3mB．8π3mC．10π3mD．5π3+2m
變式3-2．(2023·河北·統(tǒng)考中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長(zhǎng)是（ ）
A．11πcmB．112πcmC．cmD．72πcm
變式3-3．(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，則這段彎路（AB）的長(zhǎng)度為（ ）
A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm
變式3-4(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
變式3-5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長(zhǎng)是________（結(jié)果保留π）
變式3-6．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α＝_______．
變式3-7．(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
(2)求證：AD平分∠BDO．
考查題型四 與扇形面積有關(guān)的計(jì)算
典例4．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式4-1．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×6的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（ ）
A．π12B．π24C．10π60D．5π60
變式4-2．(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．23π?32B．C．43π?23D．43π?3
變式4-3．(2023·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A'B'C'．在此旋轉(zhuǎn)過程中Rt△ABC所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
變式4-4．(2023·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，PD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．5?πB．5?π2C．52?π2D．52?π4
變式4-5．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E（E不與A，B重合），交CD于點(diǎn)F．以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N．若AB=1，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．π8?18B．π8?14C．π2?18D．π2?14
變式4-6．(2023·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°．則圖中陰影部分面積是_____．
變式4-7．(2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的14，則其側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為______________．
變式4-8(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．
(1)求證：直線CE是⊙O的切線；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
變式4-9．(2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB=30°．
(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若AB=43，求圖中陰影部分的面積．
變式4-10．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．
考查題型五 與圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算
典例5．(2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
變式5-1(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
變式5-2．(2023·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
變式5-3．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．圓柱的底面積為4πm2B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25mD．圓錐的側(cè)面積為5πm2
變式5-4．(2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
變式5-5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是a的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為_______（用含π的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為_______．
變式5-6．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長(zhǎng)為__________．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為__________度．
變式5-7．(2023·山東濰坊·中考真題）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含30°角的直角三角尺分別以兩個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Gegebra畫出如下示意圖
小亮觀察后說：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊AB旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”
你認(rèn)同小亮的說法嗎？請(qǐng)說明理由．
專題30 正多邊形與圓、與弧長(zhǎng)公式、扇形面積、圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算
【考查題型】
【知識(shí)要點(diǎn)】
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
【解題思路】
1.正邊形半徑、邊心距和12邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形。
2.已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值可以借助勾股定理求解。
正多邊形的對(duì)稱性：
1）正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。
2）一個(gè)正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．對(duì)稱中心就是這個(gè)正多邊的中心。
【小結(jié)】正n變形的內(nèi)角為n?2×180°n，外角為3600n，中心角為3600n 內(nèi)角和為（ n-2 ）×180°。
【擴(kuò)展】正多邊形常見邊心距與邊長(zhǎng)的比值
第一種 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (圖一)
變式 正三角形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2 （圖二）
第二種 正方形 在⊙O中四邊形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (圖三)
變式 正方形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1: 2 （圖四）
第三種 正六變形 在⊙O中六邊形是正六邊形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (圖五)

圖一 圖二 圖三 圖四 圖五
設(shè) QUOTE 的半徑為R， QUOTE 圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，
弧長(zhǎng)公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）
扇形面積公式： QUOTE
圓錐的側(cè)面積公式： (其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑)
母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。
圓錐體表面積公式： QUOTE （l為母線）
【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積
2）扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓周長(zhǎng)2πR
求陰影部分面積的幾種常見方法：1）公式法；2）割補(bǔ)法；3）拼湊法；4）等積變形構(gòu)造方程法；5）去重法。
考查題型一 與正多邊形中心角有關(guān)的計(jì)算
典例1．(2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴∠COD= =60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．
變式1-1．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
答案:B
分析：根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，列方程即可得到答案．
【詳解】解：，解得．
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．3D．
答案:C
分析：連接OB，OC，由⊙O的周長(zhǎng)等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解：連接OB，OC，
∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，
∴⊙O的半徑為：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
變式1-3．(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．2mmB．C．D．4mm
答案:D
分析：如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【詳解】連接CF與AD交于點(diǎn)O，
∵為正六邊形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD為等邊三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六邊形的邊長(zhǎng)為4mm，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
變式1-4．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點(diǎn)A，則的度數(shù)為______度．
答案:12
分析：連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．
【詳解】連接AO，如圖，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多邊形AHIJK是正五邊形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．
變式1-5．(2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為__________度．（寫出一個(gè)即可）
答案:60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）
分析：如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．
【詳解】解：這個(gè)圖案對(duì)應(yīng)著如圖所示的一個(gè)正六邊形，它的中心角，
，
角可以為或或或或，
故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式1-6．(2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P為上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D，點(diǎn)E不重合），連接、，，垂足為G，等于________度．
答案:54
分析：連接OC，OD，利用正五邊形的性質(zhì)求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的兩銳角互余即可解答．
【詳解】連接OC，OD，
∵ABCDE是正五邊形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠COD=36o，
∵，
∴∠DGP=90o
∴∠PDG=90o-∠CPD=90o-36o=54o，
故答案為：54o．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角與圓周角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
變式1-7．(2023·湖南株洲·中考真題）一個(gè)蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OC上，則________度．
答案:80
分析：根據(jù)正多邊形性質(zhì)求出中心角，即可求出．
【詳解】解：根據(jù)正多邊形性質(zhì)得，中心角為360°÷9=40°，
∴．
故答案為：80
【點(diǎn)睛】本題考查了正n邊形中心角的定義，在正多邊形中，中心角為 ．
考查題型二 正多邊形與圓
典例2．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（ ）
A．3B．C．D．3
答案:C
分析：利用圓的周長(zhǎng)先求出圓的半徑，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．
【詳解】∵圓O的周長(zhǎng)為，設(shè)圓的半徑為R，
∴
∴R=3
連接OC和OD，則OC=OD=3
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故選 C
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
變式2-1．(2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3）．則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C． D．
答案:A
分析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)P，
根據(jù)題意得：BD∥x軸，AB∥y軸，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y軸，
∴，
∴，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1+2=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
變式2-2．(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
答案:D
分析：連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：連接、，
六邊形為正六邊形，
，
，
為等邊三角形，
，
，
，
的長(zhǎng)為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．
變式2-3．(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，則．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來計(jì)算圓周率則圓周率約為（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：求出正十二邊形的中心角，利用十二邊形周長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：∵十二邊形是正十二邊形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
變式2-4．(2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
答案:A
分析：如圖，連接，．首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由，推出經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，由此即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，．
在正六邊形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
次一個(gè)循環(huán)，
，
經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，
與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，
經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．
變式2-5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)的值，下面d及的值都正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案:C
分析：根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長(zhǎng)，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．
【詳解】
解： 設(shè)剪去△ABC邊長(zhǎng)AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
則BD=，
∵正方形剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，根據(jù)正八邊形每個(gè)內(nèi)角為135度，
，
則∠BFD=22.5°，
∴外接圓直徑d=BF=，
根據(jù)題意知周長(zhǎng)÷d==，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、多邊形內(nèi)角和、圓周長(zhǎng)直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，閱讀理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
變式2-6．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．
答案:
分析：如圖，延長(zhǎng)正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作軸于N，連接AO，BO，證明可得三點(diǎn)共線，可得關(guān)于O對(duì)稱，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作軸于N，連接AO，BO，
三個(gè)正六邊形，O為原點(diǎn)，




同理：

三點(diǎn)共線，
關(guān)于O對(duì)稱，

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．
變式2-7．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是_____．
答案:
分析：如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對(duì)稱圖形可得： 由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得： 可得直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，
由正六邊形是軸對(duì)稱圖形可得：
由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得：
∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，
由正六邊形的性質(zhì)可得：為等邊三角形， 而


則


故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識(shí)，掌握“正六邊形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．
變式2-8．(2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為_________厘米．
答案:54
分析：設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．
【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，如圖，
∵六邊形MNGHPO是正六邊形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等邊三角形，
同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等邊△ABC≌等邊△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六邊形MNGHPO的周長(zhǎng)為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案為：54．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
變式2-9．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b=20mm，則邊長(zhǎng)a為_________mm．
答案:
分析：根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．
【詳解】解：如圖，
設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四邊形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解是關(guān)鍵．
變式2-10．(2023·上海·統(tǒng)考中考真題）六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．
答案:．
分析：由六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長(zhǎng)為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長(zhǎng)的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)，求出面積之和即可．
【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，
在正六邊形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短邊為1，
∴正六邊形ABCDEF為1，
∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長(zhǎng)的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120?，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30?，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30 度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識(shí)點(diǎn)：在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用．
變式2-11．(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是24cm，連接這個(gè)六邊形的各邊中點(diǎn)G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長(zhǎng)是 ___cm．
答案:
分析：如圖，連接 過作于 再求解正六邊形的邊長(zhǎng)為 證明 再求解 再利用三角形的中位線定理可得答案.
【詳解】解：如圖，連接 過作于
正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是24cm，



分別為的中點(diǎn)，

同理：
六邊形GHKLMN的周長(zhǎng)是
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
變式2-12．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(3)從點(diǎn)A開始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．
答案:(1)
(2)是正三角形，理由見解析
(3)
分析：（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；
（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵正五邊形．
∴，
∴，
∵，
∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
連接，
由作圖知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
變式2-13．(2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為______；
（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由．
答案:（1），1；（2）①；②；（3）①；②見解析．
分析：（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；
（2）①先求得邊長(zhǎng)為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，過作于，先由正切定義，解得的長(zhǎng)，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；
（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，據(jù)此解題．
【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：，
直角三角形斜邊為：，
設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則
設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則
，
故答案為：，1；
（2）①邊長(zhǎng)為的正底邊的高為，面積為：
，
故答案為：；
②類比①中方法可知，
設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，
由①得，
過作于，，
故，，
故，從而得到：
．
（3）①是的切線，
過點(diǎn)作
，
是的高，
故答案為：；
②如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，
連接，∵，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
考查題型三 與弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算
典例3．(2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則 的長(zhǎng)為（ ）
A．6πB．2πC．πD．π
答案:D
分析：先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半徑OB，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出答案即可．
【詳解】解：∵直徑AB=6，
∴半徑OB=3，
∵圓周角∠A=30°，
∴圓心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的長(zhǎng)是=π，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式和圓周角定理，能熟記弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵，注意：半徑為r，圓心角為n°的弧的長(zhǎng)度是．
變式3-1．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為，高為，則改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑BC，再利用矩形的性質(zhì)證得是等邊三角形，得到，進(jìn)而求得門洞的圓弧所對(duì)的圓心角為，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】如圖，連接，，交于點(diǎn)，
∵ ，
∴是直徑，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴門洞的圓弧所對(duì)的圓心角為 ，
∴改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是(m)，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．
變式3-2．(2023·河北·統(tǒng)考中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
答案:A
分析：如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進(jìn)而可得所對(duì)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：如圖，
PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．
，
∠P＝40°，
，
該圓半徑是9cm，
cm，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，半徑，圓心角，則這段彎路（）的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長(zhǎng)公式，可以計(jì)算出這段彎路（）的長(zhǎng)度．
【詳解】解：∵半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，
這段彎路（）的長(zhǎng)度為：，
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長(zhǎng)計(jì)算公式
變式3-4(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
答案:C
分析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，
由題意得：，
解得，
則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．
變式3-5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)是________（結(jié)果保留）
答案:
分析：如圖，連接OD，OE，證明 可得 再證明 可得 再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接OD，OE，
∵
∴





∵與邊AB相切于點(diǎn)D，
∴
∴


的長(zhǎng)
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，求解是解本題的關(guān)鍵．
變式3-6．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α＝_______．
答案:120°．
分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到＝2π?2，然后解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得＝2π?2，
解得α＝120，
即側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°．
故答案為120°．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)公式，方程思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中非常重要，是中考的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，要特別注意．
變式3-7．(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．
(2)求證：AD平分∠BDO．
答案:(1)
(2)見解析
分析：（1）連接，由，得，由弧長(zhǎng)公式即得的長(zhǎng)為；
（2）根據(jù)切于點(diǎn)，，可得，有，而，即可得，從而平分．
【詳解】（1）解：連接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）證明：，
，
切于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
平分．
【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線的性質(zhì)．
考查題型四 與扇形面積有關(guān)的計(jì)算
典例4．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
變式4-1．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．
【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30，，
∴陰影部分面積為：，
∴飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率．
變式4-2．(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴陰影部分的面積為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
變式4-3．(2023·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
答案:A
分析：根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴所掃過的面積為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．
變式4-4．(2023·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
答案:C
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．
【詳解】如圖，連接, ，
邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，
，，為的直徑，，
，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，
，
四邊形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
變式4-5．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，和交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（不與，重合），交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交直線于點(diǎn)，．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根據(jù)題意可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，根據(jù)陰影部分面積等于半圓減去四邊形的面積和弓形的面積即可求解．
【詳解】解：在正方形中，，
的半徑為：
過點(diǎn)，根據(jù)中心對(duì)稱可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，
又
陰影部分面積為：
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，求扇形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
變式4-6．(2023·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．
答案:
分析：證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積-正方形面積的．
【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圓心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形邊長(zhǎng)為4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計(jì)算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
變式4-7．(2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，則其側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為______________．
答案:120°##120度
分析：根據(jù)圓錐的底面積是其表面積的，則得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)＝底面周長(zhǎng)即可求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為，側(cè)面展開扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n°．
由題意得，
，
∵個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，
∴，
．
由得，
故．
由得：
，
解得．
故答案為：120°．
【點(diǎn)睛】此題通過圓錐的底面和側(cè)面，結(jié)合有關(guān)圓、扇形的一些計(jì)算公式，重點(diǎn)考查空間想象能力、綜合應(yīng)用能力．熟記圓的面積和周長(zhǎng)公式、扇形的面積和兩個(gè)弧長(zhǎng)公式并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．
變式4-8(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，平分．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及平分推導(dǎo)出，即可得出，從而推出，即證明得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作于F，利用即可得出答案．
【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于點(diǎn)D，
∴，
∴直線是的切線；
（2）過點(diǎn)O作于F，如圖，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
變式4-9．(2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，經(jīng)過圓心交于點(diǎn)，連接，．
(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
答案:(1)直線與相切，理由見解析
(2)圖中陰影部分的面積
分析：（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：直線與相切，
理由：如圖，連接，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴直線與相切；
（2）解：如（1）中圖，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形 的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
變式4-10．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．
答案:(1)見解析
(2)30°
(3)2π﹣2
分析：（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．
【詳解】（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圓O的切線，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度數(shù)是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，
∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，
答：陰影部分的面積是2π﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．
考查題型五 與圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算
典例5．(2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
答案:D
分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)計(jì)算即可求解．
【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長(zhǎng)=6π，
側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)．
變式5-1(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，
由題意得：，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．
變式5-2．(2023·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圓柱體內(nèi)液體的體積為：
圓錐的體積為，
設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．
變式5-3．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．圓柱的底面積為4πm2B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25mD．圓錐的側(cè)面積為5πm2
答案:C
分析：由圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式、分別求出答案，再進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵底面圓半徑DE=2m，
∴圓柱的底面積為：；故A正確；
圓柱的側(cè)面積為：；故B正確；
圓錐的母線為：；故C錯(cuò)誤；
圓錐的側(cè)面積為：；故D正確；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行判斷．
變式5-4．(2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
答案:A
分析：求出圓錐的表面積，圓柱的表面積，進(jìn)一步求出組合體的表面積為：，即可求出答案．
【詳解】解：如圖：
由勾股定理可知：圓錐的母線長(zhǎng)，
設(shè)底圓半徑為r，則由圖可知，
圓錐的表面積：，
圓柱的表面積：，
∴組合體的表面積為：，
∵每平方米用鋅0.1千克，
∴電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要鋅．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積，解題的關(guān)鍵是求出圓錐的表面積和圓柱的表面積，掌握勾股定理，表面積公式．
變式5-5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為_______（用含的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為_______．
答案:
分析：先求出扇形的半徑與圓心角，再利用扇形弧長(zhǎng)與所圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)的關(guān)系求出圓錐的底面半徑，則可得出答案．
【詳解】解：∵五邊形為正五邊形，
，
∵，這個(gè)扇形的面積為：，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則直徑為：，則:，
解得，
∴．
故答案為： ， ．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形內(nèi)角和定理，扇形、圓錐的相關(guān)計(jì)算，掌握扇形所圍的圓錐與扇形之間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
變式5-6．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長(zhǎng)為__________．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為__________度．
答案: 216
分析：根據(jù)題意可確定，圓錐側(cè)面展開圖是半徑為8的扇形，并且其弧長(zhǎng)即為底面圓的周長(zhǎng)，因而求出底面圓的周長(zhǎng)即可，另外根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式即可直接求出展開之后的圓心角．
【詳解】如圖，由題意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
則該扇形展開后側(cè)面是半徑為10的扇形，其弧長(zhǎng)即為底面圓的周長(zhǎng)，
∴底面的周長(zhǎng)為：，
根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得：，解得：，
故答案為：；216．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開問題，理解圓錐側(cè)面展開圖形的性質(zhì)以及基本定理是解題關(guān)鍵．
變式5-7．(2023·山東濰坊·中考真題）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含角的直角三角尺分別以兩個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Gegebra畫出如下示意圖
小亮觀察后說：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”
你認(rèn)同小亮的說法嗎？請(qǐng)說明理由．
答案:不認(rèn)同，理由見詳解
分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面面積公式進(jìn)行比較即可得到答案．
【詳解】解：甲圓錐的底面半徑為BC，母線為AB，，
乙圓錐的底面半徑為AC，母線為AB，，
∵，
∴，
故不認(rèn)同小亮的說法．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面面積，解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面面積的計(jì)算公式．

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