2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練模型18 軸對稱——將軍飲馬模型-原卷版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

類型一：和兩旁
模型1 如圖，定點A，B分布在定直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點P，使得
PA＋PB的值最小.

【作法】如圖，連接 AB，與直線 l的交點即為所求點P.

模型2 如圖，定點A，B分布在定直線l的同側(cè)，在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小

【作法】如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B＇，連接AB＇，與直線
l的交點即為所求點P.

模型3 如圖，點P為角內(nèi)一點，在射線OA，OB上分別找點M，N，使得△PMN的周長最小.
【作法】如圖，分別作點 P關(guān)于兩射線OA，OB的對稱點P?和P?，連接
P1P2 ，與兩射線的交點即為所求點 M，N。

此圖結(jié)論：
1.OP＝1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN≥P1P2
∠P1OA＝∠POA,∠P2OB＝∠POB,∠P1OP2＝2∠AOB
對稱：△OMP≌△OMP1
模型4 ：在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABDC周長最短．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點B關(guān)于ON的對稱點B’，連接A’B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABDC即為所求．
模型5 在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．
點A是定點，OM，ON是定線，
點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，
交OM于點B，B、C即為所求。
模型6（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD
模型7已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關(guān)于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。
作法二：作點A關(guān)于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2 B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
和兩旁
【總結(jié)】研究幾何最值：
⑴兩點之間，線段最短 ⑵垂線段最短
類型二：差同旁
模型8在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P
此時|PA-PB |=0
模型9 在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，
即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。
模型10 ：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB，
交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。
1． (2023·湖南·寧遠縣上宜中學(xué)九年級階段練習(xí)）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）
A．B．C．D．
2． (2023·湖北黃石·七年級期末）如圖，河道的同側(cè)有、兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（）
A．B．C．D．
3． (2023·云南昆明·八年級期末）如圖，已知點、分別是等邊三角形中、邊的中點，，點是線段上的動點，則的最小值為（）
A．3B．6C．9D．12
1． (2023·湖北荊門·八年級期中）如圖，在等腰中，，，于，點、分別是線段、上的動點，則的最小值是____．
2． (2023·海南三亞·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，，，E、F分別是AD、AB上的動點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是______．
3． (2023·貴州省三穗中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，在坐標系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在圖中畫出關(guān)于x軸的對稱圖形，并分別寫出對應(yīng)點A1、B1、C1的坐標．
(2)求．
(3)在y軸上是否存在一點p，使得AP+CP最小，若存在，請在圖中描出點P，若不存在請說明理由．
4． (2023·四川樂山·七年級期末）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；
（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；
（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．
1．（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值．
2．（2017·江蘇徐州·中考真題）如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點為其交點.
（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，若分別為上的動點.
①當?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；
②如圖③，若點在線段上，，則的最小值=
.
軸對稱
模型（十八）——將軍飲馬模型
類型一：（河）和兩旁
模型1 如圖，定點A，B分布在定直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點P，使得
PA＋PB的值最小.

【作法】如圖，連接 AB，與直線 l的交點即為所求點P.

模型2 如圖，定點A，B分布在定直線l的同側(cè)，在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小

【作法】如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B＇，連接AB＇，與直線
l的交點即為所求點P.

模型3 如圖，點P為角內(nèi)一點，在射線OA，OB上分別找點M，N，使得△PMN的周長最小.
【作法】如圖，分別作點 P關(guān)于兩射線OA，OB的對稱點P?和P?，連接
P?P? ，與兩射線的交點即為所求點 M，N。

此圖結(jié)論：
1.OP＝1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋BN＋MN＋≥P1P2
∠P1OA＝POA,∠P2OB＝POB,∠P1OP2＝2∠AOB
對稱：△OMP≌△OMP1
模型4 類型4：在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點B關(guān)于ON的對稱點B’ ，連接A’ B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．
模型5 在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．
點A是定點，OM，ON是定線，
點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，
交OM于點B，B、C即為所求。
模型6（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD
模型7已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關(guān)于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。
作法二：作點A關(guān)于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2 B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
和兩旁
【總結(jié)】研究幾何最值：
⑴兩點之間，線段最短 ⑵垂線段最短
類型二：差同旁
模型8在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P
此時|PA-PB |=0
模型9 在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，
即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。
模型10 ：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB，
交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。
1． (2023·湖南·寧遠縣上宜中學(xué)九年級階段練習(xí)）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a，AI＝MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，
即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點I，使AI等于河寬．
連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運用到了兩點之間線段最短，平行四邊形等知識點，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點．
2． (2023·湖北黃石·七年級期末）如圖，河道的同側(cè)有、兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．
【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：
故選：D．
【點睛】本題主要考查了垂線段最短的運用，實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．
3． (2023·云南昆明·八年級期末）如圖，已知點、分別是等邊三角形中、邊的中點，，點是線段上的動點，則的最小值為（）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】連接CE交AD于點F，連接BF，此時BF＋EF的值最小，最小值為CE．
【詳解】解：連接CE交AD于點F，連接BF，
∵△ABC是等邊三角形，D為BC中點，
∴BF＝CF，
∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE，
此時BF＋EF的值最小，最小值為CE，
∵D、E分別是等邊△ABC中BC、AB邊的中點，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF＋EF的最小值為6，
故選：B．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·湖北荊門·八年級期中）如圖，在等腰中，，，于，點、分別是線段、上的動點，則的最小值是____．
【答案】3
【分析】如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值．
∵，，
∴是的平分線，
∴，
∴，
∵，
∴是點到直線的最短距離，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題最短路線問題，涉及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含的直角三角形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是從已知條件并結(jié)合圖形思考，通過三線合一的性質(zhì)和垂線段最短，確定線段和的最小值．
2． (2023·海南三亞·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，，，E、F分別是AD、AB上的動點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是______．
【答案】40°##40度
【分析】要使△CEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出C關(guān)于BA和AD的對稱點N，M，即可得出，最后利用△CMN內(nèi)角和即可得出答案．
【詳解】作C關(guān)于BA和AD的對稱點N，M，連接MN，交AD于E1，交AB于F1，則MN即為△CEF的周長最小值．
∵，，
∴∠DCB=110°，
由對稱可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴，
∵，
∴，
∴，
即當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是40°，
故答案為：40°．
【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)、等邊對等角等知識，根據(jù)已知得出的周長最小時，E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．
3． (2023·貴州省三穗中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，在坐標系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在圖中畫出關(guān)于x軸的對稱圖形，并分別寫出對應(yīng)點A1、B1、C1的坐標．
(2)求．
(3)在y軸上是否存在一點p，使得AP+CP最小，若存在，請在圖中描出點P，若不存在請說明理由．
【答案】(1)見解析，A1（1，-1），B1（4，-2）C1(3，-4)
(2)3.5
(3)存在，見解析
【分析】（1）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行作圖，即可得到；
（2）利用三角形面積公式求解；
（3）作點A關(guān)于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P，則可得解．
（1）
解：如圖，即為所求：
，，的坐標分別為：（1，-1）、（4，-2）、（3，-4）；
（2）
解：；
（3）
解：存在．
如上圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點，連接，則與y軸的交點即是點P的位置．
【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．
4． (2023·四川樂山·七年級期末）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；
（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；
（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的最小值為
【分析】（1）作點關(guān)于直線小河的對稱點，連接，交于，則最小；
（2）分別作點關(guān)于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最??；
（3）過點C作，交于，于，連接ME，則最小，證明≌，可得，，可證得△COM≌△EOM，從而得到當點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當EN⊥AC時，NE最小，再根據(jù)，可得，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，作點關(guān)于直線小河的對稱點，連接，交于，則最??；
理由：根據(jù)作法得：，
∴，
∴當點共線時，最??；
（2）如圖，分別作點關(guān)于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最?。?br>理由：根據(jù)作法得：，，
∴，
∴當點共線時，的周長最?。?br>（3）如圖，過點C作，交于，于，連接ME，則最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴當點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當EN⊥AC時，NE最小，
過點C作CF⊥AB于點F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值為．
【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．
1．（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值．
【答案】（1）答案見解析；（2）①證明見解析；②．
【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可；
（2）①延長DE交AB的延長線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問題；②作點B關(guān)于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長.
【詳解】（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示，
（2）延長DE交AB的延長線于F，
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作點B關(guān)于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DG，
∵KH∥DG，
∴，
∴，
∴KH，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長，∴BM+MN的最小值為．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，軸對稱最短問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
2．（2017·江蘇徐州·中考真題）如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點為其交點.
（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，若分別為上的動點.
①當?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；
②如圖③，若點在線段上，，則的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD，理由見解析；（2）①；②．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖②，作點D關(guān)于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結(jié)論；
（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對稱點Q′，作D關(guān)于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如圖②，作點D關(guān)于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
則此時PN+PD的長度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等邊三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對稱點Q′，作D關(guān)于BE的對稱點D′，
連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．
根據(jù)軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形，軸對稱??最短路徑問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)解決最短問題，屬于中考壓軸題．

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