“線段最值”問題是中考的熱點(diǎn)問題(每年必考),題型多樣,變化靈活,綜合性強(qiáng),考查的知識點(diǎn)眾多,涉及多種數(shù)學(xué)思想、方法和技能技巧,對學(xué)生的各種能力要求較高,一般都是各題型的壓軸題,拉分題. 深刻理解把握這一問題的基本原理、解決策略,利于我們把握中考方向,在教學(xué)實(shí)踐中才能做到有的放矢,提高教學(xué)的針對性、有效性.
其他PA+PB+PC型
①兩點(diǎn)之間,線段最短；
③三角形兩邊之和大于第三邊.
②點(diǎn)線之間,垂線段最短；
④平行線之間,垂線段最短
復(fù)雜的幾何最值問題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式得到的,在解決這一類問題的時候,常常需要通過幾何變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化,逐漸轉(zhuǎn)化為“基本圖形”,再運(yùn)用“基本圖形”的知識解決.常運(yùn)用的典型幾何變換有： (1)翻折---將軍飲馬； (2)平移---造橋選址； (3)旋轉(zhuǎn)---費(fèi)馬點(diǎn)問題； (4)相似---阿氏圓問題； (5)三角---胡不歸問題； (6)多變換綜合運(yùn)用。
1.分析定點(diǎn)、動點(diǎn)，尋找不變特征； 2.確定路徑(關(guān)鍵)：通過起點(diǎn)、終點(diǎn)、特殊點(diǎn)猜測運(yùn)動路徑(軌跡), 并結(jié)合不變特征進(jìn)行驗(yàn)證； 3.①若屬于常見模型，調(diào)用模型解決問題； ②若不屬于常見模型，要結(jié)合所求目標(biāo), 根據(jù)不變特征轉(zhuǎn)化為基本定理或函數(shù)解決問題. 4.設(shè)計方案，求出路徑長.
1.如圖,A,B兩點(diǎn)在直線l同側(cè),在l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最小.
4.如圖,在直線l兩側(cè)有A,B兩點(diǎn),在l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最大.
2.如圖,A,B兩點(diǎn)在直線l兩側(cè),在l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最小.
3.如圖,在直線l同側(cè)有A,B兩點(diǎn),在l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最大.
【例1】如圖,已知二次函數(shù)y=x2+4x-5的圖象及對稱軸,請用無刻度直尺按下列要求作圖.(1)在圖1中作點(diǎn)P(-4,-5)；(2)已知點(diǎn)P(-4,-5),在圖2中的對稱軸上作一點(diǎn)Q,使QC-QA的值最大.
利用將軍飲馬求線的和的最值問題
利用軸對稱或梯形四點(diǎn)共線作圖
【引例】如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā),先牽馬去河邊MN喝水,再回到駐地B.這位將軍怎樣走路程最短?
將軍沿A-P-B走路程最短.
圖形特征： 適用模型：基本策略：基本方法：基本原理：解題關(guān)鍵：
同側(cè)化異側(cè)、折線化直線；
N個動點(diǎn)N條河,N次對稱跑不脫；
圖形特征：兩定一動；適用模型：將軍飲馬；基本策略：同側(cè)化異側(cè)、折線化直線；基本方法：N個動點(diǎn)N條河,N次對稱跑不脫；基本原理：兩點(diǎn)之間線段最短；解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線.
PA+PB=_______.
PA+PB=_______=____.
【引例1】如圖,A,B均為駐地,將軍某一天要從駐地A出馬,先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到駐地B,這位怎樣走路程最短？
將軍沿A-C-D-B走路程最短
圖形特征：兩定兩動；適用模型：將軍遛馬(臺球兩次碰壁)；基本策略：同側(cè)化異側(cè)、折線化直線；基本方法：N個動點(diǎn)N條河,N次對稱跑不脫；基本原理：兩點(diǎn)之間線段最短；解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線.
【引例2】如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā),先牽馬去草地OM吃草,再牽馬去河邊ON喝水,最后回到駐地A.這位怎樣走路程最短？
將軍沿A-B-C-A走路程最短
圖形特征：兩定兩動；適用模型：將軍遛馬；基本策略：同側(cè)化異側(cè)、折線化直線；基本方法：N個動點(diǎn)N條河,N次對稱跑不脫；基本原理：兩點(diǎn)之間線段最短；解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線.
【例3-1】如圖,點(diǎn)A(a,3)B(b,1)都在雙曲線 上,點(diǎn)C,D分別是x軸,y軸上的動點(diǎn),則四邊形ABCD周長的最小值為( ) A. B. C. D.
1.(1)如圖①,在AB直線一側(cè)C,D兩點(diǎn),在AB上找一點(diǎn)P,使C,D,P三點(diǎn)組成的三角形的周長最短,找出此點(diǎn)并說明理由．(2)如圖②,在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P,是否在OA,OB上分別存在點(diǎn)E,F,使得E,F,P三點(diǎn)組成的三角形的周長最短,并說明理由.(3)如圖③,在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M,N,是否在OA,OB上分別存在點(diǎn)E,F,使得E,F,M,N,四點(diǎn)組成的四邊形的周長最短,并說明理由.
2.如圖,拋物線y=0.5x2-4x+4與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是OA的中點(diǎn).一個動點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā),先經(jīng)過x軸上的點(diǎn)M,再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點(diǎn)N,然后返回到點(diǎn)A.如果動點(diǎn)G走過的路程最短為____,則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為________________,
M(8/3,0)N(4,1)
【引例】“變態(tài)的將軍飲馬”--- 造橋選址問題 將軍每日需騎馬從軍營A出發(fā),去河對岸的瞭望臺B觀測敵情,已知河流的寬度為30米,請問,在何地修浮橋,使每日的行程最短?
如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢?
我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能幫助我們?
圖形特征：兩定兩動；適用模型：造橋選址；基本方法：將一定點(diǎn)沿定長方向平移定長距離, 再用將軍飲馬模型解決問題；基本原理：兩點(diǎn)之間線段最短；解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線.
如圖,荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎,河寬相同,從A處到B處,須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′(橋?qū)挷挥?,設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？
【例4-1】如圖,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60o,M,N是AC上兩動點(diǎn),且MN=2,則BM+BN的最小值為_____.
【例4-2】在矩形ABCD,AB=6,BC=8,G為AD的中點(diǎn).如圖,E,F為邊AB上的兩個動點(diǎn),且EF=4,當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時,則AF=___.
1.已知A(1,1),B(4,2),(1)點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn),求|PA-PB|的值最大時P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn),求PA+PB的最小值和此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)CD為x軸上一條動線段,且CD=1,求AC+CD+DB的最小值和此時C點(diǎn)的坐標(biāo).
PA+PB的最小值為 ,
AC+CD+DB的最小值為 ,
【例5】如圖,在Rt△ABC中∠ACB=90o,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn),E,F分別是AD,AC上的動點(diǎn),則CE+EF的最小值為_____.
圖形特征： 基本策略：基本原理：解題關(guān)鍵：
1.如圖,△ABC為等邊三角形,邊長為6,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AB上的兩個動點(diǎn),連接CE,EF,則CE+EF的最小值為____.2.如圖,∠BAC=30o,M為AC上一點(diǎn),AM=2,點(diǎn)P是AB上的一動點(diǎn),PQ⊥AC,垂足為點(diǎn)Q,則PM+PQ的最小值為____.
將軍飲馬：這個將軍飲的不是馬,是數(shù)學(xué)！解題依據(jù)：兩點(diǎn)間線段最短；點(diǎn)到直線的垂直距離最短；翻折,對稱.解題策略：對稱、翻折→化同為異；化異為同；化折為直.口 訣：和與差,求最值,將軍飲馬七模型！
兩村一路(異側(cè))和最小
兩村一路(同側(cè))差最大
兩村一路(異側(cè))差最大
兩村一路(同側(cè))和最小

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