中考數(shù)學總復習專題02整式及因式分解(10個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc28266" 【考點1 整式的相關概念】 PAGEREF _Tc28266 \h 1
\l "_Tc2879" 【考點2 整式的加減運算】 PAGEREF _Tc2879 \h 3
\l "_Tc9660" 【考點3 冪的運算】 PAGEREF _Tc9660 \h 3
\l "_Tc32194" 【考點4 整式乘法公式的運用】 PAGEREF _Tc32194 \h 4
\l "_Tc20460" 【考點5 整式的混合運算】 PAGEREF _Tc20460 \h 5
\l "_Tc6317" 【考點6 完全平方公式、平方差公式的幾何背景】 PAGEREF _Tc6317 \h 6
\l "_Tc22235" 【考點7 因式分解】 PAGEREF _Tc22235 \h 7
\l "_Tc4207" 【考點8 利用添項、拆項進行因式分解】 PAGEREF _Tc4207 \h 8
\l "_Tc3850" 【考點9 因式分解的應用】 PAGEREF _Tc3850 \h 9
\l "_Tc14888" 【考點10 圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc14888 \h 10
【要點1 整式的相關概念】
(1)代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。
(2)單項式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。
單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。
(3)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。
單項式與多項式統(tǒng)稱整式。
(4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。
(5)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。
合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。
【考點1 整式的相關概念】
【例1】（重慶市育才中學教育集團2022-2023學年九年級二模數(shù)學試題）關于x的三次三項式A=?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a、b、c、d均為常數(shù)），關于x的二次三項式B=7x2?ex?f（e、f均為非零常數(shù)），下列說法正確的個數(shù)是（）
①當2A?3B是關于x的三次三項式時，則f=103；
②當A·B中不含x3時，則f=6e；
③當x=1時，B=2；當x=13時，B=19，則e=132，f=?32；
④d=?52；
⑤a+b+c=112．
A．2B．3C．4D．5
【變式1-1】（2022·重慶八中三模）下列說法中，不正確的是（）
A．?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是4B．3xy4π?2x是整式
C．2πR2+3R是二次二項式D．3x2?6x+1的項是3x2，6x，1
【變式1-2】（2022·浙江臺州·一模）若多項式n?2xm+2?n?1x5?m+6是關于x的三次多項式，則多項式m+n的值為______．
【變式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室三模）某通訊公司推出以下收費套餐，甲選擇了套餐A，乙選擇了套餐B，設甲的通話時間為t1分鐘，乙的通話時間為t2分鐘．
(1)請用含t1t1>150、t2t2>350的代數(shù)式表示甲和乙的通話費用；
(2)若甲9月份通話時間為390分鐘，乙通話費用和甲相同，求乙通話時間；
(3)若甲和乙在10月份通話時間和通話費用都一樣，則通話時間為______．
【要點2 整式的加減】
(1)整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。
去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數(shù)的符號決定了括號內(nèi)的符號是否改變：
如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。
【考點2 整式的加減運算】
【例2】（2022·河北·一模）若關于x的多項式x4+3x2+ax?1與3x4+7x3?bx2+x的差不含二次項和一次項，則a+b等于（）
A．?2B．2C．4D．?4
【變式2-1】（2022·陜西省西安高新逸翠園學校模擬預測）已知A=3x2?x+2y?4xy，B=x2?2x?y+xy?5．
(1)求A?3B；
(2)若A?3B的值與y的取值無關，求x的值．
【變式2-2】（2022·廣東順德德勝學校三模）已知2x2ya+1?0.5xy2?6x3+8是六次四項式，單項式5x2by2的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求a+b2．
【變式2-3】（2022·陜西·西安市第三十一中學模擬預測）某同學做一道題：“已知兩個多項式A和B，計算2A+B”，他誤將2A+B看成A+B，求得的結果為9x2+2x?1，已知B=x2+3x?2．
(1)求多項式A；
(2)請你求出2A+B的正確答案．
【要點3 冪的運算】
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
【考點3 冪的運算】
【例3】（2022·廣東廣州·二模）已知3m=4，32m?4n=2．若9n=x，則x的值為（）
A．8B．4C．22D．2
【變式3-1】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列運算正確的是（）
A．a(chǎn)2+a3=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+b）（a-b）=a2 -b2
【變式3-2】（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量E與震級n的關系為E=k×101.5n（其中k為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的________倍．
【變式3-3】（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2200的理解如下：
YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（覺醒年代）：2200的個位數(shù)字是6；
QGYW（強國有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估計2200比1060大．
其中對2200的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．
【要點4 整式的乘除運算】
①單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
②單項式與多項式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
③多項式與多項式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。
④單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。
⑤多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。
【考點4 整式乘法公式的運用】
【例4】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+1x＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣1x）2；
(2)x4+1x4．
【變式4-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式a2+(2t?1)ab+4b2是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為____________．
【變式4-2】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a=2m2?mn,b=mn?2n2,c=m2?n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小關系為________.
【變式4-3】（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n2?1，整式C>0．
(1)當n=1999時，寫出整式A+B的值______（用科學記數(shù)法表示結果）；
(2)求整式A2?B2；
(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．
【考點5 整式的混合運算】
【例5】（2022·重慶市綦江區(qū)東溪中學九年級階段練習）已知多項式A=x2+2y+m和B=y2?2x+n（m，n為常數(shù)），以下結論中正確的是（）
①當x=2且m+n=1時，無論y取何值，都有A+B≥0；
②當m=n=0時，A×B所得的結果中不含一次項；
③當x=y時，一定有A≥B；
④若m+n=2且A+B=0，則x=y；
⑤若m=n，A?B=?1且x，y為整數(shù)，則x+y=1．
A．①②④B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤
【變式5-1】（2022·廣東廣州·中考真題）已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a?3b)+a2
(1)化簡T；
(2)若關于x的方程x2+2ax?ab+1=0有兩個相等的實數(shù)根，求T的值．
【變式5-2】（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x?1),N=4x(x+1)，當x=2時，請比較M與N的大?。?br>【變式5-3】（2022·重慶一中二模）對整式 a2 進行如下操作：將 a2 與另一個整式 x1 相加，使得 a2 與 x1 的和等于 a+12，表示為m1=a2+x1=a+12，稱為第一次操作；將第一次操作的結果 m1 與另一個整式 y1 相減，使得 m1 與y1 的差等于 a2?1，表示為 m2=m1?y1=a2?1，稱為第二次操作；將第二次的操作結果 m2 與另一個整式 x2 相加，使得 m2 與 x2 的和等于 a+22，表示為 m3=m2+x2=a+22，稱為第三次操作；將第三次操作的結果 m3 與另一個整式 y2 相減，使得 m3 與 y2 的差等于 a2?22，表示為m4=m3?y2=a2?22，稱為第四次操作，以此類推，下列四種說法：
①x2=6a+13 ；② y5+y7?x5?x7=20 ；③ x2022?y2021=2a+4045 ；④當 n 為奇數(shù)時，第 n 次操作結果 mn=a+n+122；當 n 為偶數(shù)時，第 n 次操作結果 mn=a2?n22 ：四個結論中正確的有（）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【考點6 完全平方公式、平方差公式的幾何背景】
【例6】（2022·湖北隨州·一模）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形．根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【變式6-1】（2022·湖北·武漢市光谷實驗中學一模）如圖，將圖1的正方形的紙片剪成四塊，再用這四塊小紙片進行拼接，恰好拼成一個如圖2無縫隙、不重疊的矩形，則ba＝_____．
【變式6-2】（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．
（1）以上兩個圖形反映了等式：______；
（2）運用（1）中的等式，計算20222?2021×2023=______．
【變式6-3】（2022·安徽·六安市輕工中學一模）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式。
例如圖1可以得到(a+b)2=α2＋2ab＋b2，基于此，請解答下列問題∶
（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式∶____________________。
（2）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b 的正方形、z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（5a+7b）（9a+4b）長方形，
則x+y+z=_____________。
【要點5 因式分解】
定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步驟：
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
【考點7 因式分解】
【例7】（2022·安徽蕪湖·二模）下列因式分解正確的是（）
A．a(chǎn)2b?ab2=a(a+b)(a?b)B．a(chǎn)2?(2b?1)2=(a+2b?1)(a?2b+1)
C．a(chǎn)3?2ab+ab2=a(a?b)2D．a(chǎn)2b2?4a2b+4a2=a(b?2)2
【變式7-1】（2022·浙江杭州·模擬預測）若x2+mx+n分解因式的結果是(x?2)(x+1)，則m+n的值為（）
A．-3B．3C．1D．-1
【變式7-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
【變式7-3】（2022·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：m+n2?6m+n+9=________．
【考點8 利用添項、拆項進行因式分解】
【例8】（2022·湖南·懷化市第四中學二模）【閱讀理解】
對于二次三項式x2+2ax+a2，能直接用公式法進行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但對于二次三項式x2+2ax?3a2，就不能直接用公式法了．
我們可以采用這樣的方法：在二次三項式x2+2ax?3a2中先加上一項a2，使其成為完全平方式，再減去a2這項，使整個式子的值不變，于是：
x2+2ax?3a2=x2+2ax+a2?a2?3a2
=x2+2ax+a2?4a2
=x+a2?2a2
=x+a+2ax+a?2a
=x+3ax?a
像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．
(1)【問題解決】請用上述方法將二次三項式x2+2ax?8a2分解因式．
(2)【拓展應用】二次三項式x2?4x+7有最小值或最大值嗎？如果有，請你求出來并說明理由．
(3)運用材料中的添（拆）項法分解因式：a4+a2b2+b4．
【變式8-1】（2022·吉林大學附屬中學八年級二模）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b) =a+bx+y2xy+y2?1+x2=x2+2xy+y2?1=(x+y)2?1=(x+y+1)(x+y?1)
拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)2?22=(x+1+2)(x+1?2)=(x+3)(x?1)請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
(1)分解因式：a2?4a?b2+4；
(2)分解因式：x2?6x?7.
【變式8-2】（2022·重慶八中二模）因式分解：(1?x2)(1?y2)?4xy
【變式8-3】（2022·重慶巴蜀中學三模）因式分解：x4+4
【考點9 因式分解的應用】
【例9】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）解決次數(shù)較高的代數(shù)式問題時，通?？梢杂媒荡蔚乃枷敕椒ǎ阎簒2?x?1=0，且x>0，則x4?2x3+3x的值是（）
A．1+5B．1?5C．3+5D．3?5
【變式9-1】（2022·河北·模擬預測）216?1可以被10?20之間的兩個整數(shù)整除，那這兩個整數(shù)是（）
A．13和15B．12和16C．14和17D．15和17
【變式9-2】（2022·四川樂山·中考真題）已知m2+n2+10=6m?2n，則m?n=______．
【變式9-3】（2022·青海西寧·中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將2a?3ab?4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式=2a?3ab?4?6b=a2?3b?22?3b=2?3ba?2
解法二：原式=2a?4?3ab?6b=2a?2?3ba?2=a?22?3b
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請用分組分解法將x2?a2+x+a因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請用分組分解法將ax+a2?2ab?bx+b2因式分解；
【應用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和ba>b，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4?2a3b+2a2b2?2ab3+b4因式分解，再求值．
【考點10 圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】
【例10】（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（）
A．297B．301C．303D．400
【變式10-1】（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，?35，12，?717，926，?1137，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）
A．?19101B．21101C．?1982D．2182
【變式10-2】（2022·重慶·中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（）
A．15B．13C．11D．9
【變式10-3】（2022·山東泰安·中考真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
若有序數(shù)對n,m表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如3,2表示6，則表示99的有序數(shù)對是_______．月租費（元/月）
不加收通話費時限（分）
超時加收通話費標準（元/分）
套餐A
58
150
0.3
套餐B
88
350
0.3
專題02 整式及因式分解（10個高頻考點）（舉一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc28266" 【考點1 整式的相關概念】 PAGEREF _Tc28266 \h 1
\l "_Tc2879" 【考點2 整式的加減運算】 PAGEREF _Tc2879 \h 5
\l "_Tc9660" 【考點3 冪的運算】 PAGEREF _Tc9660 \h 8
\l "_Tc32194" 【考點4 整式乘法公式的運用】 PAGEREF _Tc32194 \h 10
\l "_Tc20460" 【考點5 整式的混合運算】 PAGEREF _Tc20460 \h 13
\l "_Tc6317" 【考點6 完全平方公式、平方差公式的幾何背景】 PAGEREF _Tc6317 \h 17
\l "_Tc22235" 【考點7 因式分解】 PAGEREF _Tc22235 \h 21
\l "_Tc4207" 【考點8 利用添項、拆項進行因式分解】 PAGEREF _Tc4207 \h 23
\l "_Tc3850" 【考點9 因式分解的應用】 PAGEREF _Tc3850 \h 25
\l "_Tc14888" 【考點10 圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc14888 \h 29
【要點1 整式的相關概念】
(1)代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。
(2)單項式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。
單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。
(3)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。
單項式與多項式統(tǒng)稱整式。
(4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。
(5)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。
合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。
【考點1 整式的相關概念】
【例1】（重慶市育才中學教育集團2022-2023學年九年級二模數(shù)學試題）關于x的三次三項式A=?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a、b、c、d均為常數(shù)），關于x的二次三項式B=7x2?ex?f（e、f均為非零常數(shù)），下列說法正確的個數(shù)是（）
①當2A?3B是關于x的三次三項式時，則f=103；
②當A·B中不含x3時，則f=6e；
③當x=1時，B=2；當x=13時，B=19，則e=132，f=?32；
④d=?52；
⑤a+b+c=112．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】計算2A?3B，令常數(shù)項為0可判斷①；計算A·B，令x3項系數(shù)為0可判斷②；由當x=1時，B=2；當x=13時，B=19列出方程組可解得e和f的值，從而判斷③；用特殊值法可求出d和a+b+c的值，可判斷④和⑤．
【詳解】解：2A?3B＝2(?12x3+3x2?5)?3(7x2?ex?f) 2(?12x3+3x2?5)
＝?x3?15x2+3ex+3f?10，
∵2A?3B是關于x的三次三項式，e≠0，
∴3f?10=0，
解得f=103，故①正確；
A·B=(?12x3+3x2?5)·(7x2?ex?f)
＝?72x5+(e2+21)x4+(f2?3e)x3?(3f+35)x+5f，
∵A·B中不含x3，
∴f2?3e=0，
∴f=6e，故②正確；
∵x=1時，B=2；當x=13時，B=19，
∴7?e?f=279?e3?f=19，
解得e=132，f=?32，故③正確；
在?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d中，令x=1得：
?12+3?5=d，
∴d=?52，故④正確；
在?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d中，令x=2得：
?4+12?5=a+b+c+d，
∵d=?52，
∴a+b+c=112，故⑤正確，
∴正確的有①②③④⑤，共5個，
故選：D．
【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是掌握整式運算相關法則．
【變式1-1】（2022·重慶八中三模）下列說法中，不正確的是（）
A．?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是4B．3xy4π?2x是整式
C．2πR2+3R是二次二項式D．3x2?6x+1的項是3x2，6x，1
【答案】D
【分析】根據(jù)單項式和多項式的相關定義進行判斷即可．
【詳解】A. ?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是4，故選項正確，不符合題意；
B. 3xy4π?2x是整式，故選項正確，不符合題意；
C. 2πR2+3R是二次二項式，故選項正確，不符合題意；
D. 3x2?6x+1的項是3x2，?6x，1，故選項不正確，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了單項式和多項式的相關定義，掌握單項式和多項式的相關定義是解題的關鍵．
【變式1-2】（2022·浙江臺州·一模）若多項式n?2xm+2?n?1x5?m+6是關于x的三次多項式，則多項式m+n的值為______．
【答案】2或4##4或2
【分析】分類討論，根據(jù)多項式的次數(shù)為三次，超過三次的項的系數(shù)為0，即可求得m,n的值，進而即可求解．
【詳解】解：∵多項式n?2xm+2?n?1x5?m+6是關于x的三次多項式，
當m+2=3n?2≠0時，m=1，5?m=4，則n?1=0，
∴n=1
∴m+n=2；
當5?m=3n?1≠0，m=2，m+2=4，則n?2=0，
∴n=2，
∴m+n=4；
故答案為：2或4．
【點睛】本題考查了多項式的定義，掌握多項式的次數(shù)是最高次數(shù)的項的次數(shù)是解題的關鍵．
【變式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室三模）某通訊公司推出以下收費套餐，甲選擇了套餐A，乙選擇了套餐B，設甲的通話時間為t1分鐘，乙的通話時間為t2分鐘．
(1)請用含t1t1>150、t2t2>350的代數(shù)式表示甲和乙的通話費用；
(2)若甲9月份通話時間為390分鐘，乙通話費用和甲相同，求乙通話時間；
(3)若甲和乙在10月份通話時間和通話費用都一樣，則通話時間為______．
【答案】(1)(0.3t1+13)元，(0.3t2?17)元；
(2)490分鐘；
(3)250分鐘．
【分析】（1）利用通話費用=月租費+超時加收通話費標準×超時的時間，即可用含t1、t2的代數(shù)式表示出甲和乙的通話費用；
（2）根據(jù)甲、乙的通話費用相同，即可得出關于t2的一元一次方程，解之即可；
（3）當t1=t2時，設甲、乙的通話時間均為t分鐘，分為0＜t≤150， 150＜t≤350，t＞350三種情況討論，即可得出關t的一元一次方程，解之即可．
【詳解】（1）解：依題意得：甲的通話費用為58+0.3(t1?150)=(0.3t1+13)元，
乙的通話費用為88+0.3(t2?350)=(0.3t2?17)元，
（2）解：依題意得：0.3t2?17=0.3×390+13，
解得t2=490，
答：乙的通話時間為490分鐘．
（3）解：當t1=t2時，設甲、乙的通話時間均為t分鐘，
當0＜t≤150時，甲的費用為58元，乙的費用為88元，不符合題意；
當150＜t≤350時，0.3t+13=88，解得t=250；
當 t＞350時，0.3t+13=0.3t?17，無解；
∴甲和乙在10月份通話時間和通話費用都一樣，則通話時間為250分鐘，
故答案為：250分鐘．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是要讀懂題意找出等量關系才能正確列出方程．
【要點2 整式的加減】
(1)整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。
去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數(shù)的符號決定了括號內(nèi)的符號是否改變：
如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。
【考點2 整式的加減運算】
【例2】（2022·河北·一模）若關于x的多項式x4+3x2+ax?1與3x4+7x3?bx2+x的差不含二次項和一次項，則a+b等于（）
A．?2B．2C．4D．?4
【答案】A
【分析】先把兩個多項式相減整理得?2x4?7x3+3+bx2+a?1x?1，再根據(jù)式子不含二次項和一次項，得3+b=0,a?1=0，即可得答案．
【詳解】解：x4+3x2+ax?1?3x4+7x3?bx2+x
=x4+3x2+ax?1?3x4?7x3+bx2?x
=?2x4?7x3+3+bx2+a?1x?1
∵式子不含二次項和一次項，
∴3+b=0,a?1=0，
∴b=?3,a=1，
∴a+b=1?3=?2，
故選：A．
【點睛】本題考查了整式的加減，解題的關鍵是掌握不含二次項和一次項，就說明二次項和一次項的系數(shù)為0.
【變式2-1】（2022·陜西省西安高新逸翠園學校模擬預測）已知A=3x2?x+2y?4xy，B=x2?2x?y+xy?5．
(1)求A?3B；
(2)若A?3B的值與y的取值無關，求x的值．
【答案】(1)5x+5y?7xy+15；
(2)57
【分析】（1）將A=3x2?x+2y?4xy ，B=x2?2x?y+xy?5代入計算即可；
（2）令y的系數(shù)為0可得關于x的方程，即可解得x的值．
【詳解】（1）解：當A=3x2?x+2y?4xy ，B=x2?2x?y+xy?5時，
A?3B=3x2?x+2y?4xy?3x2?2x?y+xy?5，
=3x2?x+2y?4xy?3x2+6x+3y?3xy+15，
=5x+5y?7xy+15；
（2）解：∵A?3B=5x+5y?7xy+15=5x+5?7xy+15，
∴A?3B的值與y的取值無關，即5?7x=0，
解得：x=57
【點睛】本題考查了整式的加減運算，熟練掌握取值無關題型的解題思路是解題關鍵．
【變式2-2】（2022·廣東順德德勝學校三模）已知2x2ya+1?0.5xy2?6x3+8是六次四項式，單項式5x2by2的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求a+b2．
【答案】25．
【分析】根據(jù)多項式2x2ya+1?0.5xy2?6x3+8是六次四項式，可得2+a+1=6，根據(jù)單項式5x2by2的次數(shù)與多項式的次數(shù)相同，可得2b+2=6，可得到a,b的值，從而可得答案．
【詳解】解：∵多項式2x2ya+1?0.5xy2?6x3+8是六次四項式，
∴2+a+1=6，解得a=3，
∵單項式5x2by2的次數(shù)與多項式的次數(shù)相同，
∴2b+2=6，解得b=2．
∴a+b2=3+22=52=25.
【點睛】本題考查的是多項式的項與次數(shù)的含義，單項式的次數(shù)，多項式中的每個單項式叫做多項式的項，最高次項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)，利用多項式與單項式的次數(shù)的含義建立方程求解是解本題的關鍵．
【變式2-3】（2022·陜西·西安市第三十一中學模擬預測）某同學做一道題：“已知兩個多項式A和B，計算2A+B”，他誤將2A+B看成A+B，求得的結果為9x2+2x?1，已知B=x2+3x?2．
(1)求多項式A；
(2)請你求出2A+B的正確答案．
【答案】(1)8x2?x+1
(2)17x2+x
【分析】（1）根據(jù)題意可知A+B=9x2+2x?1，B=x2+3x?2，然后即可計算出多項式A；
（2）根據(jù)（1）中求得的A和題目中的B，即可計算出2A+B的正確答案．
【詳解】（1）解：由題意可得，A+B=9x2+2x?1，B=x2+3x?2，
∴A=A+B?B
=9x2+2x?1?x2+3x?2
=9x2+2x?1?x2?3x+2
=8x2?x+1，
∴多項式A為8x2?x+1；
（2）解:由（1）知：A=8x2?x+1，B=x2+3x?2，
∴2A+B
=28x2?x+1+x2+3x?2
=16x2?2x+2+x2+3x?2
=17x2+x，
∴ 2A+B的正確答案是17x2+x．
【點睛】本題考查整式的加減，解答本題的關鍵是明確去括號法則和合并同類項的方法．
【要點3 冪的運算】
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
【考點3 冪的運算】
【例3】（2022·廣東廣州·二模）已知3m=4，32m?4n=2．若9n=x，則x的值為（）
A．8B．4C．22D．2
【答案】C
【分析】逆用同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方法則．由32m?4n=3m÷9n2即可解答．
【詳解】∵32m?4n=32m?2n=3m?2n2=3m÷9n2，
依題意得：4x2=2，x>0．
∴4x=2，
∴x=22，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，以及冪的乘方運算，關鍵是會逆用同底數(shù)冪的乘除法進行變形．
【變式3-1】（2022·上海·中考真題）下列運算正確的是（）
A．a(chǎn)2+a3=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+b）（a-b）=a2 -b2
【答案】D
【分析】根據(jù)整式加法判定A；運用積的乘方計算關判定B；運用完全平方公式計算并判定C；運用平方差公式計算并判定D．
【詳解】解：A.a2+a3沒有同類項不能合并，故此選項不符合題意；
B.（ab）2 =a2b2，故此選項不符合題意；
C.（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項不符合題意
D.（a+b）（a-b）=a2 -b2，故此選項符合題意
故選：D．
【點睛】本題考查整理式加法，積的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握積的乘方運算法則、完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵．
【變式3-2】（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量E與震級n的關系為E=k×101.5n（其中k為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)能量E與震級n的關系為E=k×101.5n（其中k為大于0的常數(shù)）可得到，
當震級為8級的地震所釋放的能量為：k×101.5×8=k×1012，
當震級為6級的地震所釋放的能量為：k×101.5×6=k×109，
∵k×1012k×109=103=1000，
∴震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．
故答案為：1000．
【點睛】本題考查了利用同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減的知識，充分理解題意并轉化為所學數(shù)學知識是解題的關鍵．
【變式3-3】（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2200的理解如下：
YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（覺醒年代）：2200的個位數(shù)字是6；
QGYW（強國有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估計2200比1060大．
其中對2200的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．
【答案】DDDD
【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將2200化為(2100)2，再與2002比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得2200=(210)20,1060=(103)20，即可判斷QGYW（強國有我）的理解是正確的．
【詳解】2200是200個2相乘，YYDS（永遠的神）的理解是正確的；
2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32?，
∴2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，
∵200÷4=50，
∴ 2200的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；
∵2200=(210)20,1060=(103)20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（強國有我）的理解是正確的；
故答案為：DDDD．
【點睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運算法則是解題的關鍵．
【要點4 整式的乘除運算】
①單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
②單項式與多項式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
③多項式與多項式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。
④單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。
⑤多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。
【考點4 整式乘法公式的運用】
【例4】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+1x＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣1x）2；
(2)x4+1x4．
【答案】(1)5
(2)47
【分析】（1）由(x+1x)2＝x2+2?x?1x+1x2、(x?1x)2＝x2?2?x?1x+1x2，進而得到(x+1x)2﹣4x?1x即可解答；
（2）由(x?1x)2＝x2?2+1x2可得x2+1x2=7，又(x2+1x2)2＝x4+2+1x4，進而得到x4+1x4＝(x2+1x2)2﹣2即可解答．
（1）解：∵(x+1x)2＝x2+2?x?1x+1x2∴(x?1x)2＝x2?2?x?1x+1x2＝x2+2x?1x+1x2?4x?1x＝(x+1x)2﹣4x?1x＝32﹣4＝5．
（2）解：∵(x?1x)2＝x2?2+1x2，∴x2+1x2＝(x?1x)2+2＝5+2＝7，∵(x2+1x2)2＝x4+2+1x4，∴x4+1x4＝(x2+1x2)2﹣2＝49﹣2＝47．
【點睛】本題主要考查通過對完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運用是解答本題的關鍵．
【變式4-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式a2+(2t?1)ab+4b2是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為____________．
【答案】52或?32
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【詳解】解：∵代數(shù)式a2+(2t?1)ab+4b2是一個完全平方式，
∴a2+(2t?1)ab+4b2=a2+2?a?±2b+±2b2=a±2b2，
∴2t?1=±4，
解得t=52或t=?32，
故答案為：52或?32
【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，熟記完全平方公式的特點是解題的關鍵．
【變式4-2】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a=2m2?mn,b=mn?2n2,c=m2?n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小關系為________.
【答案】b

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