【考點(diǎn)1 比例的性質(zhì)】
1．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）若ab=34，且a+b=14，則2a?b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤鬮a=25 ，則a?ba+b 的值為（ ）
A．14B．37C．35D．75
3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且b+ca=a+cb=a+bc=k，則直線y=kx+k+1一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x=3y?z=5z+x，則5x?yy+2z的值為_________．
5．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓直徑為d，延長(zhǎng)AO,BO,CO，分別與對(duì)邊BC,CA,AB交于D,E,F．
(1)求ODAD+OEBE+OFCF的值；
(2)求證：1AD+1BE+1CF=4d．
【考點(diǎn)2 比例線段】
6．（2022·甘肅甘南·?？家荒＃┫铝懈鹘M線段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm
7．（2022·統(tǒng)考一模）已知線段a=5+1，b=5?1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于______．
8．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(陰影處)沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分成了三段，若這三段長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為1:2:3，則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有________種可能．
9．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┰诒壤邽?：100 000的鹽都旅游地圖上，測(cè)得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的距離約為31 cm，則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為______km．
10．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知三條線段 a，b，c 滿足 a3=b2=c+14 ，且 a+b+c=17 ．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若線段 d 是線段 a 和 b 的比例中項(xiàng)，求 d 的值．
【考點(diǎn)3 黃金分割】
11．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（ ）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
12．（2022·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足BPAP=APAB，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不對(duì)
13．（2022·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)是(0，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)是(2，2)，現(xiàn)有E、F兩點(diǎn)分別從點(diǎn)D(0，2)和點(diǎn)B(2，0)向下和向右以每秒一個(gè)單位速度移動(dòng)，Q為EF中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）在運(yùn)動(dòng)過程中始終與線段EC相等的線段是 ；四邊形CEAF面積＝ ．
（2）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求線段CQ的長(zhǎng)．
（3）過點(diǎn)B作BP平行于CF交EC于點(diǎn)P．當(dāng)t＝ 時(shí)，線段AP最短，此時(shí)作直線EP與x軸交于點(diǎn)K，試證明，點(diǎn)K是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
14．（2011·河北廊坊·統(tǒng)考中考模擬）如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果ACAB=BCAC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果S1S=S2S1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？
（2）請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請(qǐng)你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)E是?ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是?ABCD的黃金分割線．請(qǐng)你畫一條?ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過?ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．
15.（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┕畔ＥD數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足MGMN=GNMG=5?15，后人把5?12這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則△ADE的面積為______．
【考點(diǎn)4 平行線分線段成比例】
16．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長(zhǎng)為_____．
17．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14，則AE的長(zhǎng)為_______．
18．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，ADAB=DEBC，則AEAC=_____．
19．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB=3，則線段BC的長(zhǎng)是（ ）
A．23B．1C．32D．2
20．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）知識(shí)拓展
如圖1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如圖2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解決問題 如圖3，直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函數(shù)y=mx x>0的圖象與AB交于C，D兩點(diǎn)．
(1)若m+n=8，n取何值時(shí)ΔABO的面積最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)5 相似多邊形】
21．（2022·山東青島·?？家荒＃┫铝薪Y(jié)論不正確的是 （ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五邊形都相似
22.（2022·廣東陽江·統(tǒng)考一模）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長(zhǎng)之比為（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
23．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的四邊形，與選項(xiàng)中的四邊形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
24.（2022·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：
甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．
乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；
對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）．
A．兩人都對(duì)B．兩人都不對(duì)C．甲對(duì)，乙不對(duì)D．甲不對(duì)，乙對(duì)
25.（2022·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一張矩形紙片沿它的長(zhǎng)邊對(duì)折（EF為折痕），得到兩個(gè)全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長(zhǎng)邊與短邊的比是_____．
【考點(diǎn)6 相似三角形的判定與性質(zhì)】
26．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=34x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作∠OCD=∠OAB，射線CD交線段OB于點(diǎn)D，將射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，連接BE．
(1)證明：CDDB=ODDE；（用圖1）
(2)當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；（用圖2）
(3)點(diǎn)A關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為F，求BF的最小值．（用圖3）
27．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E的位置關(guān)系是______；
(2)【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE是否相等，并說明理由；
(3)如圖（2），延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60°時(shí)，連接B′C，延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)寫出B′C、EG、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
28．（2022·寧夏·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別相交于C、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=mx(m≠0,x>0)的圖象相交于點(diǎn)A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D是線段AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，連接BE．當(dāng)△BDE面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
29．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在直線AC上，連接BD，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DE，連接BE，CE．
(1)求證：BC=3AB；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合）時(shí)，求CEAD的值；
(3)過點(diǎn)A作AN∥DE交BD于點(diǎn)N，若AD=2CD，請(qǐng)直接寫出ANCE的值．
30．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．
(1)∠EDC的度數(shù)為 ；
(2)連接PG，求△APG 的面積的最大值；
(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
(4)求CHCE的最大值．
【考點(diǎn)7 網(wǎng)格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)相等的正方形網(wǎng)格中，A、B、C 為小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC=_______．
32．（2022·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為C1，△DEF的周長(zhǎng)為C2，則C1C2的值等于_____．
33．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．
(1)在圖1中畫出一個(gè)格點(diǎn)△A1B1C1，使得△A1B1C1與△ABC相似，周長(zhǎng)之比為2：1；
(2)在圖2中畫出一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使得△A2B2C2與△ABC相似，面積之比為2：1．
34．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，畫線段AB的中點(diǎn)F．
(2)在圖②中，畫△CDE的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出△CGH與四邊形DEHG的面積比．
(3)在圖③中，畫△PQR，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且△PQR被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．
35．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的6×9網(wǎng)格，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，邊BC上的點(diǎn)D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在定網(wǎng)格中畫圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．
(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點(diǎn)E，可在BC邊上畫點(diǎn)F，使△ACF∽△BCA；
(2)在圖2中，先在邊AB找點(diǎn)M，使△MDC與△MAC的面積相等，再在AC上畫點(diǎn)N，使△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．
【考點(diǎn)8 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】
36．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=35，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B?C?D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．
(1)如圖1，點(diǎn)G在AC上．求證：FA=FG．
(2)若EF=FG，當(dāng)EF過AC中點(diǎn)時(shí)，求AG的長(zhǎng)．
(3)已知FG=8，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s．當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似（包括全等）？
37．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s)，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2．
(1)當(dāng)t= ______ s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
(2)當(dāng)t= ______ s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；
(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間(不包括Q，B兩點(diǎn))時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(4)是否存在某一時(shí)刻，使得正方形APDE的面積被直線QF平分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
38．（2022·山東青島·?？级＃┮阎鐖D，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿著AC以每秒2個(gè)單位從A向C運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，作QF⊥AC交AD于F，當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)．以QF和PQ為邊作平行四邊形PQFE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)幾秒時(shí)，△AQF ∽ △CPQ？
(2)設(shè)平行四邊形PQFE的面積是S，用t表示S；
(3)當(dāng)PF⊥AD時(shí)，CP=PQ嗎？說明理由．
(4)存不存在某個(gè)時(shí)刻，使得QE∥BC？若存在，求出t；若不存在，說明理由．
39．（2022·浙江紹興·一模）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸負(fù)方向在y軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥x軸交直線AD于點(diǎn)E．
(1)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），DE的單位長(zhǎng)度為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以EP為半徑的⊙E恰好與x軸相切？并求此時(shí)⊙E的半徑；
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)以D，E，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)t的值；
(4)如圖2，將△ABD沿直線AD翻折，得到△AB′D，連結(jié)B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接寫出答案，不要求解答過程）．
40．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿邊AB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作AB的垂線，交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPF與△ABD重合部分圖形面積為s（cm2）．
(1)請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng)；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
【考點(diǎn)9 相似三角形的應(yīng)用】
41．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
42．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，某溫室屋頂結(jié)構(gòu)外框?yàn)椤鰽BC，立柱AD垂直平分橫梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m，為增大向陽面的面積，將立柱增高并改變位置，使屋頂結(jié)構(gòu)外框變?yōu)椤鱁BC(點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上)，立柱EF⊥BC，如圖2所示，若EF=3m，則斜梁增加部分AE的長(zhǎng)為（ ）
A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m
43．（2022·河北邯鄲·?？既＃┮环N燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
44．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測(cè)者沿著水平直線BO后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測(cè)者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結(jié)果取整數(shù)，3≈1.7）
45．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長(zhǎng)分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=_________m．
【考點(diǎn)10 位似變換】
46．（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（ ）
A．1 ：3B．1：6C．1：9D．3：1
47．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為( )
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
48．（2022·廣西河池·統(tǒng)考三模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，以下說法正確的有（ ）個(gè)
①S△ABC:S△A′B′C′=1:2
②AB:A′B′=1:2
③點(diǎn)A，O，A′三點(diǎn)在同一條直線上
④BC∥B′C′
A．1B．2C．3D．4
49．（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，△ABC與△A′B′C′位似，點(diǎn)A為位似中心，且位似比為1：2．若在網(wǎng)格中建立坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,2，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（ ）
A．?5,2B．?1,2或?5,2C．?5,0D．?5,0或?1,4
50．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2:1，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．
專題17 相似三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）
【考點(diǎn)1 比例的性質(zhì)】
1．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）若ab=34，且a+b=14，則2a?b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由題意可得a、b的值，從而得到2a-b的值．
【詳解】解：由題意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)與代數(shù)式求值的綜合應(yīng)用，熟練求解二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
2．（2022·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤鬮a=25 ，則a?ba+b 的值為（ ）
A．14B．37C．35D．75
【答案】B
【分析】根據(jù)比例設(shè)b=2k，a=3k，然后代入比例式計(jì)算即可得解．
【詳解】解:∵ba=25
∴設(shè)b=2k,a=5k,
則a?ba+b=5k?2k5k+2k=37
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì).
3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且b+ca=a+cb=a+bc=k，則直線y=kx+k+1一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】先根據(jù)比例的性質(zhì)求出k的值，然后代入y=kx+k+1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)圖像不經(jīng)過的象限.
【詳解】∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，
∴a+b+c≠0，
∴k=(b+c)+(a+b)+(a+c)a+b+c=2,
∴一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x+3,
∴它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，
故選D.
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，以及比例的性質(zhì)，根據(jù)等比性質(zhì)求出k的值是解答本題的關(guān)鍵.
4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x=3y?z=5z+x，則5x?yy+2z的值為_________．
【答案】13
【分析】令2x＝3y?z＝5z+x=1k，則x=2k，y=6k，z=3k．代入5x?yy+2z求值即可．
【詳解】∵2x＝3y?z＝5z+x=1k，
∴x=2k，y?z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
∴5x?yy+2z=5×2k?6k6k+2×3k=4k12k=13.
故答案為13.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的運(yùn)算法則.
5．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓直徑為d，延長(zhǎng)AO,BO,CO，分別與對(duì)邊BC,CA,AB交于D,E,F．
(1)求ODAD+OEBE+OFCF的值；
(2)求證：1AD+1BE+1CF=4d．
【答案】(1)1
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，進(jìn)而可以解決問題；
（2）延長(zhǎng)AD交⊙O于M，由于AD,BE,CF交于點(diǎn)O．然后由OD=R?DM,AM=2R，可以求得結(jié)論．
【詳解】（1）解：由于AD,BE,CF交于點(diǎn)O，
∴ODAD=S△OBCS△ABC，OEBE=S△OACS△ABC，OFCF=S△OABS△ABC，
∴ODAD+OEBE+OFCF=1；
（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AD交⊙O于M，設(shè)R為△ABC的外接圓半徑，AD,BE,CF交于點(diǎn)O．
∵ODAD=R?DM2R?DM=1?R2R?DM=1?RAD，
同理有：OEBE=1?RBE，OFCF=1?RCF，
代入ODAD+OEBE+OFCF=1，
得(1?RAD)+(1?RBE)+(1?RCF)=1，
∴RAD+RBE+RCF=2，
∴1AD+1BE+1CF=2R=4d．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，分式的加減法，比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形外接圓與外心．
【考點(diǎn)2 比例線段】
6．（2022·甘肅甘南·?？家荒＃┫铝懈鹘M線段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm
【答案】D
【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A、∵2×5≠3×4，∴選項(xiàng)A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴選項(xiàng)B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴選項(xiàng)C不成比例；
D、∵1×15=3×5，∴選項(xiàng)D成比例．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
7．（2022·統(tǒng)考一模）已知線段a=5+1，b=5?1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于______．
【答案】2
【分析】設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積求解即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，
∵a=5+1，b=5?1，
∴ax=xb，
∴x2=ab=(5+1)(5?1)=5?1=4，
∴x=±2．
∵x>0，
∴x=?2舍去，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查的比例中項(xiàng)的含義，理解“若ax=xb，則x是a,b的比例中項(xiàng)”是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(陰影處)沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分成了三段，若這三段長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為1:2:3，則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有________種可能．
【答案】4
【分析】60cm剪成三段，而且三段比為1:2:3，那么最短一段為10cm，中間一段為20cm，最長(zhǎng)的為30cm，分類討論即可．
【詳解】60cm剪成三段，而且三段比為1:2:3，那么最短一段為10cm，中間一段為20cm，最長(zhǎng)的為30cm，接下來分類討論：
（1）0-10cm為第一段，10?30cm為第二段，30?60cm為第三段，則折痕刻度為20cm處；
（2）0-10cm為第一段，10?40cm為第二段，40?60cm為第三段，則折痕刻度為25cm處；
（3）0-20cm為第一段，20?30cm為第二段，30?60cm為第三段，則折痕刻度為25cm處；
（4）0-20cm為第一段，20?50cm為第二段，50?60cm為第三段，則折痕刻度為35cm處；
（5）0-30cm為第一段，30?40cm為第二段，40?60cm為第三段，則折痕刻度為35cm處；
（6）0-30cm為第一段，30?50cm為第二段，50?60cm為第三段，則折痕刻度為40cm處．
故折痕對(duì)應(yīng)的刻度可能情況有4種．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的比例關(guān)系，根據(jù)情況分類討論是關(guān)鍵．
9．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┰诒壤邽?：100 000的鹽都旅游地圖上，測(cè)得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的距離約為31 cm，則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為______km．
【答案】31
【分析】圖上的距離除以比例尺，算出實(shí)際距離，進(jìn)而把厘米換算成千米即可．
【詳解】解：由題意得，
31÷1100000=3100000cm=31km
故答案為：31．
【點(diǎn)睛】本題考查比例尺的實(shí)際應(yīng)用，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
10．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知三條線段 a，b，c 滿足 a3=b2=c+14 ，且 a+b+c=17 ．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若線段 d 是線段 a 和 b 的比例中項(xiàng)，求 d 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=26
【分析】（1）設(shè)a3=b2=c+14=k，用含k的代數(shù)式分別表示出a，b，c，再由a+b+c=17，建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值，從而可求出a，b，c的值．
（2）由已知線段 d 是線段 a 和 b 的比例中項(xiàng)，可得到d2=ab，代入計(jì)算求出d的值．
【詳解】（1）解：設(shè)a3=b2=c+14=k
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵線段 d 是線段 a 和 b 的比例中項(xiàng)
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=26．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用“設(shè)k法”用k表示出a、b、c可以使計(jì)算更加簡(jiǎn)便．
【考點(diǎn)3 黃金分割】
11．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（ ）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
【答案】B
【分析】設(shè)雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得x2=5?12,求解即可．
【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為x m，則上部長(zhǎng)為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
雷鋒雕像為2m，
∴x2=5?12,
∴x=5?1≈1.24，
即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足BPAP=APAB，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不對(duì)
【答案】A
【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則BPAP=APAB，即可求解．
【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，
且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，
∴BPAP=APAB，
∴（20?x）2＝20x，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2022·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)是(0，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)是(2，2)，現(xiàn)有E、F兩點(diǎn)分別從點(diǎn)D(0，2)和點(diǎn)B(2，0)向下和向右以每秒一個(gè)單位速度移動(dòng)，Q為EF中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）在運(yùn)動(dòng)過程中始終與線段EC相等的線段是 ；四邊形CEAF面積＝ ．
（2）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求線段CQ的長(zhǎng)．
（3）過點(diǎn)B作BP平行于CF交EC于點(diǎn)P．當(dāng)t＝ 時(shí)，線段AP最短，此時(shí)作直線EP與x軸交于點(diǎn)K，試證明，點(diǎn)K是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
【答案】（1）FC，4；（2）102；（3）t＝（5+1）s，見解析
【分析】（1）連接CD、CB，則四邊形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，證△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解決問題；
（2）先由全等三角形的性質(zhì)得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再證△ECF是等腰直角三角形，當(dāng)t＝1時(shí)，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求解即可；
（3）證∠BPC＝90°，則點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓弧上，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接AG，當(dāng)點(diǎn)P在AG上時(shí)，AP最短，此時(shí)，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣5），t＝（5+1）s，然后由待定系數(shù)法求出CE的解析式，即可解決問題．
【詳解】解：（1）連接CD、CB，如圖1所示：
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四邊形DABC是菱形
又∠DAB=90°
∴四邊形ABCD是正方形，
∵E、F兩點(diǎn)分別從點(diǎn)D和點(diǎn)B向下和向右以每秒一個(gè)單位速度移動(dòng)，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四邊形CEAF＝S四邊形CEAB+S△CBF＝S四邊形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB?CD＝2×2＝4，
故答案為：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
當(dāng)t＝1時(shí)，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴EF＝2CE＝2×5＝10，
∵Q為EF中點(diǎn)，
∴CQ＝12EF＝12×10＝102；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓弧上，
設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接AG，如圖2所示：
當(dāng)點(diǎn)P在AG上時(shí)，AP最短，
此時(shí)，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝AB2+BG2＝22+12＝5，
∴AP＝AG﹣PG＝5﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝5﹣1，
∴E（0，1﹣5），
∴DE＝2﹣（1﹣5）＝5+1，
∴t＝（5+1）s，
故答案為：（5+1）s；
設(shè)CE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），
將C（2，2）、E（0，1﹣5）代入解析式得：2k+b=2b=1?5，
解得：k=5+12b=1?5，
∴CE的解析式為：y＝5+12x+1﹣5，
令y＝0，x＝3﹣5，
∴K（3﹣5，0），
∴BK＝2﹣（3﹣5）＝5﹣1，
∴BKAB＝5?12，
∴點(diǎn)K是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、點(diǎn)的軌跡、待定系數(shù)法求直線的解析式、勾股定理、黃金分割等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2011·河北廊坊·統(tǒng)考中考模擬）如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果ACAB=BCAC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果S1S=S2S1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？
（2）請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請(qǐng)你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)E是?ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是?ABCD的黃金分割線．請(qǐng)你畫一條?ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過?ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．
【答案】（1）對(duì)，理由見解析（2）不可能，理由見解析；（3）理由見解析（4）見解析
【分析】（1）由于S△ACD、S△BCD、S△ABC是同高，而點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)，則ADAB=BDAD，所以S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，故直線CD是△ABC的黃金分割線；
（2）只需判斷它們面積比是否相等，若相等則中線是三角形的黃金分割線，否則不是；
（3）根據(jù)平行線間的距離相等，則S△DCE=S△FEC，設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G，則S△DGE=S△FGC．通過圖形面積的轉(zhuǎn)化，直線EF分三角形的圖形面積有S△AEFS△ABC=S四邊形BEFCS△AEF，故直線EF也是△ABC的黃金分割線；
（4）畫法不唯一，只需分成圖形面積比相等即可．
【詳解】解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設(shè)△ABC的邊AB上的高為?．
則S△ADC=12AD·?，S△BDC=12BD·?，S△ABC=12AB·?，
∴S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD．
又∵點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)，
∴ADAB=BDAD．則S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC．
∴直線CD是△ABC的黃金分割線．
（2）∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，
∴s1=s2=12s，即s1s≠s2s1，
∴三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．
（3）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，
∴S△DCE=S△FEC．
設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G．則S△DGE=S△FGC．
∴S△ADC=S四邊形AFGD+S△FGC
=S四邊形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC．
又∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，∴S△AEFS△ABC=S四邊形BEFCS△AEF．
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．
（4）畫法不唯一，現(xiàn)提供兩種畫法；
畫法一：如答圖1，取EF的中點(diǎn)G，再過點(diǎn)G作一條直線分別交AB，DC于M，N點(diǎn)，則直線MN就是?ABCD的黃金分割線．
畫法二：如答圖2，在DF上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，則直線MN就是?ABCD的黃金分割線．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)、黃金分割、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，關(guān)鍵是黃金分割線的靈活運(yùn)用．
15.（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┕畔ＥD數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足MGMN=GNMG=5?15，后人把5?12這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則△ADE的面積為______．
【答案】10-45
【分析】作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=2，根據(jù)勾股定理求出AH，根據(jù)線段的“黃金分割”點(diǎn)的定義得到CD、BE的長(zhǎng)，求出DE的長(zhǎng)，最后由三角形面積公式解答即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC=2，
在Rt△ABH中，AH=AB2?BH2=32?22=5，
∵D，E是邊BC的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，
∴CD=BE=5?12BC=5?12×4=25?2，
∴DE=BE+CD?BC=25?2+25?2?4=45?8，
∴.S△ADE=12DE?AH=12×(45?8)×5=10?45，
故答案為：10-45．
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)，熟記黃金比值是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)4 平行線分線段成比例】
16．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長(zhǎng)為_____．
【答案】53
【分析】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT//AE交BC于點(diǎn)T．證明AB=3AD，設(shè)AD=CD=a，證明ET=CT，設(shè)ET=CT=b，則BE=3b，求出a+b，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT//AE交BC于點(diǎn)T．
∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，
∴FM=FN，
∴ SΔABFSΔADF=BFDF=12?AB?FM12?AD?FN=3，
∴AB=3AD，
設(shè)AD=DC=a，則AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
∴ BEET=BFDF=3，
設(shè)ET=CT=b，則BE=3b，
∵AB+BE=33，
∴3a+3b=33，
∴a+b=3，
∴ΔABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=5a+5b=53，
故答案為：53．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．
17．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14，則AE的長(zhǎng)為_______．
【答案】1
【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：在矩形ABCD中， AD∥BC ，∠ABC=90°，
∴AEBC=AFFC=14，BC=AC2?AB2=52?32=4，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，ADAB=DEBC，則AEAC=_____．
【答案】12或14
【分析】由題意可求出DE=12BC，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足DE1=12BC，進(jìn)而可求此時(shí)AE1AC=12，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則DE2=12BC，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝14AC，即可得到AE2AC=14，問題得解．
【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，
∴ADAB=DEBC=12，即DE=12BC，
取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC，DE1=12BC，
∴AE1AC=ADAB=12，
在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則DE2=12BC，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝12AC，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等邊三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝12BC，
∴E1E2＝14AC，
∵AE1=12AC，
∴AE2=14AC，即AE2AC=14，
綜上，AEAC的值為：12或14，
故答案為：12或14．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)DE=12BC進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB=3，則線段BC的長(zhǎng)是（ ）
A．23B．1C．32D．2
【答案】C
【分析】過點(diǎn)A作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于D、E，根據(jù)題意得AD=2DE，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)A作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于D、E，
根據(jù)題意得AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴ABBC=ADDE=2，
又∵AB=3，
∴BC=12AB=32
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）知識(shí)拓展
如圖1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如圖2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解決問題 如圖3，直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函數(shù)y=mx x>0的圖象與AB交于C，D兩點(diǎn)．
(1)若m+n=8，n取何值時(shí)ΔABO的面積最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】(1)當(dāng)n=4時(shí)，ΔABO的面積最大
(2)B0,92
【分析】（1）由m+n=8得m=8?n，利用三角形面積公式得出SΔABO=12OB?OA=12n(8?n)，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求解；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，過點(diǎn)D作DF⊥OB于F，根據(jù)SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD得BF=EF=OE，得出BF=EF=OE=13n，根據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=mx x>0上，得出C(3mn,13n)，代入直線AB的解析式，即可求解．
（1）
解：∵m+n=8，
∴m=8?n，
∵點(diǎn)Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴SΔABO=12OB?OA=12n(8?n)=?12(n?4)2+8，
∴n=4時(shí)，SΔABO取最大值，最大值為8，
即當(dāng)n=4時(shí)，ΔABO的面積最大；
（2）
解：如圖，
∵SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，
∴BD=CD=AC，
過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，過點(diǎn)D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵點(diǎn)B0,n n＞0，
∴OB=n，
∴BF=EF=OE=13n，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為13n，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=mx x>0的圖象上，
∴C(3mn,13n)，
∵點(diǎn)Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴直線AB的解析式為y=?nmx+n，
∵點(diǎn)C在直線AB上，
∴?nm×3mn+n=13n，
解得n=92，
∴B0,92．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了三角形面積公式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，知識(shí)拓展得出的結(jié)論，解第一問的關(guān)鍵是建立SΔABO與n的函數(shù)關(guān)系式，解第二問的關(guān)鍵是得出BF=EF=OE=13n．
【考點(diǎn)5 相似多邊形】
21．（2022·山東青島·?？家荒＃┫铝薪Y(jié)論不正確的是 （ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五邊形都相似
【答案】B
【分析】利用“對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等的多邊形相似”進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：A、所有的正方形都相似，故A正確，不合題意；
B、菱形的內(nèi)角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正確；符合題意；
C、所有的等腰直角三角形都相似，故C正確，不合題意；
D、所有的正五邊形邊都相似，故D正確，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等的多邊形相似，比較簡(jiǎn)單．
22.（2022·廣東陽江·統(tǒng)考一模）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長(zhǎng)之比為（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
【答案】B
【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長(zhǎng)之比等于相似比，就可求解．
【詳解】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，
∴周長(zhǎng)之比為14 ＝1：2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．
23．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的四邊形，與選項(xiàng)中的四邊形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理求出四邊形ABCD的四條邊之比，根據(jù)相似多邊形的判定方法判斷即可．
【詳解】作AE⊥BC于E，
則四邊形AECD為矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝AE2+BE2＝5，
∴四邊形ABCD的四條邊之比為1：3：5：5，
D選項(xiàng)中，四條邊之比為1：3：5：5，且對(duì)應(yīng)角相等，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查相似多邊形的判定定理，兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形相似，此題求出多邊形的剩余邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，利用矩形的性質(zhì)定理，勾股定理求出邊長(zhǎng).
24.（2022·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：
甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．
乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；
對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）．
A．兩人都對(duì)B．兩人都不對(duì)C．甲對(duì)，乙不對(duì)D．甲不對(duì)，乙對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對(duì)應(yīng)相等，平移后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似；
乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊不平行，因此各角與原菱形角不相等，即新菱形與原菱形不相似．
所以甲對(duì)，乙不對(duì)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．此題難度不大，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
25.（2022·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一張矩形紙片沿它的長(zhǎng)邊對(duì)折（EF為折痕），得到兩個(gè)全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長(zhǎng)邊與短邊的比是_____．
【答案】2：1．
【分析】設(shè)原來矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，先表示出對(duì)折后的矩形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)相似矩形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，即可得答案.
【詳解】設(shè)原來矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，
則對(duì)折后的矩形的長(zhǎng)為y，寬為x2，
∵得到的兩個(gè)矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y(tǒng)：x2，
解得x：y＝2：1．
故答案為：2：1
【點(diǎn)睛】本題主要利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，正確找出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.
【考點(diǎn)6 相似三角形的判定與性質(zhì)】
26．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=34x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作∠OCD=∠OAB，射線CD交線段OB于點(diǎn)D，將射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，連接BE．
(1)證明：CDDB=ODDE；（用圖1）
(2)當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；（用圖2）
(3)點(diǎn)A關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為F，求BF的最小值．（用圖3）
【答案】(1)見解析
(2)DE=94
(3)2
【分析】（1）由條件可證得△BDC∽△EDO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得CDOD=DBDE，即CDDB=ODDE；
（2）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出AO、BO的長(zhǎng)度，然后作出對(duì)應(yīng)的圖2，可證明tan∠OCD=tan∠OAB，從而得到OBOA=ODCD=68=34，設(shè)OD=3m，CD=4m，結(jié)合△CDB∽△AOB對(duì)應(yīng)邊成比例，得到BD=3m，則OB=BD+OD=3m+3m=6，解方程得到m=1，所以O(shè)D=BD=3，CD=4，再由（1）的結(jié)論CDDB=ODDE，可計(jì)算出DE=94．
【詳解】（1）證明：已知射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，
∴∠COE=90°，
∴∠AOB=∠COE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∠ABO=90°?∠OAB,∠CEO=90°?∠OCD
∴∠ABO=∠CEO，
又∵∠BDC=∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴CDOD=DBDE
∴CDDB=ODDE；
（2）解：直線y=34x+6，當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴B(0,6)，
∴OB=6，
當(dāng)y=0時(shí)，34x+6=0，
∴x=?8，
∴A(?8,0)，
∴OA=8，
如圖2，∠BDE=90°，
∴∠ODC=∠BDE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∴tan∠OCD=tan∠OAB，
∴OBOA=ODCD=68=34，
∴設(shè)OD=3m，CD=4m，
∵∠CDB=∠AOB=90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
∴CDOA=BDOB，即4m8=BD6，
∴BD=3m，
∴OB=BD+OD=3m+3m=6，
∴m=1，
∴BD=3，CD=4，
由（1）知：CDDB=ODDE，
∴43=3DE，
∴DE=94
（3）解：如圖3，由對(duì)稱得：OA=OF,
則動(dòng)點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓AFA′上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)F在y軸上，此時(shí)在B的正上方，BF的值最小，如圖4，
此時(shí)BF=OF?OB=8?6=2，即BF的最小值是2．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、軸對(duì)稱圖形特征、圓的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)中的最短距離問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，采用數(shù)形結(jié)合，利用相似比列方程求線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
27．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E的位置關(guān)系是______；
(2)【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE是否相等，并說明理由；
(3)如圖（2），延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60°時(shí)，連接B′C，延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)寫出B′C、EG、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)A′D∥B′E；
(2)∠DEC=∠B′CE，理由見解析；
(3)∠DEG=90°，理由見解析；
(4)DG2=EG2+4916B′C2，理由見解析．
【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；
（2）連接B′C，BB′，由EB=EC=EB′可知點(diǎn)B、B′、C在以BC為直徑,E為圓心的圓上，則∠BB′C=90°，由翻折變換的性質(zhì)可得BB′⊥DE，證明DE∥CB′，可得結(jié)論；
（3）連接B′C，DB，DB′，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)H，求出∠DGA′=180°?2x?y，∠GB′C=90°?12y?x，可得∠CGA′=2∠GB′C，然后證明GC=GB′，可得EG⊥CB′，進(jìn)而得到DE⊥EG即可解決問題．
（4）延長(zhǎng)DG交EB′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DR⊥GA′交GA′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，設(shè)GC=GB′=x，CD=A′D=A′B′=2a，解直角三角形求出A′R=a，DR=3a，利用勾股定理求出x=45a，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出TB′=43a，DE=74CB′，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵在菱形ABCD中，AD∥BE，
∴由翻折的性質(zhì)可知，A′D∥B′E，
故答案為：A′D∥B′E；
（2）解：∠DEC=∠B′CE，
理由：如圖，連接B′C，BB′，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴EB=EC=EB′，
∴點(diǎn)B、B′、C在以BC為直徑,E為圓心的圓上，
∴∠BB′C=90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折變換的性質(zhì)可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC=∠B′CE；
（3）解：結(jié)論：∠DEG=90°；
理由：如圖，連接B′C，DB，DB′，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)H，
由翻折的性質(zhì)可知∠BDE=∠B′DE，
設(shè)∠BDE=∠B′DE=x，∠A=∠A′=y，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDB=∠B′DA′，∠ABC=180°?y，
∴∠A′DG=∠BDB′=2x，∠DBE=∠DB′E=90°?y2
∴∠DGA′=180°?2x?y，
∴∠BEB′=∠BEH+∠B′EH=∠DBE+∠BDE+∠DB′E+∠B′DE=90°?y2+x+90°?y2+x=180°?y+2x，
∵EC=EB′，點(diǎn)B、B′、C在以BC為直徑,E為圓心的圓上，
∴∠EB′C=∠ECB′=12∠BEB′=90°?12y+x，
∵A′D∥B′E，
∴∠A′B′E=180°?y，
∴∠GB′C=∠A′B′E?∠EB′C=180°?y?90°?12y+x=90°?12y?x，
∴∠CGA′=2∠GB′C，
∵∠CGA′=∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C=∠GCB′，
∴GC=GB′，
∵EB′=EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG=90°；
（4）解：結(jié)論：DG2=EG2+4916B′C2，
理由：如圖，延長(zhǎng)DG交EB′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DR⊥GA′交GA′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，
設(shè)GC=GB′=x，CD=A′D=A′B′=2a，
∵∠B=60°，
∴∠A=∠DA′B′=120°，
∴∠DA′R=60°，
∴A′R=A′D?cs60°=a，DR=3a，
在Rt△DGR中，則有2a+x2=3a2+3a?x2，
∴x=45a，
∴GB′=45a，A′G=65a，
∵TB′∥DA′，
∴△B′TG～△A′DG，
∴TB′DA′=GB′GA′，
∴TB′2a=45a65a
∴TB′=43a，
∵CB′∥DE，
∴CB′DE=TB′ET=43aa+43a=47，
∴DE=74CB′，
∵∠DEG=90°，
∴DG2=EG2+DE2，
∴DG2=EG2+4916B′C2．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
28．（2022·寧夏·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別相交于C、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=mx(m≠0,x>0)的圖象相交于點(diǎn)A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D是線段AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，連接BE．當(dāng)△BDE面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=12x(x>0)
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,?12
【分析】（1）過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，先證△ACF∽△BCO，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得BCAC=OBAF=OCCF=12，結(jié)合已知條件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，可得A6,2，代入反比例函數(shù)解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=12x?1，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，則D(t,12t?1)，E(t,12t)，用含t的代數(shù)式表示出ED，進(jìn)而利用三角形面積公式得到關(guān)于t的一元二次函數(shù)，化成頂點(diǎn)式，即可求出最值．
（1）
解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
∴BCAC=OBAF=OCCF=12，
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A6,2．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=mx(m≠0,x>0)的圖象上，
∴m=2×6=12．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=12x(x>0)．
（2）
解：由題意可知B0,?1，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A6,2，B0,?1代入y=kx+b，
得2=6k+b?1=b，
解得k=12b=?1，
∴直線AB的解析式為：y=12x?1．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，則D(t,12t?1)，E(t,12t)，
∴ED=12t?12t+1，
∴△BDE的面積為：
12(t?0)(12t?12t+1)
=?14t2+12t+6
=?14(t?1)2+254．
∵?14

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