【考點(diǎn)1 二次根式的定義】
1．（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測）在下列代數(shù)式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
2．（2022·廣東·佛山市南海外國語學(xué)校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，?3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
3．（2022·廣東廣州·二模）已知n是正整數(shù)，5n?1是整數(shù)，則n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
4．（2022·四川·梓潼縣教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a?1 ,?2x ( x?1B．x??1C．x??1且x≠0D．x??1且x≠0
7．（2022·四川雅安·中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式x+1+1x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________．
9．（2022·湖南常德·中考真題）使式子xx?4有意義的x的取值范圍是______．
10．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足y=x?2＋2?x＋18，則x?y的值是______．
【考點(diǎn)3 二次根式的性質(zhì)與化簡】
11．（2022·四川遂寧·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?12+a?b2=______．
12．（2022·四川宜賓·中考真題）《數(shù)學(xué)九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a2?c2+a2?b222．現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為______．
13．（2022·全國·四川成都·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1，則CD＝______．
14．（2022·廣東廣州·一模）若(x?1)2=1?x，則x的取值范圍是__________．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3?2x=x的根是___________．
【考點(diǎn)4 最簡二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最簡二次根式，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的n的正整數(shù)值_______________．
17．（2022·四川·江油市小溪壩初級(jí)中學(xué)校一模）若二次根式3a+5是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a=______
18．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）在根式12，3，4，8中隨機(jī)抽取一個(gè)，它是最簡二次根式的概率為____．
19．（2022·湖南益陽·一模）把0.4化成最簡二次根式為______．
20．（2022·山東青島·二模）若最簡二次根式2x?1與x+3能合并，則x=__________．
【考點(diǎn)5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津紅橋·三模）計(jì)算23+323?3的結(jié)果等于_______．
22．（2022·河北·寬城滿族自治縣教研室模擬預(yù)測）2×12=2×a3=ab，則a－b＝______．
23．（2022·山東聊城·二模）在如圖方格中，若要使橫、豎、斜對(duì)角的3個(gè)實(shí)數(shù)相乘都得到同樣的結(jié)果，則2個(gè)空格的實(shí)數(shù)之積為________．
24．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）計(jì)算：2?6+41?3sin60°?12?1．
25．（2022·福建省福州屏東中學(xué)二模）計(jì)算：2×6?3?2?12?1
【考點(diǎn)6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）閱讀下列解題過程：
12+1＝2?1(2+1)(2?1)＝2-1；
13+2＝3?2(3+2)(3?2)＝3-2；
14+3＝4?3(4+3)(4?3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各題：
（1）110+9＝ ；
（2）觀察下面的解題過程，請(qǐng)直接寫出式子1n?n?1＝ ．
（3）利用這一規(guī)律計(jì)算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
27．（2022·浙江麗水·一模）把3a12ab化去分母中的根號(hào)后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
28．（2022·浙江·寧波市鄞州藍(lán)青學(xué)校一模）閱讀材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a?a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如3與3，2+1與2﹣1，23+35與23﹣35等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列問題：
(1)3﹣7與______互為有理化因式，將232分母有理化得______；
(2)①直接寫出式子(12+1+13+2+14+3+?12019+2018)×(2019+1)
的計(jì)算結(jié)果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一種）
(3)已知有理數(shù)a、b滿足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
29．（2022·福建福州·二模）定義：我們將（a＋b）與（a－b）稱為一對(duì)“對(duì)偶式”．因?yàn)椋╝＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以構(gòu)造“對(duì)偶式”，再將其相乘可以有效的將（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我們學(xué)習(xí)過的二次根式除法可以這樣計(jì)算：如2+22?2＝(2+2)2(2?2)(2+2)＝3＋22．像這樣，通過分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．根據(jù)以上材料，理解定義并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問題：
(1)請(qǐng)直接寫出7＋2的對(duì)偶式_________；
(2)已知m＝12?3，n＝12＋3，求m?nm2n＋mn2的值；
(3)利用“對(duì)偶式”相關(guān)知識(shí)解方程：20?x－4?x＝2，其中x≤4．
30．（2022·福建福州·一模）閱讀材料：像5+25?2=3，7?7=7這樣，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)，即為分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12?1=2+122?12+1=3+22．
解答下列問題：
(1)請(qǐng)寫出一個(gè)6?5的有理化因式；
(2)將3?73+7分母有理化；
(3)應(yīng)用：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，通過計(jì)算比較式子n+1?n和n+2?n+1的大?。?br>【考點(diǎn)7 同類二次根式】
31．（2022·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）下列各組二次根式，屬于同類二次根式的是（ ）
A．3與18B．63與28C．0.5與23D．12與72
32．（2022·江蘇南通·一模）下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
33．（2022·重慶·模擬預(yù)測）估算50?412的結(jié)果最接近的整數(shù)是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
34．（2022·廣東·二模）若二次根式2a+6與?33是同類二次根式，則整數(shù)a可以等于___________．（寫出一個(gè)即可）
35．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知最簡二次根式?343a2+2與27a2?2是同類二次根式，則a的值為_________．
【考點(diǎn)8 二次根式的加減法】
36．（2022·黑龍江·哈爾濱市第八十四中學(xué)校一模）計(jì)算：33?27=_____．
37．（2022·浙江金華·一模）如圖所示，數(shù)軸上表示1，3的點(diǎn)分別為A，B，且CA=2AB（C在A的左側(cè)），則點(diǎn)C所表示的數(shù)是________．
38．（2022·湖南岳陽·中考真題）已知x+1x=2，則代數(shù)式x+1x?2=______．
39．（2022·河北·中考真題）已知：18?2=a2?2=b2，則ab=_________．
40．（2022·湖南懷化·中考真題）計(jì)算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【考點(diǎn)9 二次根式的混合運(yùn)算】
41．（2022·青海西寧·中考真題）計(jì)算：(5+3)(5?3)?(3?1)2．
42．（2013·山東濱州·中考真題）計(jì)算：33?(3)2+(π+3)0?27+|3?2|．
43．（2022·上?！とA東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）計(jì)算：27+23?1?|3?2|+(?2)0+(12)?1．
44．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足xyz≠0，且x+y+z=0，則有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（結(jié)論不需要證明）
例如：122+132+152=122+132+1(?5)2=12+13+1(?5)=1930
根據(jù)以上閱讀，請(qǐng)解決下列問題：
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)設(shè)S=1+112+122+1+122+132+?+1+120192+120202，求S的整數(shù)部分．
【拓展升華】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．當(dāng)1x2+1y2+1z2+1x?1y?1z取得最小值時(shí)，求x的取值范圍．
45．（2022·湖北宜昌·中考模擬）計(jì)算(a3b+ab3+ab)÷ab
【考點(diǎn)10 二次根式的化簡求值】
46．（2022·福建省廈門第六中學(xué)二模）已知x=3?23+2，y=3+23?2，求xy2+yx2的值．
47．（2022·四川·成都市三原外國語學(xué)校一模）已知x=110?3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2?4x+4x(x?2)?y2+2y+1y(y+1)值．
48．（2022·四川·東辰國際學(xué)校三模）若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x?1+1?4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
49．（2022·新疆·伊寧市教育教學(xué)研究室一模）已知：x=3?12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
50．（2022·湖北省黃梅縣大河鎮(zhèn)第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代數(shù)式x2+x?6x÷x+3x2?2x?x?2+x2?4xx?2?x2?4x的值．
【考點(diǎn)11 比較二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模擬）設(shè)M=20172?2016×2018，N=20172?4034×2018+20182，則M與N的關(guān)系為（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b?b，y=b?b?a，則x，y的大小關(guān)系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．與a、b的取值有關(guān)
53．（2022·四川成都·二模）比較大?。??6___6?5
54．（2022·河南·模擬預(yù)測）比較大?。?5?3_______5?22 (填“＞”“＜”或“＝”)
55．（2022·陜西·西安市第四中學(xué)中考模擬）比較大?。??12 ________1（“>”“20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
猜想證明：∵a?b2≥0．∴①當(dāng)且僅當(dāng)a?b=0，即a=b時(shí)，a?2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②當(dāng)a?b≠0，即a≠b時(shí)，a?2ab+b>0，∴a+b>2ab．
綜合上述可得：若a>0，b>0，則a+b≥2ab成立（當(dāng)日僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
猜想運(yùn)用：
(1)對(duì)于函數(shù)y=x+1xx>0，當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)y的最小值為______．
變式探究：
(2)對(duì)于函數(shù)y=1x?3+xx>3，當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)y的最小值為______．
拓展應(yīng)用：
(3)疫情期間，為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路檢測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的矩形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為S（m2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？
32
2
3
1
6
3
2
專題04 二次根式（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）
【考點(diǎn)1 二次根式的定義】
1．（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測）在下列代數(shù)式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定義即可解答．
【詳解】解：A、5是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；
B、13是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；
C、x2+1是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；
D、2x，不是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．
故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，一般形如a（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式，正確把握二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東·佛山市南海外國語學(xué)校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，?3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的定義求解即可．二次根式：一般地，形如a的代數(shù)式叫做二次根式，其中a≥0．
【詳解】解：式子x2（x＞0），2，33，x2+1，?3x（x＞0）中，
二次根式有：x2（x＞0），2，x2+1，共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義．二次根式：一般地，形如a的代數(shù)式叫做二次根式，其中a≥0．
3．（2022·廣東廣州·二模）已知n是正整數(shù)，5n?1是整數(shù)，則n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】將選項(xiàng)代入逐一驗(yàn)證即可．
【詳解】A. 當(dāng)n=5時(shí)，5n?1=24=26，不是整數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 當(dāng)n=7時(shí)，5n?1=34，不是整數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 當(dāng)n=9時(shí)，5n?1=44=211，不是整數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 當(dāng)n=10時(shí)，5n?1=49=7，是整數(shù)，故該選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·四川·梓潼縣教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a?1 ,?2x ( x0；當(dāng)x0；
∴x2+y2+1，?2x(x?1B．x??1C．x??1且x≠0D．x??1且x≠0
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于0，計(jì)算求值即可；
【詳解】解：由題意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故選： C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，掌握其定義是解題關(guān)鍵．
7．（2022·四川雅安·中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x?2≥0，求出不等式的解集，然后進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由題意知，x?2≥0，
解得x≥2，
∴解集在數(shù)軸上表示如圖，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及在數(shù)軸上表示解集．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式有意義的條件．
8．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式x+1+1x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________．
【答案】x≥?1且x≠0
【分析】根據(jù)二次根式與分式有意義的條件求解即可．
【詳解】解：由題意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥?1且x≠0，
故答案為：x≥?1且x≠0．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·湖南常德·中考真題）使式子xx?4有意義的x的取值范圍是______．
【答案】x>4
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：根據(jù)題意，得：x?4≥0x?4≠0，
解得：x>4，
故答案為：x>4．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件是二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義的條件是分母不為0．
10．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足y=x?2＋2?x＋18，則x?y的值是______．
【答案】12
【分析】根據(jù)二次根式的定義可得x?2≥02?x≥0，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出x?y的值.
【詳解】解：∵由二次根式的定義得x?2≥02?x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x?y=2×18=2×18=14=12.
故答案為：12.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的定義以及二次根式的乘除，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義以及二次根式的乘除的運(yùn)算法則即可.
【考點(diǎn)3 二次根式的性質(zhì)與化簡】
11．（2022·四川遂寧·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?12+a?b2=______．
【答案】2
【分析】利用數(shù)軸可得出?10)，其中，且y+z=3yz．當(dāng)1x2+1y2+1z2+1x?1y?1z取得最小值時(shí)，求x的取值范圍．
【答案】(1)112+122+132=76
(2)S的整數(shù)部分2019
(3)代數(shù)式取得最小值時(shí)，x的取值范圍是00，
∴原式=1+3xx+1?3xx=|3x+1|+|3x?1|x，
當(dāng)01時(shí)，
|3x+1|+|3x?1|=3x+1+3x?1=6x>2；
∴當(dāng)00，
∴1x>0，
∴y=x+1x≥2x?1x=2，
∴當(dāng)x=1x時(shí)，ymin=2，
此時(shí)x2=1，
只取x=1，
即x=1時(shí)，函數(shù)y的最小值為2．
（2）
解：∵x>3，
∴x?3>0，1x?3>0，
∴y=1x?3+x?3+3≥21x?3?x?3+3=5，
∴當(dāng)1x?3=x?3時(shí)，ymin=5，
此時(shí)x?32=1，
∴x1=4，x2=2（舍去），
即x=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為5.
（3）
解：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為y米，依題意得：
9x+12y=63，
即3x+4y=21，
∵3x>0，4y>0，
∴3x+4y≥23x?4y，
即21≥23x?4y，
整理得：xy≤14716，
即S≤14716，
∴當(dāng)3x=4y時(shí)Smax=14716，
此時(shí)x=72，y=218，
即每間隔離房長為72米，寬為218米時(shí)，S的最大值為14716米2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．32
2
3
1
6
3
2

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