TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc26410" 【考點(diǎn)1 一元二次方程的定義】 PAGEREF _Tc26410 \h 1
\l "_Tc6544" 【考點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】 PAGEREF _Tc6544 \h 2
\l "_Tc18091" 【考點(diǎn)3 一元二次方程的解】 PAGEREF _Tc18091 \h 2
\l "_Tc22182" 【考點(diǎn)4 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc29756" 【考點(diǎn)5 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc29756 \h 4
\l "_Tc14488" 【考點(diǎn)6 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14488 \h 4
\l "_Tc17176" 【考點(diǎn)7 換元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc17176 \h 5
\l "_Tc20496" 【考點(diǎn)8 根的判別式】 PAGEREF _Tc20496 \h 6
\l "_Tc18995" 【考點(diǎn)9 根與系數(shù)的關(guān)系】 PAGEREF _Tc18995 \h 7
\l "_Tc17751" 【考點(diǎn)10 配方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc17751 \h 7
\l "_Tc28977" 【考點(diǎn)11 根據(jù)實(shí)際問題抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc28977 \h 8
\l "_Tc18430" 【考點(diǎn)12 一元二次方程的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc18430 \h 9
【要點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
【考點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
【例1】（2022·山西·盂縣第二中學(xué)校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 +1x+3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +2x +1=0
【變式1-1】（2022·江蘇·徐州東湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）方程(m+1)xm?1?mx+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）
A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1
【變式1-2】（2022·廣東汕頭·二模）請寫出一個符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；（2）一個實(shí)數(shù)根為10?1的整數(shù)部分，另一個實(shí)數(shù)根為－4，則這個一元二次方程可以是______．（任意寫一個符合條件的即可）．
【變式1-3】（2022·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)>?1且a≠0C．a(chǎn)≥?1且a≠0D．a(chǎn)>?1
【要點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。
【考點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·廣東深圳·中考真題）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【變式2-1】（2022·江蘇·徐州東湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）一元二次方程2y2?7=3y的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【變式2-2】（2022·湖北黃岡·一模）方程4x2+x=5化為一般形式后，a,b,c的值分別是（ ）
A．a(chǎn)=4,b=1,c=5B．a(chǎn)=1,b=4,c=5
C．a(chǎn)=4,b=1,c=?5D．a(chǎn)=4,b=?5,c=1
【變式2-3】（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程m?3x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
【考點(diǎn)3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4B．?4C．3D．?3
【變式3-1】（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程x2+3x?2022=0的根，那么m3+2m2?2025m+2022的值為（ ）
A．?2022B．0C．2022D．4044
【變式3-2】（2022·河北·中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0a≠0時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（ ）
A．不存在實(shí)數(shù)根B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C．有一個根是x＝﹣1D．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
【變式3-3】（2022·江蘇南通·二模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個根是x=2022，則一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根為（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【要點(diǎn)3 配方法解一元二次方程】
將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二
次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④
把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法
來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
【考點(diǎn)4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時，將它化為x+a2=b的形式，則a+b的值為（ ）
A．103B．73C．2D．43
【變式4-1】（2022·四川雅安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【變式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．
(1)任務(wù)一：
①小穎解方程的方法是____；
②第二步變形的依據(jù)是____；
(2)任務(wù)二：請你用“公式法”解該方程．
【變式4-3】（2022·浙江紹興·一模）將一元二次方程 ax2+bx+c=0，化為 （ x ? m）2 ?b2?4ac4a2，則 m為____．
【要點(diǎn)4 公式法解一元二次方程】
當(dāng)b2?4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為x=?b±b2?4ac2a的形式，這個
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入這個公式，這種解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考點(diǎn)5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0的兩個實(shí)數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．
【變式5-1】（2022·北京東城·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k?2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若k為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，求k的值及方程的兩個根．
【變式5-2】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）設(shè)m為整數(shù)，且30時，原方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)?=b2?4ac=0時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)?=b2?4ac?14B．k?14且k≠0D．k≥?14且k≠0
【要點(diǎn)7 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根是x1,x2，那么x1+x2=?ba, x1x2=ca
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說，對于任何一個有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
【考點(diǎn)9 根與系數(shù)的關(guān)系】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則1a+1b的值為 _____．
【變式9-1】（2022·四川宜賓·中考真題）已知m、n是一元二次方程x2+2x?5=0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【變式9-2】（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?a=0的兩根分別記為x1，x2，若x1=?1，則a?x12?x22的值為（ ）
A．7B．?7C．6D．?6
【變式9-3】（2022·湖北武漢·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2?4m?1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+2x2+2?2x1x2=17，則m=（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【考點(diǎn)10 配方法的應(yīng)用】
【例10】（2022·四川涼山·中考真題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【變式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是兩個整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
嘗試當(dāng)a＝0時，A＝______，B＝______．
當(dāng)a＝2時，A＝______，B＝______．
猜測 嘉淇猜測：無論a為何值，A＞B始終成立．
驗(yàn)證 請證明嘉淇猜測的結(jié)論．
【變式10-2】（2022·山東濱州·三模）新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0與a2(x﹣m)2+k＝0稱為“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【變式10-3】（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數(shù)式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2?x?3+32?32+5=x+32?4
∵x+32≥0
∴x+32?4≥?4
∴當(dāng)x=?3時，x2+6x+5有最小值?4．
請根據(jù)上述方法，解答下列問題：
(1)求代數(shù)式x2?4x+2的最小值；
(2)求代數(shù)式?x2+6x+9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時x的值；
(3)求證：無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+10y2?6xy?6x?2y+11的值都是正數(shù)．
【考點(diǎn)11 根據(jù)實(shí)際問題抽象出一元二次方程】
【例11】（2022·寧夏·中考真題）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設(shè)該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（ ）
A．6.2(1+x)2=8.9B．8.9(1+x)2=6.2
C．6.2(1+x2)=8.9D．6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9
【變式11-1】（2022·山東泰安·中考真題）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A．3x?1x=6210B．3x?1=6210
C．3x?1x=6210D．3x=6210
【變式11-2】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，小明同學(xué)用一張長11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為21cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計）．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為______．
【變式11-3】（2022·山東濟(jì)寧·一模）賓館有50間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價為180元時，賓館會住滿；當(dāng)每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房，如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用．當(dāng)房價定為多少元時，賓館當(dāng)天的利潤為10890元？設(shè)房價比定價180元增加x元，則有（ ）
A．(x?20)50?x?18010=10890B．x50?x?18010?50×20=10890
C．(180+x?20)50?x10=10890D．(x+180)50?x10?50×20=10890
【考點(diǎn)12 一元二次方程的應(yīng)用】
【例12】（2022·湖北荊門·中考真題）某商場銷售一種進(jìn)價為30元/個的商品，當(dāng)銷售價格x（元/個）滿足40＜x＜80時，其銷售量y（萬個）與x之間的關(guān)系式為y＝﹣110x+9．同時銷售過程中的其它開支為50萬元．
(1)求出商場銷售這種商品的凈利潤z（萬元）與銷售價格x函數(shù)解析式，銷售價格x定為多少時凈利潤最大，最大凈利潤是多少？
(2)若凈利潤預(yù)期不低于17．5萬元，試求出銷售價格x的取值范圍；若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格x應(yīng)定為多少元？
【變式12-1】（2022·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（ ）
A．8B．10C．7D．9
【變式12-2】（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？
(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
【變式12-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)二模）為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個工程隊對39000米的公路進(jìn)行路面“白改黑”工程．該工程隊計劃使用一大一小兩種型號設(shè)備交替的方式施工，原計劃小型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面60米．
(1)由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊計劃使用大型設(shè)備的時間比使用小型設(shè)備的時間多23，當(dāng)這個工程完工時，小型設(shè)備的使用時間為多少小時？
(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實(shí)際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實(shí)際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時間比原計劃增加了18m小時，同時，因?yàn)樾略龅墓と瞬僮鞔笮驮O(shè)備不夠熟練，使得比原計劃每小時下降了m米，使用時間增加了150+2m小時，求m的值． 2x2?3x?5=0
解：x2?32x=52第一步
x2?32x+342=52+342第二步
x?342=4916第三步
x?34=±74第四步
x1=52，x2=?1第五步
銷售單價x（元/件）
…
35
40
45
…
每天銷售數(shù)量y（件）
…
90
80
70
…
專題07 一元二次方程及其應(yīng)用（12個高頻考點(diǎn)）（舉一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc26410" 【考點(diǎn)1 一元二次方程的定義】 PAGEREF _Tc26410 \h 1
\l "_Tc6544" 【考點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】 PAGEREF _Tc6544 \h 3
\l "_Tc18091" 【考點(diǎn)3 一元二次方程的解】 PAGEREF _Tc18091 \h 4
\l "_Tc22182" 【考點(diǎn)4 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc22182 \h 7
\l "_Tc29756" 【考點(diǎn)5 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc29756 \h 9
\l "_Tc14488" 【考點(diǎn)6 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14488 \h 12
\l "_Tc17176" 【考點(diǎn)7 換元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc17176 \h 14
\l "_Tc20496" 【考點(diǎn)8 根的判別式】 PAGEREF _Tc20496 \h 18
\l "_Tc18995" 【考點(diǎn)9 根與系數(shù)的關(guān)系】 PAGEREF _Tc18995 \h 21
\l "_Tc17751" 【考點(diǎn)10 配方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc17751 \h 23
\l "_Tc28977" 【考點(diǎn)11 根據(jù)實(shí)際問題抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc28977 \h 26
\l "_Tc18430" 【考點(diǎn)12 一元二次方程的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc18430 \h 28
【要點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
【考點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
【例1】（2022·山西·盂縣第二中學(xué)校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 +1x+3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +2x +1=0
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：A、C、D選項(xiàng)含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是2，是一元二次方程，故選項(xiàng)A、C、D不符合題意；
B選項(xiàng)分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是掌握：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，運(yùn)用定義判斷．
【變式1-1】（2022·江蘇·徐州東湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）方程(m+1)xm?1?mx+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）
A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義“只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程是一元二次放程”，再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，即可求解．
【詳解】∵(m+1)xm?1?mx+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m?1=2，解得：m=3或m=-1，
∵m+1≠0，即m≠-1，
∴m=3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．注意：一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于0．
【變式1-2】（2022·廣東汕頭·二模）請寫出一個符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；（2）一個實(shí)數(shù)根為10?1的整數(shù)部分，另一個實(shí)數(shù)根為－4，則這個一元二次方程可以是______．（任意寫一個符合條件的即可）．
【答案】?x?2x+4=0(答案不唯一，滿足要求即可）
【分析】先確定出10?1的整數(shù)部分，再利用因式分解的方法寫出符合條件的一元二次方程即可．
【詳解】∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∴2＜10-1＜3，
∴10?1的整數(shù)部分為2，即方程的一個根為2，
∵方程的另一個根為-4，且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，
∴方程可以寫為?(x?2)(x+4)=0，答案不唯一，
故答案為：?(x?2)(x+4)=0，（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了按條件構(gòu)造一元二次方程以及確定二次根式整數(shù)部分的知識，確定方程的另一個根為2是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)>?1且a≠0C．a(chǎn)≥?1且a≠0D．a(chǎn)>?1
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．
【要點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。
【考點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·廣東深圳·中考真題）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【答案】A
【詳解】一元二次方程的一般式為：ax2+bx+c=0(a≠0)，
將原方程去括號為：x2-6x+4+x+1=0，
合并為：x2-5x+5=0，
故答案為：A.
【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：一元二次方程的一般式.
【變式2-1】（2022·江蘇·徐州東湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）一元二次方程2y2?7=3y的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】解：一元二次方程2y2?7=3y化為一般形式為：2y2?3y?7=0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2,?3,?7，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·湖北黃岡·一模）方程4x2+x=5化為一般形式后，a,b,c的值分別是（ ）
A．a(chǎn)=4,b=1,c=5B．a(chǎn)=1,b=4,c=5
C．a(chǎn)=4,b=1,c=?5D．a(chǎn)=4,b=?5,c=1
【答案】C
【分析】先通過移項(xiàng)把方程化成一般形式，再找二次項(xiàng)系數(shù)?一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】解：由原方程移項(xiàng)，得
4x2+x?5=0，
所以a=4,b=1,c=?5．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，解題關(guān)鍵是利用移項(xiàng)化一元二次方程一般式．
【變式2-3】（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程m?3x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
【答案】D
【分析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項(xiàng)的概念列式計算即可．
【詳解】解：∵m?3x2+m2x=9x+5，
∴m?3x2+m2?9x?5=0，
由題意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義，把一元二次方程化為一般形式，是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4B．?4C．3D．?3
【答案】B
【分析】根據(jù)方程根的定義，將x=1代入方程，解出m的值即可．
【詳解】解：關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，
所以1+m+3=0，
解得m=?4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．
【變式3-1】（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程x2+3x?2022=0的根，那么m3+2m2?2025m+2022的值為（ ）
A．?2022B．0C．2022D．4044
【答案】B
【分析】根據(jù)題意有m2+3m?2022=0，即有m3+3m2?2022m=0，據(jù)此即可作答．
【詳解】∵m為x2+3x?2022=0的根據(jù)，
∴m2+3m?2022=0，且m≠0，
∴m3+3m2?2022m=0，
則有原式=(m3+3m2?2022m)?(m2+3m?2022)=0?0=0，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為x2+3x?2022=0得到m2+3m?2022=0是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·河北·中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0a≠0時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（ ）
A．不存在實(shí)數(shù)根B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C．有一個根是x＝﹣1D．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
【答案】A
【分析】先根據(jù)“只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，再用根的判別式判斷根的情況即可．
【詳解】解：∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0a≠0時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1，
∴?12﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
則b2?4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根、根的判別式等知識，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·江蘇南通·二模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個根是x=2022，則一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根為（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【分析】對一元二次方程a2x+22+bx+2b=1變形，設(shè)t＝x＋2得到at2+2bt?2=0，利用ax2+2bx?2=0的一個根是x=2022可得t＝2022，從而求出x即可．
【詳解】解：對于一元二次方程a2x+22+bx+2b=1即ax+22+2bx+2?2=0，
設(shè)t＝x＋2，則可得at2+2bt?2=0，
而關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個根是x=2022，
所以at2+2bt?2=0有一個根為t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根為x＝2020，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
【要點(diǎn)3 配方法解一元二次方程】
將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二
次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④
把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法
來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
【考點(diǎn)4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時，將它化為x+a2=b的形式，則a+b的值為（ ）
A．103B．73C．2D．43
【答案】B
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．
【詳解】解：∵3x2+6x?1=0，
∴3x2+6x=1，x2+2x=13，
則x2+2x+1=13+1，即x+12=43，
∴a=1，b=43，
∴a+b=73．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·四川雅安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【答案】C
【分析】先移項(xiàng)把方程化為x2+6x=?c,再配方可得(x+3)2=9?c,結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于c的一元一次方程，從而可得答案．
【詳解】解：x2+6x+c＝0，
移項(xiàng)得：x2+6x=?c,
配方得：(x+3)2=9?c, 而（x+3）2＝2c，
∴9?c=2c,
解得：c=3,
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．
(1)任務(wù)一：
①小穎解方程的方法是____；
②第二步變形的依據(jù)是____；
(2)任務(wù)二：請你用“公式法”解該方程．
【答案】(1)配方法，等式性質(zhì)
(2)x1=52，x2=?1
【分析】（1）任務(wù)一，結(jié)合配方法解一元二次方程的步驟求解即可；
（2）任務(wù)二，利用公式法求解即可．
（1）
解：∵小穎是將方程左邊配成完全平方形式，
∴小穎解方程的的方法是配方法，等式變形的依據(jù)是等式性質(zhì)；
（2）
解：∵a=2，b=?3，c=?5，
∴Δ=?32?4×2×?5=49>0，
則x=?b±b2?4ac2a=3±74，
∴x1=52，x2=?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力， 熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·浙江紹興·一模）將一元二次方程 ax2+bx+c=0，化為 （ x ? m）2 ?b2?4ac4a2，則 m為____．
【答案】?b2a
【分析】利用一元二次方程的配方逐步變形可得到答案．
【詳解】解：因?yàn)閍x2+bx+c=0
移項(xiàng)：ax2+bx=?c
因?yàn)椋篴≠0，把二次項(xiàng)系數(shù)化1：x2+bax=?ca
配方：x2+bax+(b2a)2=?ca+(b2a)2
整理：(x+b2a)2=b2?4ac4a2
比對：(x?m)2=b2?4ac4a2
所以：?m=b2a
所以：m=?b2a
故答案為：?b2a
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的掌握，所以熟知配方法是關(guān)鍵．
【要點(diǎn)4 公式法解一元二次方程】
當(dāng)b2?4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為x=?b±b2?4ac2a的形式，這個
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入這個公式，這種解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考點(diǎn)5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0的兩個實(shí)數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．
【答案】27
【分析】由題意解一元二次方程x2?6x+4=0得到x=3+5或x=3?5，再根據(jù)勾股定理得到直角三角形斜邊的長是27．
【詳解】解：∵一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴由公式法解一元二次方程x2?6x+4=0可得x=6±36?162=6±252=3±5，
∴根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是(3+5)2+(3?5)2=28=27，
故答案為：27．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理求線段長，根據(jù)題意解出一元二次方程的兩根是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·北京東城·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k?2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若k為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，求k的值及方程的兩個根．
【答案】(1)k0，解不等式即可求得；
(2)首先根據(jù)(1)可知，k的值只能是1或2，分別代入方程，解方程，再根據(jù)方程的兩個根均為整數(shù)，即可解答．
（1）
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k?2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
∴Δ=?22?4k?2>0
解得k

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