中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題07一元二次方程及其應(yīng)用(12個(gè)高頻考點(diǎn))(強(qiáng)化訓(xùn)練)(全國版)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
1．（2022·四川綿陽·三模）下列各項(xiàng)是一元二次方程的是（）
A．x﹣x3＝1B．2x﹣1＝aC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣2x2＝5
2．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)一模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常數(shù)項(xiàng)為0，則m值等于（）
A．1B．2C．1或2D．0
3．（2022·江蘇·沭陽縣馬廠實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）若m?2xm2-2+5x+4=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為___________
4．（2022·黑龍江綏化·一模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則m等于 _____．
5．（2022·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的條件是_____．
【考點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常數(shù)項(xiàng)是___
7．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程?x2+4x=3的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的乘積為__________．
8．（2022·四川成都·中考模擬）x?42+5=6x化成一般形式是____________，其中一次項(xiàng)系數(shù)是___________
9．（2022·江蘇蘇州·中考模擬）將一元二次方程2xx?3=1化成一般形式為 _____
10．（2022·河南安陽·一模）寫一個(gè)滿足二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)且沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程：________．
【考點(diǎn)3 一元二次方程的解】
11．（2022·廣東·東莞市粵華學(xué)校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一個(gè)根為x＝﹣1，則a的值為 _____．
12．（2022·江蘇淮安·一模）已知m是一元二次方程x2+x?6=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2+2m的值是______．
13．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）若a是方程2x2=x+5的一個(gè)根，則代數(shù)式6a2?3a的值是__________.
14．（2022·湖北黃石·一模）若α=1+52為一元二次方程x2?x+t=0的根；
(1)則方程的另外一個(gè)根β=______，t=______；
(2)求α3?α2+1β3?β2+1的值．
15．（2022·廣東中山·一模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0總有一個(gè)根是1．
(1)求實(shí)數(shù)a，b．
(2)當(dāng)k＝5時(shí)，求方程的另一個(gè)根．
【考點(diǎn)4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家門第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a?4+(b+2)2=0，解關(guān)于x的一元二次方程x2?ax+b=0．
17．（2022·山西晉中·一模）（1）計(jì)算：4×(?3)+|?6|?20+13?2；
（2）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
3x2+8x?3=0
解：x2+83x?1=0 第一步
x2+83x+432?1=0 第二步
x+432?1=0 第三步
x+432=1 第四步
x+43=±1 第五步
所以，x1=?13,x2=?73 第六步
任務(wù)一：填空：上述小明同學(xué)解此一元二次方程的方法是________，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是________；第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
任務(wù)二：請(qǐng)你直接寫出該方程的正確解．
18．（2022·甘肅蘭州·一模）用配方法解方程：x2+10=8x?1．
19．（2022·廣東·珠海市文園中學(xué)三模）已知關(guān)于x的一元二次方程(2k?1)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）取k=?12，用配方法解這個(gè)一元二次方程．
20．（2022·廣西·南寧市三美學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）解方程2x2?4x?5=0．
【考點(diǎn)5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）
A．1+5B．1﹣5C．3﹣5D．3+5
22．（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知正整數(shù)x滿足x2+5x+30是完全平方數(shù)，則x的值是_________．
23．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式x+31|x|?21?2x有意義，則x的取值范圍是 _____．
24．（2022·四川樂山·三模）解方程：x2+x=5+5．
25．（2022·福建·福州三中晉安校區(qū)九年級(jí)階段練習(xí)）解方程：2x2+4x?3=0．
【考點(diǎn)6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）我們把拋物線上縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)兩倍的點(diǎn)叫做這條拋物線的“二倍點(diǎn)”（原點(diǎn)除外）．
(1)若拋物線y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍點(diǎn)”，求b的值及“二倍點(diǎn)”的坐標(biāo)；
(2)平移拋物線y=x2+bx+4，若所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)是新拋物線的“二倍點(diǎn)”，求新拋物線的表達(dá)式．
27．（2022·廣東·廣州市華師附中番禺學(xué)校三模）已知A=1?2x+1÷x2?2x+1x+1．
(1)化簡A；
(2)若x是方程xx+2=x+2的解，求A的值．
28．（2022·浙江·舟山市第一初級(jí)中學(xué)一模）閱讀下面的例題，
范例：解方程x2?|x|?2=0 ，
解：（1）當(dāng)x≥0 時(shí)，原方程化為x2?x?2=0，解得：x1=2，x2=?1（不合題意，舍去）．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2+x?2=0，解得：x1=?2，x2=1（不合題意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=?2，
請(qǐng)參照例題解方程x2?|x?1|?1=0
29．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程(x+2)(x?3)=3?x時(shí)的解答過程．
解原方程可化為(x+2)(x?3)=?(x?3)，
解得原方程的解是x=?3．
小明的解答是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)你指出來并寫出正確的解答過程．
30．（2022·四川瀘州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
【考點(diǎn)7 換元法解一元二次方程】
31．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）“通過等價(jià)變換，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式．例如：解方程x－x＝0，就可利用該思維方式，設(shè)x＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為：y2－y＝0這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x．這種方法又叫“換元法”．請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下列問題：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，則x2+y2的值為；
（2）解方程：x2－x+2x2?x－8＝0．
32．（2022·廣東揭陽·一模）小穎用下面的方法求出方程2x?3=0的解．
請(qǐng)你仿照小顆的方法求出方程x+2x?3=0的解．
33．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）解方程x?12?5x?1+4=0時(shí)，我們可以將x?1看成一個(gè)整體，設(shè)x?1=y，則原方程可化為y2?5y+4=0,解得y1=1,y2=4，當(dāng)y=1時(shí)，即x?1=1，解得：x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即x?1=4,解得：x=5，所以原方程的解： x1=2,x2=5
請(qǐng)利用這種方法求方程2x+52?72x+5+12=0的解
34．（2022·福建泉州·中考模擬）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
當(dāng)y=1時(shí)，x2=1，∴x=±1；
當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四個(gè)根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用_______法達(dá)到_______的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
35．（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）閱讀下列材料：
已知實(shí)數(shù)m，n滿足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，試求2m2+n2的值．
解：設(shè)2m2+n2=t，則原方程變?yōu)?t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為11880，求這四個(gè)連續(xù)正整數(shù)．
【考點(diǎn)8 根的判別式】
36．（2022·四川·南充市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程x2?k+2x+2k=0．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程兩根x1、x2與且x12+x22=20，求k的值．
37．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)如果m為非負(fù)整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求該方程的根．
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，則m的取值范圍為多少？
39．（2022·云南·一模）已知關(guān)于x的方程x2?(2k+1)x+4(k?12)=0
(1)求證：無論k取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形ABC的周長；
40．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2?(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1)求證：無論k為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．
【考點(diǎn)9 根與系數(shù)的關(guān)系】
41．（2022·寧夏·銀川英才學(xué)校二模）閱讀理解：
材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”．
材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別為x1，x2，則有x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
問題解決：
(1)請(qǐng)你寫出三個(gè)能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù)，并寫出理由過程；
(2)若x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 (a，b，c均不為0)的兩根，x3是關(guān)于x的方程bx+c=0 (b，c均不為0)的解．求證：x1，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；
(3)若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)m的值．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，關(guān)于x的一元二次方程x2?2a?1x+a2?a=0，
(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程兩根的絕對(duì)值相等，求a的值．
43．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“梅嶺點(diǎn)”．
(1)若點(diǎn)P(3,p)是一次函數(shù)y=mx+6的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m=______________；若點(diǎn)P(m,m)是函數(shù)y=3x?2的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m=_____________；
(2)若點(diǎn)P(p,?2)是二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a>0）的圖象過點(diǎn)(0,2)，且圖象上存在兩個(gè)不同的“梅嶺點(diǎn)”Ax1,x1,Bx2,x2，且滿足?12n?k，列方程求出n的值，再代入求根公式計(jì)算x的值即可；
【詳解】解：設(shè)x2+5x+30=n2，∵方程x2+5x+30?n2=0有正整數(shù)解，
∴方程的根為：x=?5+4n2?952（負(fù)根舍去），
∵方程的根為整數(shù)，∴4n2?95也是完全平方數(shù)，
設(shè)4n2?95=k2，則4n2?k2=95，2n+k2n?k=95，
∵95=1×95或95=5×19，2n+k>2n?k，
∴2n+k=952n?k=1或2n+k=192n?k=5，解得：n=24或n=6，
當(dāng)n=24時(shí)，代入x=?5+4n2?952得：x=21，
當(dāng)n=6時(shí)，代入x=?5+4n2?952得：x=1，
故答案為：21或1；
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求根公式，整數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，利用根是整數(shù)判斷4n2?95也是完全平方數(shù)是解題關(guān)鍵．
23．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式x+31|x|?21?2x有意義，則x的取值范圍是 _____．
【答案】﹣3≤x≤12且x≠?4+25．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0；分母中有字母，分母不為0．
【詳解】解：若代數(shù)式x+3|x|?21?2x有意義，
必有x+3≥0①x?21?2x≠0②1?2x≥0③，
解①得x≥?3
解②移項(xiàng)得x≠21?2x
兩邊平方得整理得x2+8x?4≠0
解得x≠?8±452=?4?25
③x≤12
∴解集為﹣3≤x≤12且x≠?4+25．
故答案為：﹣3≤x≤12且x≠?4+25．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的概念：式子a（a≥0）叫二次根式，a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．注意：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義；當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還要考慮分母不等于零，此時(shí)被開方數(shù)大于0．
24．（2022·四川樂山·三模）解方程：x2+x=5+5．
【答案】x1=5，x2=?1?5
【分析】將原方程化為一般式，再給出a，b，c的值，用公式法求解即可．
【詳解】解：化為一般式得：x2+x?5?5=0．
∵a＝1，b＝1，c＝?5?5，
∴Δ=b2?4ac=12?4×1×(?5?5)=1+20+45=(25+1)2>0，
∴原方程有兩個(gè)不相等得實(shí)數(shù)根，
∴x=?b±b2?4ac2a=?1±(25+1)22=?1±(25+1)2，
∴x1=5，x2=?1?5．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程得解法，掌握配方法和公式法是解題得關(guān)鍵．公式法運(yùn)用的結(jié)論是：當(dāng)Δ=b2?4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等得實(shí)數(shù)根，x=?b±b2?4ac2a；當(dāng)Δ=b2?4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等得實(shí)數(shù)根，x1=x2=?b2a；當(dāng)Δ=b2?4ac0，符合題意；t=－30，
解得m0m?1>0或m?30）的圖象過點(diǎn)(0,2)，且圖象上存在兩個(gè)不同的“梅嶺點(diǎn)”Ax1,x1,Bx2,x2，且滿足?1

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