TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc11773" 【考點1 分式方程的定義】 PAGEREF _Tc11773 \h 1
\l "_Tc31517" 【考點2 分式方程的解】 PAGEREF _Tc31517 \h 2
\l "_Tc4787" 【考點3 解分式方程】 PAGEREF _Tc4787 \h 2
\l "_Tc26689" 【考點4 換元法解分式方程】 PAGEREF _Tc26689 \h 3
\l "_Tc1809" 【考點5 分式方程的增根】 PAGEREF _Tc1809 \h 3
\l "_Tc12008" 【考點6 分式方程的無解】 PAGEREF _Tc12008 \h 4
\l "_Tc17027" 【考點7 不等式與分式方程的綜合】 PAGEREF _Tc17027 \h 4
\l "_Tc24191" 【考點8 分式方程中的新定義問題】 PAGEREF _Tc24191 \h 5
\l "_Tc23951" 【考點9 由實際問題抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc23951 \h 5
\l "_Tc8456" 【考點10 分式方程的應用】 PAGEREF _Tc8456 \h 6
【要點1 分式方程的定義】
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
【考點1 分式方程的定義】
【例1】（2022·貴州貴陽·二模）下列關于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2?3=x5B．12x?13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1?2x
【變式1-1】（2022·四川省內江市第六中學二模）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．x+1x=3B．1x=2
C．xx?4=5xx?4D．2x?14?x3=12
【變式1-2】（2022·河南省淮濱縣第一中學模擬預測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?x=3；④xa+xb=1（a,b為已知數(shù)），其中分式方程有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習）在下列方程組中，（ ）是分式方程．
A．x2x?1＝1B．2x3=2
C．1x+2=3xD．x+234x5?6=?7
【考點2 分式方程的解】
【例2】（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學模擬預測）在正實數(shù)范圍內，只存在一個數(shù)是關于x的方程x2+kx+3x?1=3x+k的解，求實數(shù)k的取值范圍.
【變式2-1】（2022·黑龍江·中考真題）已知關于x的分式方程m+32x?1=1的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥?4B．m≥?4且m≠?3C．m>?4D．m>?4且m≠?3
【變式2-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關于x的分式方程1x?2+2x+2=x+2mx2?4的解大于1，則m的取值范圍是______________．
【變式2-3】（2022·四川達州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+ax+1的解為整數(shù)，則整數(shù)a=___________．
【要點2 分式方程的解法】
①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；
②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；
③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。
【考點3 解分式方程】
【例3】（2022·遼寧營口·中考真題）分式方程3x=2x?2的解是（ ）
A．x=2B．x=?6C．x=6D．x=?2
【變式3-1】（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程2x?1x+1=0去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是______．
【變式3-2】（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．
【變式3-3】（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是 _____．
【考點4 換元法解分式方程】
【例4】（2022·浙江衢州·二模）用換元法解分式方程x2+1x?x3x2+1+1=0，如果設x2+1x=y，那么原方程化為關于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y?1=0B．3y2?3y?1=0
C．3y2?y+1=0D．3y2?y?1=0
【變式4-1】（2022·貴州·仁懷市教育研究室二模）用換元法解方程x2?2x+6x+9x2?6=0時，可以令t=______，得到關于t的方程是______．
【變式4-2】（2022·上海·華東師范大學第四附屬中學一模）用換元法解方程：x2﹣x﹣12x2?x=4．
【變式4-3】（2022·上?！とA東師范大學第四附屬中學三模）用換元法解方程組：1x+y+2x?y=141x+y?1x?y=1．
【考點5 分式方程的增根】
【例5】（2022·廣西賀州·中考真題）若關于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2有增根，則m的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式5-1】（2022·四川省內江市第六中學二模）關于x的方程：ax+1x?1－21?x＝1.
(1)當a＝3時，求這個方程的解；
(2)若這個方程有增根，求a的值．
【變式5-2】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學一模）關于x的分式方程mx?2+12?x=1有增根，則(﹣1)m=（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
【變式5-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）增根是在分式方程轉化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值．
閱讀以上材料后，完成下列探究：
探究1：m為何值時，方程3xx?3+5=m3?x有增根．
探究2：m為何值時，方程3xx?3+5=m3?x的根是?1．
探究3：任意寫出三個m的值，使對應的方程3xx?3+5=m3?x的三個根中兩個根之和等于第三個根；
探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1、m2、m3的關系是______．
【考點6 分式方程的無解】
【例6】（2022·浙江溫州·模擬預測）設a，b為實數(shù)，關于x的方程xx?1+x?1x=a+bxx2?x無實數(shù)根，求代數(shù)式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【變式6-1】（2022·四川遂寧·中考真題）若關于x的方程2x=m2x+1無解，則m的值為（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【變式6-2】（2022·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數(shù)m應滿足的條件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
【變式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅鄉(xiāng)初級中學二模）對于非零實數(shù)a、b，規(guī)定a?b=ba．若x?3?3?2x=0，則x的值為_______________；若關于x的方程x?3?3?2x?3?x?mx?2=?1無解，則m的值為_______________．
【考點7 不等式與分式方程的綜合】
【例7】（2022·重慶·中考真題）關于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3>1的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）關于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數(shù)，且使關于y的一元一次不等式組3y?22≤y?1y+2>a有解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．?5B．?4C．?3D．?2
【變式7-2】（2022·重慶八中模擬預測）從?7，?5，?1，0，1，3這六個數(shù)中，隨機抽一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關于x的不等式組x?m2>0x?41，且關于x的分式方程1?x2?x+mx?2=3有非負整數(shù)解，則符合條件的m的值的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式7-3】（2022·重慶市第三十七中學校二模）若數(shù)a既使得關于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無解，又使得關于y的分式方程5y?2?a?y2?y=1的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為( )
A．?4B．?3C．?2D．?5
【考點8 分式方程中的新定義問題】
【例8】（2022·湖南懷化·中考真題）定義a?b=2a+1b，則方程3?x=4?2的解為（ ）
A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45
【變式8-1】（2022·內蒙古鄂爾多斯·二模）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3=11?32=?18．則方程x??2=2x?4?1的解是（ ）
A．x=5B．x=6C．x=7D．x=8
【變式8-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）模擬預測）對于實數(shù)x和y，定義一種新運算“*”：x?y=1x2+y，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?2=112+2=13，則方程2?x=1x?4+1的解是__________．
【變式8-3】（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=2x+1x，則x的值為___________．
【考點9 由實際問題抽象出分式方程】
【例9】（2022·遼寧阜新·中考真題）我市某區(qū)為30萬人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項工作，實際每天接種人數(shù)是原計劃的1.2倍，結果提前20天完成了這項工作．設原計劃每天接種x萬人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．30x?301.2x=20B．30x?30x?20=1.2
C．301.2x?30x=20D．30x?20?30x=1.2
【變式9-1】（2022·遼寧鞍山·中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設甲車間每天加工x件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．
【變式9-2】（2022·山東青島·中考真題）為落實青島市中小學生“十個一”行動計劃，學校舉辦以“強體質，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓練后，比賽時小亮的平均速度比訓練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設小亮訓練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．
【變式9-3】（2022·山東濰坊·中考真題）觀察我國原油進口月度走勢圖，2022年4月原油進口量比2021年4月增加267萬噸，當月增速為6.6%（計算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月當月增速為?14.0%，設2021年3月原油進口量為x萬噸，下列算法正確的是（ ）
A．x?42714271×100%=?14.0%B．4271?x4271×100%=?14.0%
C．x?4271x×100%=?14.0%D．4271?xx×100%=?14.0%
【考點10 分式方程的應用】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．
(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費用．
(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．
①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．
②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）
【變式10-2】（2022·重慶·中考真題）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．
【變式10-3】（2022·湖南益陽·中考真題）在某市組織的農(nóng)機推廣活動中，甲、乙兩人分別操控A、B兩種型號的收割機參加水稻收割比賽．已知乙每小時收割的畝數(shù)比甲少40%，兩人各收割6畝水稻，乙則比甲多用0.4小時完成任務；甲、乙在收割過程中對應收稻谷有一定的遺落或破損，損失率分別為3%，2%．
(1)甲、乙兩人操控A、B型號收割機每小時各能收割多少畝水稻？
(2)某水稻種植大戶有與比賽中規(guī)格相同的100畝待收水稻，邀請甲、乙兩人操控原收割機一同前去完成收割任務，要求平均損失率不超過2.4%，則最多安排甲收割多少小時？ 先化簡，再求值：3?xx?4+1，其中x=
解：原式=3?xx?4?(x?4)+(x?4)
=3?x+x?4
=?1
專題06 分式方程及其應用（10個高頻考點）（舉一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc11773" 【考點1 分式方程的定義】 PAGEREF _Tc11773 \h 1
\l "_Tc31517" 【考點2 分式方程的解】 PAGEREF _Tc31517 \h 3
\l "_Tc4787" 【考點3 解分式方程】 PAGEREF _Tc4787 \h 5
\l "_Tc26689" 【考點4 換元法解分式方程】 PAGEREF _Tc26689 \h 7
\l "_Tc1809" 【考點5 分式方程的增根】 PAGEREF _Tc1809 \h 10
\l "_Tc12008" 【考點6 分式方程的無解】 PAGEREF _Tc12008 \h 12
\l "_Tc17027" 【考點7 不等式與分式方程的綜合】 PAGEREF _Tc17027 \h 15
\l "_Tc24191" 【考點8 分式方程中的新定義問題】 PAGEREF _Tc24191 \h 19
\l "_Tc23951" 【考點9 由實際問題抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc23951 \h 21
\l "_Tc8456" 【考點10 分式方程的應用】 PAGEREF _Tc8456 \h 23
【要點1 分式方程的定義】
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
【考點1 分式方程的定義】
【例1】（2022·貴州貴陽·二模）下列關于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2?3=x5B．12x?13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1?2x
【答案】D
【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進行判斷．
【詳解】解：A．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；
B．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；
C．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；
D．方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關鍵是掌握判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．
【變式1-1】（2022·四川省內江市第六中學二模）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．x+1x=3B．1x=2
C．xx?4=5xx?4D．2x?14?x3=12
【答案】D
【分析】根據(jù)分式方程的定義逐項判斷分母中是否含有未知數(shù)即可.
【詳解】A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；
B、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；
C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；
D、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故本選項符合題意.
故選：D.
【點睛】本題考查分式方程的定義，熟練掌握定義是關鍵.
【變式1-2】（2022·河南省淮濱縣第一中學模擬預測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?x=3；④xa+xb=1（a,b為已知數(shù)），其中分式方程有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；
【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關鍵．
【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習）在下列方程組中，（ ）是分式方程．
A．x2x?1＝1B．2x3=2
C．1x+2=3xD．x+234x5?6=?7
【答案】A
【分析】根據(jù)分式方程定義進行解答即可．
【詳解】A、是分式方程，故此選項符合題意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；
C、不是分式方程，故此選項不符合題意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了分式方程，關鍵是掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
【考點2 分式方程的解】
【例2】（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學模擬預測）在正實數(shù)范圍內，只存在一個數(shù)是關于x的方程x2+kx+3x?1=3x+k的解，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】k=?338或k＝-4或k≥-3
【分析】分四種情況討論：原方程去分母化為2x2?3x?(k+3)=0①．（1）當Δ=0時，?32?4×2×?k+3=8k+33=0，得到k=?338，方程有兩個相同的正實根，原方程只存在一個正實數(shù)解；（2）原方程的增根x=1是方程2x2?3x?(k+3)=0的一個根，代入得到2×12?3×1?(k+3)=0，得到k=?4代入方程有另一正實數(shù)解，原方程只存在一個正實數(shù)解；（3）當方程①有異號二實根時，根據(jù)根與系數(shù)的關系x1x2=?k?32?3，原方程只有一個正實數(shù)根；（4）當方程①有一個根為0時，推出k=?3，原方程只有一正實數(shù)根．
【詳解】解：原方程可化為2x2?3x?(k+3)=0①，
（1）當Δ=?32?4×2×?k+3=8k+33=0時，k=?338，
x1=x2=32×2=34，符合題意；
（2）當x=1是方程①的根時，2×12?3×1?(k+3)=0，k=?4，
此時方程①為，2x2?3x+1=0，解得另一個根為x=12，
故原方程也只有一根x=12；
（3）當方程①有異號實根時，x1x2=?k?32?3，此時原方程也只有一個正實數(shù)根；
（4）當方程①有一個根為0時，k=?3，另一個根為x=32，此時原方程也只有一個正實根．
綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是：k=?338或k=?4或k≥?3．
【點睛】本題主要考查了分式方程的解與字母系數(shù)的關系，解決問題的關鍵是熟練掌握解分式方程的方法，增根的定義和特點，根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的取值，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系，分類討論．
【變式2-1】（2022·黑龍江·中考真題）已知關于x的分式方程m+32x?1=1的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥?4B．m≥?4且m≠?3C．m>?4D．m>?4且m≠?3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意先求出分式方程的解，然后根據(jù)方程的解為非負數(shù)可進行求解．
【詳解】解：由關于x的分式方程m+32x?1=1可得：x=m+42，且x≠12，
∵方程的解為非負數(shù)，
∴m+42≥0，且m+42≠12，
解得：m≥?4且m≠?3，
故選B．
【點睛】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解題的關鍵．
【變式2-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關于x的分式方程1x?2+2x+2=x+2mx2?4的解大于1，則m的取值范圍是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解為x=m+1，根據(jù)解大于1得到關于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以x+2x?2得到：x+2+2(x?2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不為0，
∴m+1≠2且m+1≠?2，解得：m≠1且m≠?3，
∴m的取值范圍是m >0且m≠1．
故答案為：m >0且m≠1．
【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．
【變式2-3】（2022·四川達州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+ax+1的解為整數(shù)，則整數(shù)a=___________．
【答案】±1
【分析】直接移項后通分合并同類項，化簡、用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值．
【詳解】解：2x?ax?1?4=?2x+ax+1，
2x?ax?1??2x+ax+1=4
(2x?a)(x+1)?(a?2x)(x?1)(x?1)(x+1)=4
整理得：x=2a
若分式方程2x?ax?1?4=?2x+ax+1的解為整數(shù)，
∵a為整數(shù)，
當a=±1時，解得：x=±2，經(jīng)檢驗：x?1≠0,x+1≠0成立；
當a=±2時，解得：x=±1，經(jīng)檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；
綜上:a=±1，
故答案是：±1．
【點睛】本題考查了分式方程，解題的關鍵是：化簡分式方程，最終用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值，易錯點，容易忽略對根的檢驗．
【要點2 分式方程的解法】
①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；
②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；
③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。
【考點3 解分式方程】
【例3】（2022·遼寧營口·中考真題）分式方程3x=2x?2的解是（ ）
A．x=2B．x=?6C．x=6D．x=?2
【答案】C
【分析】先去分母，去括號，移項，合并同類項得出答案，最后檢驗即可．
【詳解】解：3x=2x?2，
去分母，得3(x?2)=2x，
去括號，得3x?6=2x，
移項，得3x?2x=6，
所以x=6．
經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【變式3-1】（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程2x?1x+1=0去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是______．
【答案】xx+1
【分析】根據(jù)解分式方程的方法中確定公分母的方法求解即可．
【詳解】解：分式方程2x?1x+1=0的兩個分母分別為x，(x+1)，
∴最簡公分母為：x(x+1)，
故答案為：x(x+1)．
【點睛】題目主要考查解分式方程中確定公分母的方法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關鍵．
【變式3-2】（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．
【答案】5
【分析】根據(jù)題意得到方程3?xx?4+1=?1，解方程即可求解．
【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即3?xx?4+2=0，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括號得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
經(jīng)檢驗，x=5是方程的解，
故答案為：5．
【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．
【變式3-3】（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)程序分析即可求解．
【詳解】解：∵輸出y的值是2，
∴上一步計算為2=1x+1或2=2x?1
解得x=1（經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解），或x=32
當x=1>0符合程序判斷條件，x=32>0不符合程序判斷條件
故答案為：1
【點睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關鍵．
【考點4 換元法解分式方程】
【例4】（2022·浙江衢州·二模）用換元法解分式方程x2+1x?x3x2+1+1=0，如果設x2+1x=y，那么原方程化為關于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y?1=0B．3y2?3y?1=0
C．3y2?y+1=0D．3y2?y?1=0
【答案】A
【分析】由x2+1x=y，原方程可化為y?13y+1=0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【詳解】解：設x2+1x=y，
∴分式方程x2+1x?x3x2+1+1=0可化為y?13y+1=0，
化為整式方程：3y2+3y?1=0，
故選：A．
【點睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決問題的關鍵．
【變式4-1】（2022·貴州·仁懷市教育研究室二模）用換元法解方程x2?2x+6x+9x2?6=0時，可以令t=______，得到關于t的方程是______．
【答案】 x?3x（答案不唯一） t2?2t=0（答案不唯一）
【分析】利用完全平方公式將x2?2x+6x+9x2?6=0變形為x?3x2?2x?3x=0，令t=x?3x或t=3x?x，進入換元即可．
【詳解】解：∵ x2?2x+6x+9x2?6=0，
∴x2?6+9x2?2x?6x=0，
∴x?3x2?2x?3x=0，
令t=x?3x，可得t2?2t=0；
令t=3x?x，可得?t2?2?t=0，即t2+2t=0．
故答案為：x?3x，t2?2t=0或3x?x，t2+2t=0．
【點睛】本題考查換元法解方程，利用完全平方公式將原式變形為x?3x2?2x?3x=0是解題的關鍵．
【變式4-2】（2022·上?！とA東師范大學第四附屬中學一模）用換元法解方程：x2﹣x﹣12x2?x=4．
【答案】x1=3，x2=?2
【分析】方程的兩個部分是倒數(shù)關系，所以可設x2?x=y，可用換元法轉化為關于y的分式方程，先求y，再求x，最后檢驗一下結果．
【詳解】設x2?x=y，
則原方程變形為y?12y?4=0，
即y2?4y?12=0，
解得y1=?2，y2=6，
當y=-2時，x2?x+2=0，
因為△=1?8=?91的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【答案】A
【分析】先通過分式方程求出a的一個取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個取值范圍，兩個范圍結合起來就得到a的有限個整數(shù)解．
【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x?a?x?1=x?3
解得：x=a?2
又題意得：a?2>0且a?2≠3
∴a>2且a≠5，
由y+9≤2y+2得：y≥5
由2y?a3>1得：y>3+a2
∵解集為y≥5
∴3+a20且a+4≠3，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到a?20，a+4≠3;
∴a>?4，且a≠?1；
∵關于y的元一次不等式組3y?22≤y?1①y+2>a②有解，
由①得：y≤0;
由②得：y>a?2;
∴a?21
∵不等式組的解集為x>1，
∴m≤1，
由1?x2?x+mx?2=3可得：1?x?m=3(2?x)，
解得x=5+m2
由題意可得，x≥0，且x≠2
可得：m≥?5，且m≠?1
此時m的取值為?5，0，1
又∵x為整數(shù)，
∴m的取值為?5，1，個數(shù)為2
故選：B
【點睛】此題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式7-3】（2022·重慶市第三十七中學校二模）若數(shù)a既使得關于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無解，又使得關于y的分式方程5y?2?a?y2?y=1的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為( )
A．?4B．?3C．?2D．?5
【答案】C
【分析】先根據(jù)關于x的不等式組無解求出數(shù)a的范圍，再根據(jù)關于y的分式方程的解不小于1求出數(shù)a的范圍，然后再取數(shù)a的范圍的公共部分，從而即可求解．
【詳解】解：解不等式x?a2+1≤x+a3，得x≤5a?6，
解不等式x?2a>6，得x>2a+6，
∵于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無解，
∴5a?6≤2a+6，
∴a≤4；
又解分式方程5y?2?a?y2?y=1，得y=a+72且y≠2，
∵關于y的分式方程5y?2?a?y2?y=1的解不小于1，
∴a+72≥1且a+72≠2，
∴a≥?5且a≠?3；
綜上可知：?5≤a5000，
答：每年行駛里程超過5000千米時，買新能源車的年費用更低．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式、分式方程的應用、一元一次不等式的應用，正確建立方程和不等式是解題關鍵．
【變式10-1】（2022·山東東營·中考真題）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？
(2)若水果店購進這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】(1)甲種水果的進價是4元/千克，乙種水果的進價是5元/千克；
(2)水果店購進甲種水果100千克，乙種水果50千克時獲得最大利潤，最大利潤是350元．
【分析】（1）設乙種水果的進價是x元/千克，根據(jù)“甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程檢驗后可得出答案；
（2）設水果店購進甲種水果a千克，獲得的利潤為y元，則購進乙種水果（150－a）千克，根據(jù)利潤＝（售價－進價）×數(shù)量列出y關于a的一次函數(shù)解析式，求出a的取值范圍，然后利用一次函數(shù)的性質解答．
【詳解】（1）解：設乙種水果的進價是x元/千克，
由題意得：10001?20%x=1200x+10，
解得：x=5，
經(jīng)檢驗，x=5是分式方程的解且符合題意，
則1?20%x=0.8×5=4，
答：甲種水果的進價是4元/千克，乙種水果的進價是5元/千克；
（2）解：設水果店購進甲種水果a千克，獲得的利潤為y元，則購進乙種水果（150－a）千克，
由題意得：y=6?4a+8?5150?a=?a+450，
∵－1＜0，
∴y隨a的增大而減小，
∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，
∴a≥2150?a，
解得：a≥100，
∴當a=100時，y取最大值，此時y=?100+450=350，150?a=50，
答：水果店購進甲種水果100千克，乙種水果50千克時獲得最大利潤，最大利潤是350元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，一次函數(shù)與一元一次不等式的應用，正確理解題意，找出合適的等量關系列出方程和解析式是解題的關鍵．
【變式10-2】（2022·重慶·中考真題）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．
【答案】(1)24千米/時
(2)18千米/時
【分析】（1）設乙的速度為x千米/時，則甲的速度為1.2x千米/時，根據(jù)甲出發(fā)半小時恰好追上乙列方程求解即可；
（2）設乙的速度為x千米/時，則甲的速度為1.2x千米/時，根據(jù)甲、乙恰好同時到達B地列方程求解即可．
(1)
解：設乙的速度為x千米/時，則甲的速度為1.2x千米/時，
由題意得：0.5×1.2x=0.5x+2，
解得：x=20，
則1.2x=24，
答：甲騎行的速度為24千米/時；
(2)
設乙的速度為x千米/時，則甲的速度為1.2x千米/時，
由題意得：30x?13=301.2x，
解得x=15，
經(jīng)檢驗x=15是分式方程的解，
則1.2x=18，
答：甲騎行的速度為18千米/時．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用和分式方程的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．
【變式10-3】（2022·湖南益陽·中考真題）在某市組織的農(nóng)機推廣活動中，甲、乙兩人分別操控A、B兩種型號的收割機參加水稻收割比賽．已知乙每小時收割的畝數(shù)比甲少40%，兩人各收割6畝水稻，乙則比甲多用0.4小時完成任務；甲、乙在收割過程中對應收稻谷有一定的遺落或破損，損失率分別為3%，2%．
(1)甲、乙兩人操控A、B型號收割機每小時各能收割多少畝水稻？
(2)某水稻種植大戶有與比賽中規(guī)格相同的100畝待收水稻，邀請甲、乙兩人操控原收割機一同前去完成收割任務，要求平均損失率不超過2.4%，則最多安排甲收割多少小時？
【答案】(1)甲操控A型號收割機每小時收割10畝水稻，乙操控B型號收割機每小時收割6畝水稻
(2)最多安排甲收割4小時
【分析】（1）設甲操控A型號收割機每小時收割x畝水稻，則乙操控B型號收割機每小時收割（1﹣40%）x畝水稻，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合乙比甲多用0.4小時完成任務，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出甲操控A型號收割機每小時收割水稻的畝數(shù)，再將其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型號收割機每小時收割水稻的畝數(shù)；
（2）設安排甲收割y小時，則安排乙收割100?10y6小時，根據(jù)要求平均損失率不超過2.4%，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．
（1）解：設甲操控A型號收割機每小時收割x畝水稻，則乙操控B型號收割機每小時收割（1﹣40%）x畝水稻，依題意得：6(1?40%)x?6x=0.4，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型號收割機每小時收割10畝水稻，乙操控B型號收割機每小時收割6畝水稻．
（2）設安排甲收割y小時，則安排乙收割100?10y6小時，依題意得：3%×10y＋2%×6×100?10y6≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小時．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式． 先化簡，再求值：3?xx?4+1，其中x=
解：原式=3?xx?4?(x?4)+(x?4)
=3?x+x?4
=?1

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