模型1.對角互補(bǔ)模型（全等模型）
【模型解讀】
四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。常見含90°、120°（60°）及任意角度的三種對角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形全等.
【常見模型及結(jié)論】
1）全等型—60o和120o：如圖1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.
則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
2）全等型—90o：如圖2，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.
則可以得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
3）全等型—和：如圖3，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.
則可以得到以下結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cs，③.

1． (2023·貴州黔東南·中考真題）在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；
（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．
2． (2023·廣東深圳·一模）【問題提出】如圖1，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．
（1）如圖2，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是 ．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形的面積．
（3）如圖3，等邊的邊長為2，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的周長．
3． (2023·河南安陽·二模）【閱讀】通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度大小進(jìn)行比較，直觀地得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．
【理解】（1）如圖1，，AC平分，求證：．
【拓展】（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CD交MA的延長線于點(diǎn)D，CB交射線AN于點(diǎn)B，寫出線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．
【應(yīng)用】（3）如圖3，為等邊三角形，，P為BC邊的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)使射線PM交直線AC于點(diǎn)M，射線PN交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，請直接寫出AN的長．
模型2.對角互補(bǔ)模型（相似模型）
【模型解讀】
四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。常見含90°、120°（60°）及任意角度的三種對角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.
【常見模型及結(jié)論】
1.對角互補(bǔ)相似如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，若∠EOF＝90o，則.

2.相似型—90o
如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，∠BOC＝. 結(jié)論：CE＝CD·.
1． (2023·黑龍江·雞西九年級期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長為（ ）
A．4B．6C．D．
2． (2023·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．
3． (2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)．另一邊交的延長線于點(diǎn)．
（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）探究證明：如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練：
1． (2023·山東濟(jì)南·一模）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．
2． (2023·山東德州·九年級期中）【發(fā)現(xiàn)與證明】
如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長都等于，那么正方形繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是一個(gè)定值．
（1）請你寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．
【應(yīng)用遷移】（2）如圖，四邊形中，，，連接．若，求四邊形的面積．
3． (2023·山西呂梁·九年級期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：
解：．理由如下：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，…
請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．
(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．
(3)若，．①如圖3，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段、、有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．②如圖4，的一邊與的延長線相交時(shí)，請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，的一邊與的延長線相交時(shí)，請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系．

4． (2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).
（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.
5． (2023·吉林白城·九年級期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)D，E.
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①)，易證：OD＋OE＝OC；
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，線段OD，OE，OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
6． (2023·湖北武漢·中考真題）已知是的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，與的面積之和為S．
(1)填空：當(dāng)，，時(shí)，
①如圖1，若，，則_____________，_____________；
②如圖2，若，，則_____________，_____________；
(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，探究S與m、n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：
(3)如圖4，當(dāng)，，，時(shí)，請直接寫出S的大?。?br>7． (2023·河南·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∠EDF兩邊分別交線段AB于點(diǎn)E，交線段AC于點(diǎn)F，且∠EDF+∠BAC＝180°（1）如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，求證：BE＝AF；（2）如圖2，當(dāng)∠EDF＝60°時(shí)，求證：AE+AF＝AD；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF并延長EF至點(diǎn)G，使FG＝EF，連接CG，若BE＝5，CF＝4，求CG的長度．
8． (2023·江西·吉水縣第三中學(xué)九年級期末）【問題情境】如圖①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個(gè)用足夠長的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)．
【問題探究】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①如圖2，當(dāng)AD＝BD時(shí)，線段DP、DQ的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP＝DQ C、DP＞DQ D、無法確定
②如圖3，當(dāng)AD＝2BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD＝nBD時(shí)，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為 （直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD＝BD時(shí)，若AB＝20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．
9． (2023·山東·寧陽縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期末）如圖1，將直角三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交邊于點(diǎn)，另一邊交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若，，則______．
10． (2023·廣東·佛山九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時(shí)，AP＝________．
11． (2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．
12． (2023·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．
專題04 對角互補(bǔ)模型（從全等到相似）
全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1.對角互補(bǔ)模型（全等模型）
【模型解讀】
四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。常見含90°、120°（60°）及任意角度的三種對角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形全等.
【常見模型及結(jié)論】
1）全等型—60o和120o：如圖1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.
則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
2）全等型—90o：如圖2，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.
則可以得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
3）全等型—和：如圖3，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.
則可以得到以下結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cs，③.

1． (2023·貴州黔東南·中考真題）在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；
（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）見解析；（2）①AD＋AB＝AC，見解析；②
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根據(jù)直角三角形中是斜邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構(gòu)造證明△CFB△CED，根據(jù)全等的性質(zhì)得到FB＝DE，結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)題意應(yīng)用的正弦值求得的長，然后根據(jù)的數(shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積．
【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，
，
∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，理由：過點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認(rèn)出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．
2． (2023·廣東深圳·一模）【問題提出】如圖1，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．
（1）如圖2，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是 ．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形的面積．
（3）如圖3，等邊的邊長為2，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的周長．
【答案】（1）等邊三角形；（2）；（3）4
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，所以是等邊三角形；
（2）求出等邊三角形的邊長為3，求出三角形的面積即可；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則，得出，，，證明，證得的周長．
【詳解】解：（1）∵將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
∴≌，
∴，，
∴是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
（2）過B′作B′E⊥BD于E，
由（1）知，，
∴，
∴，
由（1）知△B′BD為等邊三角形，
∴∠B′BE=60°，BD=,
∵四邊形的面積＝三角形BCD面積+三角形ACD面積=三角形B′AD面積+三角形ACD面積=等邊三角形的面積，
∴BE=B′Bsin60°=，
∴；
（3）解：將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，
∴，，，，
∵是等腰三角形，且，
∴，，
又∵等邊三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∴的周長．
故的周長為4．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等變換，等邊三角形判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，圖形旋轉(zhuǎn)，直角三角形判定，三點(diǎn)共線，三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩邊之和，特殊角銳角三角函數(shù)，掌握三角形全等變換，等邊三角形判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，圖形旋轉(zhuǎn)，直角三角形判定，三點(diǎn)共線，三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩邊之和，特別是利用圖形旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)化特殊角銳角三角函數(shù)，是解題關(guān)鍵．
3． (2023·河南安陽·二模）【閱讀】
通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度大小進(jìn)行比較，直觀地得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．
【理解】（1）如圖1，，AC平分，求證：．
【拓展】（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CD交MA的延長線于點(diǎn)D，CB交射線AN于點(diǎn)B，寫出線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．
【應(yīng)用】（3）如圖3，為等邊三角形，，P為BC邊的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)使射線PM交直線AC于點(diǎn)M，射線PN交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，請直接寫出AN的長．
【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得證；
（2）過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為E、F，根據(jù)三角形的外角以及對頂角的性質(zhì)，證明，然后證明，由，可得，即可得證；（3）分在的上方和下方兩種情形討論，①過點(diǎn)分別作的垂線，根據(jù)（2）的結(jié)論可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得的長，進(jìn)而可得的長，根據(jù)即可求解，②同①方法求解，根據(jù)即可求解．
【詳解】（1） AC平分，，
，，，
，；
（2），理由如下，
如圖，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為E、F，

由（1）可得，，
繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，
，，
，
，即，
，，
，，
，
，
又，；
（3）①如圖，當(dāng)在下方時(shí)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為E、F，
是的中點(diǎn)，是等邊三角形，
平分，∠B=∠C=60°，，
由（2）可得，，
，，
∴∠EPC=∠FPB=90°-60°=30°，
，，
，，
②如圖，當(dāng)在上方時(shí)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為E、F，
同理可得
．
綜上所述，的長為14或2．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，作兩垂線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
模型2.對角互補(bǔ)模型（相似模型）
【模型解讀】
四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。常見含90°、120°（60°）及任意角度的三種對角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.
【常見模型及結(jié)論】
1.對角互補(bǔ)相似如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，若∠EOF＝90o，則.

2.相似型—90o
如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，∠BOC＝. 結(jié)論：CE＝CD·.
1． (2023·黑龍江·雞西九年級期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長為（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】B
【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解決問題．
【詳解】解：如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，∴，∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ//BC，∴△AQP∽△ABC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，
設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝6，∴x＝，∴AP＝5x＝6．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
2． (2023·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．
【答案】見解析
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，
∵，∴∠D=∠ABC，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)．另一邊交的延長線于點(diǎn)．
（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）探究證明：如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值．
【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；
（2）如圖（見解析），過點(diǎn)分別作，垂足分別為，證明方法與題（1）相同；
（3）如圖（見解析），過點(diǎn)分別作，垂足分別為，先同（2）求出，從而可證，由相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求出的值，即可得出答案.
【詳解】（1），理由如下：
由直角三角板和正方形的性質(zhì)得
在和中，；
（2）成立，證明如下：
如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形
由正方形對角線的性質(zhì)得，為的角平分線則
在和中，；
（3）如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為
同（2）可知，
由長方形性質(zhì)得：
，即
在和中，.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.
課后專項(xiàng)訓(xùn)練：
1． (2023·山東濟(jì)南·一模）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．
【答案】(1)；(2)成立，；(3)，見解析
【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等邊三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，從而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求證；
（3）在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證得△MDN≌△M1DN，即可求證．
（1）解：BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC＝MN．
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案為：BM+NC＝MN；
（2）猜想：結(jié)論仍然成立．
證明：在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）NC?BM=MN，理由如下：
證明：在CN上截取CM1＝BM，連接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．
2． (2023·山東德州·九年級期中）【發(fā)現(xiàn)與證明】
如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長都等于，那么正方形繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是一個(gè)定值．
（1）請你寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．
【應(yīng)用遷移】（2）如圖，四邊形中，，，連接．若，求四邊形的面積．
【答案】（1），證明見解析；（2）32
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，AO⊥BO，即可證得從而得到即可求解.
（2）過點(diǎn)A作交BC于M、，交的延長線于點(diǎn)，可證得可得，四邊形為正方形，即可求解.
【詳解】解：（1）
證明：四邊形為正方形，
，，
，
四邊形為正方形，
，即，，
又，
則兩個(gè)正方形重疊部分的面積：
（2）如圖，作交BC于M、，交的延長線于點(diǎn)；
則
四邊形為矩形，；
，即；
又，，
，四邊形為正方形
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等等，構(gòu)造全等三角形時(shí)解題的關(guān)鍵.
3． (2023·山西呂梁·九年級期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：
解：．
理由如下：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，
…
請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．
(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．
(3)若，．
①如圖3，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段、、有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．
②如圖4，的一邊與的延長線相交時(shí)，請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，的一邊與的延長線相交時(shí)，請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析；(3)①成立，理由見解析；②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，
【分析】（1）通過ASA證明即可得到CD=CE；（2）過點(diǎn)作，，垂足分別為，，通過AAS證明同樣可得到CD=CE；（3）①方法一：過點(diǎn)作，垂足分別為，，通過AAS得到，進(jìn)而得到，利用等量代換得到，在中，利用30°角所對的邊是斜邊的一半得，同理得到，所以；方法二：以為一邊作，交于點(diǎn)，通過ASA證明，得到，所以；②圖4：以O(shè)C為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)，利用ASA證得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；圖5:以O(shè)C為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)，利用ASA證得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【詳解】解：(1)平分，，
又
在與中，

(2)如圖2，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，∴，
又∵平分，∴，
在四邊形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，
在與中，
∴，∴.
(3)①(1)中的結(jié)論仍成立..
理由如下：方法一：如圖3(1)，過點(diǎn)作，，

垂足分別為，，∴，
又∵平分，∴，
在四邊形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，
在與中，，∴，∴.
∴.
在中，，
∴，同理，∴.
方法二：如圖3（2），以為一邊作，交于點(diǎn)，
∵平分，∴，
∴，∴，，
∴是等邊三角形，∴，
∵，，∴，
在與中，∴，
∴.∴.
②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.
如圖，以O(shè)C為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)
∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°∴△COF為等邊三角形∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120° ∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC

在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，.
如圖，以O(shè)C為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)
∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°∴△COG為等邊三角形∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120° ∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE ∴△CGD≌△COE（ASA）
∴CD=CE，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的綜合應(yīng)用，有一定難度，解題關(guān)鍵在于能夠做出輔助線證全等.
4． (2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).
（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.
【答案】（1），見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）
【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）是的角平分線
在中，，
同理：
（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：
過點(diǎn)作于，于
由（1）知，
，且點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)
（3）結(jié)論為：.
理由：過點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，
∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，
∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．
【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
5． (2023·吉林白城·九年級期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)D，E.
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①)，易證：OD＋OE＝OC；
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，線段OD，OE，OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
【答案】圖②中OD＋OE＝OC成立．證明見解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC
【分析】當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，易得△CKD≌△CHE，進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)果，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論．
【詳解】解：圖②中OD＋OE＝OC成立．
證明：過點(diǎn)C分別作OA，OB的垂線，垂足分別為P，Q
有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，
∴OD＋OE＝OC．圖③不成立，
有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC
過點(diǎn)C分別作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠KCD=∠HCE，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=OC，
∴OD，OE，OC滿足OE-OD=OC．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．
6． (2023·湖北武漢·中考真題）已知是的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，與的面積之和為S．
(1)填空：當(dāng)，，時(shí)，
①如圖1，若，，則_____________，_____________；
②如圖2，若，，則_____________，_____________；
(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，探究S與m、n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：
(3)如圖4，當(dāng)，，，時(shí)，請直接寫出S的大?。?br>【答案】(1)①，25；②4；(2)S=(3)S=
【分析】（1）①先證四邊形DECF為正方形，再證△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函數(shù)求出BF=BDcs45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcs45°=5即可；②先證四邊形DECF為正方形，利用直角三角形兩銳角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先證求出DE=，利用三角函數(shù)求出AE=ADcs30°=6，DF=DE=，BF=DFtan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，連接DI，先證四邊形DGCH為正方形，再證△DFG≌△DEH（ASA）與△DBG≌△DIH（SAS），然后證明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；（3）過點(diǎn)D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，連接DR，過點(diǎn)A作AS⊥DR于S，先證明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再證△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．
(1)解：①∵，，，是的角平分線，
∴四邊形DECF為矩形，DE=DF，∴四邊形DECF為正方形，
∵，∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，∴△ABC為等腰直角三角形，
∵CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，且AD=BD=m,∵，∴BD=n=，
∴BF=BDcs45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcs45°=5，ED=DF=5，
∴S= ；故答案為，25；
②∵，，，是的角平分線，
∴四邊形DECF為矩形，DE=DF，∴四邊形DECF為正方形，
∵，∴∠A=90°-∠B=30°，
∴DE=，AE=ADcs30°=6，DF=DE=，
∵∠BDF=90°-∠B=30°，∴BF=DFtan30°=2，∴BD=DF÷sin60°=4，∴BD=n=4，
∴S=，故答案為：4；；
(2)解：過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，連接DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，∴四邊形DGCH為矩形，
∵是的角平分線，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DG=DH，
∴四邊形DGCH為正方形，∴∠GDH=90°，
∵，∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，在△DFG和△DEH中，
，∴△DFG≌△DEH（ASA）∴FG=EH， 在△DBG和△DIH中，
，∴△DBG≌△DIH（SAS），∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，∴S△ADI=，
∴S=；

(3)過點(diǎn)D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，連接DR，過點(diǎn)A作AS⊥DR于S，
∵是的角平分線，DP⊥AC，DQ⊥BC，∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°，∵，∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，∴∠FDQ=∠EDP，
在△DFQ和△DEP中，
，∴△DFQ≌△DEP（ASA）∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，在△DBQ和△DRP中，
，∴△DBQ≌△DRP（SAS），∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，∴△DBF≌△DRE，∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形判定，三角形面積，角平分線性質(zhì)，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形判定，三角形面積，角平分線性質(zhì)，解直角三角形是解題關(guān)鍵．
7． (2023·河南·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∠EDF兩邊分別交線段AB于點(diǎn)E，交線段AC于點(diǎn)F，且∠EDF+∠BAC＝180°（1）如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，求證：BE＝AF；（2）如圖2，當(dāng)∠EDF＝60°時(shí)，求證：AE+AF＝AD；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF并延長EF至點(diǎn)G，使FG＝EF，連接CG，若BE＝5，CF＝4，求CG的長度．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CG＝．
【分析】1）由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∠B＝∠C＝45°，∠DAF＝∠BAC＝45°，求出∠B＝∠DAF，∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，即可得出結(jié)論；
（2）取AB的中點(diǎn)M，連接DM，由直角三角形的性質(zhì)得出DM＝AB＝BM＝AM，證出△ADM是等邊三角形，得出AM＝DM＝AD，∠AMD＝∠ADM＝60°，證明△DEM≌△DFA，得出MD＝AF，即可得出結(jié)論；
（3）作EH⊥BC于H，F(xiàn)M⊥BC于M，GN⊥BC于N，則EH∥FM∥GN，由（2）得：AE＋AF＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝30°，AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出AD＝AB，BD＝CD＝AD，EH＝BE＝，F(xiàn)M＝CF＝2，BH＝EH＝，CM＝FM＝2，求出AB＝6，得出AD＝3，BD＝CD＝3，∴DH＝BD?BH＝，DM＝CD?CM＝，求出HM＝DH＋DM＝，證出FM是梯形EHNG的中位線，HM＝MN，得出2FM＝EH＋GN，MN＝，CN＝CD?DM?MN＝，求
出GN＝，在Rt△CGN中，由勾股定理即可求出CG的長．
【詳解】（1）證明：連接AD，如圖1所示：
∵∠EDF+∠BAC＝180°，∠EDF＝90°，∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∠B＝∠C＝45°，∠DAF＝∠BAC＝45°，∴∠B＝∠DAF，
∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）證明：取AB的中點(diǎn)M，連接DM，如圖2所示：
∵AD⊥BC，M是AB的中點(diǎn)，∴DM＝AB＝BM＝AM，
∵∠EDF+∠BAC＝180°，∠EDF＝60°，∴∠BAC＝120°，
∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴△ADM是等邊三角形，∴AM＝DM＝AD，∠AMD＝∠ADM＝60°，∴∠MDE＝∠ADF，
在△DEM和△DFA中，，∴△DEM≌△DFA（ASA），∴MD＝AF，
∵AE+ME＝AM＝AD，∴AE+AF＝AD；
（3）解：作EH⊥BC于H，F(xiàn)M⊥BC于M，GN⊥BC于N，如圖3所示：
則EH∥FM∥GN，由（2）得：AE+AF＝AD，
∵BE＝5，CF＝4，AB+AC＝BE+AE+AF+CF＝BE+AD+CF＝5+AD+4＝9+AD，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴∠B＝∠ACB＝30°，AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD＝AB，BD＝CD＝AD，EH＝BE＝，F(xiàn)M＝CF＝2，BH＝EH＝，CM＝FM＝2，
∴2AB＝9+AB，解得：AB＝6，∴AD＝3，BD＝CD＝3，
∴DH＝BD﹣BH＝，DM＝CD﹣CM＝，∴HM＝DH+DM＝，
∵EH∥FM∥GN，EF＝FG，∴FM是梯形EHNG的中位線，HM＝MN，
∴2FM＝EH+GN，MN＝，CN＝CD﹣DM﹣MN＝3﹣﹣＝，2×2＝+GN，∴GN＝，
在Rt△CGN中，由勾股定理得：CG＝=．

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．
8． (2023·江西·吉水縣第三中學(xué)九年級期末）【問題情境】如圖①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個(gè)用足夠長的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)．
【問題探究】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①如圖2，當(dāng)AD＝BD時(shí)，線段DP、DQ的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP＝DQ C、DP＞DQ D、無法確定
②如圖3，當(dāng)AD＝2BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD＝nBD時(shí)，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為 （直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD＝BD時(shí)，若AB＝20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）①B；②DP＝2DQ，理由見解析；③DP＝nDQ；（2）存在，，最小值是5，最大值為10，理由見解析．
【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，則＝，求出△AMD∽△BND，進(jìn)而得出答案；
③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則＝＝，則AD＝nBD，求出即可；
（2）當(dāng)DP⊥AC時(shí)，x最小，最小值是5，此時(shí)，S有最小值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大值為10，S有最大值分別求出即可．
【詳解】解：（1）①DP＝DQ，
理由：如圖2，連接CD，∵AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴DP＝DQ；
②DP＝2DQ，理由：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為：M，N，
則∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴＝，
∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND，∴＝，
∴＝＝＝2，∴DP＝2DQ；
③如圖1，過D點(diǎn)作DM⊥CB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，
∵∠C＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP+∠QDB＝90°，
可得：∠MDN＝90°，∴∠QDM＝∠NDP，
又∵∠DNP＝∠DMQ，∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，∴＝，
∵由（1）知，△ADN∽△BDM，∴＝＝，
∵AD＝nBD，∴＝＝＝n，
∴DP與DQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為：DP＝nDQ；故答案為：DP＝nDQ；
（2）存在，設(shè)DQ＝x，由（1）①知，DP＝x，∴S＝x?x＝x2，
∵AB＝20，∴AC＝BC＝10，AD＝BD＝10，
當(dāng)DP⊥AC時(shí)，x最小，最小值是5，此時(shí)，S有最小值，S最?。健粒?）2＝25，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大值為10，此時(shí)，S有最大值，S最大＝×102＝50．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及求最值等知識，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9． (2023·山東·寧陽縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期末）如圖1，將直角三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交邊于點(diǎn)，另一邊交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若，，則______．
【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）2
【分析】(1)利用同角的余角相等，證即可，
(2)成立．過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，由四邊形為正方形，知平分，利用角平分線性質(zhì)，。推出四邊形是正方形，
，利用同角的余角相等，證出即可，
(3)過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，垂足分別為、，則，，．可得，，得，，
∴，即，再證即可．
【詳解】(1)證明：∵，，∴，
在和中，，∴，∴；
(2)解：成立．證明：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
∵四邊形為正方形，∴平分，
又∵，，∴，∴四邊形是正方形，∴，
∵，，
∴，∴，∴；
．
(3)解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，垂足分別為、，則，
∴，．∴，，
∴，，∴，即，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的探究問題，掌握探究問題的研究方法，試題研究，類比，應(yīng)用型進(jìn)行發(fā)展和提高，考查學(xué)生的應(yīng)變能力，及綜合運(yùn)用的能力，難度較大，基礎(chǔ)知識要過硬是解題關(guān)鍵．
10． (2023·廣東·佛山九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時(shí)，AP＝________．
【答案】3
【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解決問題．
【詳解】解：如圖作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，PR⊥BC于點(diǎn)R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴，
，，
∵PQ//BC，
設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
11． (2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.
（2）通過，可知 四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.
【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴
又∵平分∴
又∵ ∴
∴ ∴ ∴
在與中,
∴
（2∵
∴ 四點(diǎn)共圓，如下圖：
∵∴
又∵ ∴
∵∴∴
∴∴ 即
∵∴
∵∴
∵ ∴
∴故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12． (2023·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，見解析；（2）ON＝k?OM，見解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；
（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
（2）如圖2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，
由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，
∴，∴ON＝k?OM．
（3）如圖3，
設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k?OA，
∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，
∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，
設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)是條件得出k＞1．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題05一線三等角(K型圖)模型(從全等到相似)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題05一線三等角(K型圖)模型(從全等到相似)(原卷版+解析)，共59頁。試卷主要包含了一線三等角，一線三等角模型，一線三直角模型，8cm；5等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題14圓中的重要幾何模型-隱圓模型(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題14圓中的重要幾何模型-隱圓模型(原卷版+解析)，共48頁。試卷主要包含了動(dòng)點(diǎn)定長模型，定邊對直角模型，定邊對定角模型，四點(diǎn)共圓模型等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題13最值模型-瓜豆原理(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題13最值模型-瓜豆原理(原卷版+解析)，共48頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題10最值模型-胡不歸問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題10最值模型-胡不歸問題(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題09最值模型-將軍飲馬(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題09最值模型-將軍飲馬(原卷版+解析)
2023-2024學(xué)年常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練專題01旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對角互補(bǔ)模型）

2023-2024學(xué)年常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練專題01旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對角互補(bǔ)模型）
2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納 專題04 對角互補(bǔ)模型（從全等到相似）

2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納 專題04 對角互補(bǔ)模型（從全等到相似）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部