2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練(全國通用)專題22 全等與相似模型之對角互補(bǔ)模型解讀與提分精練（全國通用）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc2660" PAGEREF _Tc2660 \h 1
\l "_Tc13861" 模型1.對角互補(bǔ)模型（全等型：90°-90°） PAGEREF _Tc13861 \h 1
\l "_Tc21462" 模型2.對角互補(bǔ)模型（全等型：60°-120°） PAGEREF _Tc21462 \h 7
\l "_Tc25941" 模型3.對角互補(bǔ)模型（全等型：α—180°-α） PAGEREF _Tc25941 \h 13
\l "_Tc18643" 模型4.對角互補(bǔ)模型（相似模型） PAGEREF _Tc18643 \h 18
\l "_Tc3931" PAGEREF _Tc3931 \h 31
模型1.對角互補(bǔ)模型（全等型：90°-90°）
對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。
對角互補(bǔ)模型（90°— 90°型）主要分異側(cè)型和同側(cè)型兩大類，處理方法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。
1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
證明：過點C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，
又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴
2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.
證明：過點C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，
∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，
∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，.
例1．（23-24九年級上·河南洛陽·期中）綜合與實踐
已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）于點E，F(xiàn)．
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于點E時（如圖1），
①證明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝ S△ABC．
（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE與AC不垂直時，且點E在線段AC上，試判斷S△DEF+S△CEF與S△ABC的關(guān)系，并給予證明．
（3）【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點E在線段AC的延長線上時，此時問題（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的關(guān)系？（寫出你的猜想，不需證明）

圖1 圖2 圖3
【答案】（1）①證明見解析；②；（2）上述結(jié)論成立；理由見解析；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由見解析.
【分析】（1）①先判斷出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判斷出∠A=∠BDF，即可得出結(jié)論；②當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形，邊長是AC的一半，即可得出結(jié)論；（2）成立；先判斷出∠DCE=∠B，進(jìn)而得出△CDE≌△BDF，即可得出結(jié)論；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC．
【詳解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，
∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）；
②如圖1中，當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形．

設(shè)△ABC的邊長AC＝BC＝a，則正方形CEDF的邊長為a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案為．
（2）上述結(jié)論成立；理由如下：連接CD；如圖2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，
∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
例2．（2024·陜西·一模）問題提出(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點B，另一條直角邊交邊DC于點E，線段PB和線段PE相等嗎？請證明；
問題探究(2)如圖2，移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
問題解決(3)繼續(xù)移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析（2）PB＝PE還成立(3) PB＝PE還成立
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，則四邊形PMCN是矩形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據(jù)AAS證明△PBM≌△PEN，則可證明；
（2）連接PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，由“SAS”以及四邊形的內(nèi)角和得證；
（3）過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由“AAS”可證.
試題解析：(1)如圖1，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE (2)如圖2，PB＝PE還成立．理由如下：過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE (3)如圖3，PB＝PE還成立．理由如下：過點P作PM⊥BC交BC的延長線于點M，PN⊥CD的延長線于點N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE
例3．（2024·河南·一模）已知，點是的角平分線上的任意一點，現(xiàn)有一個直角繞點旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線，相交于點，點.
（1）如圖1，若，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
（2）如圖2，若點在射線上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請說明理由；如不成立，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.
（3）如圖3，若點在射線的反向延長線上，且，，請直接寫出線段的長度.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）
【分析】（1）先證四邊形為矩形，再證矩形為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過點作于點，于點，證四邊形為正方形，再證，可得；（3）根據(jù)，可得.
【詳解】解：（1）∵，，，∴四邊形為矩形.
∵是的角平分線，∴，∴，
∴矩形為正方形，∴，.∴.
（2）如圖，過點作于點，于點，
∵平分，，∴四邊形為正方形，由（1）得：，
在和中，，∴，∴，∴.
（3），，∴.
∵，，∴，
∴，∴，的長度為.
【點睛】考核知識點：矩形，正方形的判定和性質(zhì).熟練運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.
模型2.對角互補(bǔ)模型（全等型：60°-120°）
對角互補(bǔ)模型（60°— 120°型），處理方法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。
1）“等邊三角形對120°模型”（1）

條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
證明：過點C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。
2）“等邊三角形對120°模型”（2）

條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，
結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.
證明：過點C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。
3）“120°等腰三角形對60°模型”
條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。結(jié)論：PB+PC=PA；
證明：將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，
∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；
∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共線。
又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，
根據(jù)勾股定理易證：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。
例1．（2024重慶八年級期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個60°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．
（1）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
【答案】（1）詳見解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見解析.
【分析】(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.
【詳解】(1)∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，
(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；
(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.
例2．（2024廣東中考一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點，將一個角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與射線相交于點.
（1）如圖1，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與垂直時，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到點位于的反向延長線上時，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.
【答案】（1），見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）
【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）是的角平分線
在中，，同理：
（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過點作于，于

由（1）知，
，且點是的平分線上一點
（3）結(jié)論為：.
理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，
∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．
【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
例3．（23-24九年級上·重慶江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．
（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB．（3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長線于E、F兩點，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）1（2）證明見解析（3）結(jié)論不成立．結(jié)論：BE﹣CF=AB
【分析】（1）如圖1中，只要證明∠BED=90°，根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)即可解決問題．
（2）如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要證明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解決問題．（3）（2）中的結(jié)論不成立．結(jié)論：BE﹣CF=AB，證明方法類似（2）．
【詳解】解：（1）如圖1中，

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵點D是線段BC的中點，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．
（2）如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．
（3）結(jié)論不成立．結(jié)論：BE﹣CF=AB．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．
模型3.對角互補(bǔ)模型（全等型：α—180°-α）
對角互補(bǔ)模型（α—180°-α型）處理方法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。
1）“α對180°-α模型”
條件：四邊形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。結(jié)論：OP平分∠AOB。
證明：過點P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
注意：如下圖：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個條件可知二推一。
2）“蝴蝶型對角互補(bǔ)模型”（隱藏型對角互補(bǔ)）
條件：AP=BP，∠AOB=∠APB，結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。
證明：過點P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
例1．（2024·福建廈門·九年級校考期中）如圖，（是常量）．點P在的平分線上，且，以點P為頂點的繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點，若始終與互補(bǔ)，則以下四個結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點M與點N的距離保持不變．其中正確的為（）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如圖作于點E，于點F，只要證明，即可一一判斷．
【詳解】解：如圖所示：作于點E，于點F，
，，，，
，，
平分，，，，
在和中，，，，
在和中，，，
，故①正確，，定值，故③正確，
定值，故②正確，
的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．
探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）
【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關(guān)系不變，理由見詳解；應(yīng)用：與差是．
【分析】感知：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求證；探究：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，由題意可得∠B=∠DCF，進(jìn)而可證△DEB≌△DFC，然后問題可求證；應(yīng)用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，由題意易證△DHB≌△DGC，則有DH=DG，進(jìn)而可得AG=AH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則有，最后問題可求解．
【詳解】感知：，理由如下：
∵，，∴，即，∵平分，∴；
探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：
過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：
∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，
∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；
應(yīng)用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，如圖所示：
∵，，∴，∵，∴，
∵，，
∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，
∴，由勾股定理可得，
∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，
∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
例3．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖（1）~（3），已知的平分線OM上有一點P，的兩邊與射線OA、OB交于點C、D，連接CD交OP于點G，設(shè)，．
(1)如圖（1），當(dāng)時，試猜想PC與PD，與的數(shù)量關(guān)系（不用說明理由）；
(2)如圖（2），當(dāng)，時，（1）中的兩個猜想還成立嗎？請說明理由．
(3)如圖（3），當(dāng)時，你認(rèn)為（1）中的兩個猜想是否仍然成立，若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)，(2)成立，理由見詳解(3)，
【分析】（1）過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PF=PE，先證明∠EPF=∠CPD，再證明∠CPE=∠EPD，即可證明△FPC≌△EPD，則有PC=PD，∠PDC=∠PCD，則有2∠PDC=∠CPN，根據(jù)∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即問題得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）．
【詳解】（1），，
證明：過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，如圖，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四邊形OCPD的內(nèi)角和為360°，
同理，四邊形OFPE的內(nèi)角和為360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，結(jié)論得證；
（2）成立，理由如下：過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，如圖，
∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四邊形OFPE的內(nèi)角和為360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，結(jié)論得證；
（3）成立，，，
證明：過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，如圖，
∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四邊形OFPE的內(nèi)角和為360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，結(jié)論得證．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，證明△FPC≌△EPD是解答本題的關(guān)鍵．
模型4.對角互補(bǔ)模型（相似模型）
四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.
1）對角互補(bǔ)相似1
條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，

結(jié)論：如圖，過點O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，則：①△ODE～△OHF；②
證明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，
∵∠C＝90°，∴四邊形OHCD為矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE～△OHF，∴，
∵∠C＝∠OHD＝90°，點O是AB的中點，∴H為BC中點，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB～△ACB，∴，∴
2）對角互補(bǔ)相似2
條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

結(jié)論1：如圖1，過點C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；則①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.
證明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四邊形OGCF為矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG～△DCF，∴，
∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·
條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
結(jié)論2：如圖2，過點C作CF⊥OC，交OB于F；則：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.
證明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE～△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.
3）對角互補(bǔ)相似3
條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。
結(jié)論：如圖，過點D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點共圓。
證明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四點共圓。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE～△DCF；
例1．（2024·江蘇淮安·一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究．
在中，，，是邊上一點，且(為正整數(shù)），、分別是邊和邊上的點，連接，且．
【初步感知】（）如圖，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】（）如圖，當(dāng)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
請通過類比、歸納、猜想，探究出線段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．
【拓展運(yùn)用】（）如圖，點為靠近的四等分點，連接，設(shè)的中點為，若，求點從點運(yùn)動到點的過程中，請直接寫出點運(yùn)動的路徑長．
【答案】（）證明見解析；（），理由見解析；；（）
【分析】（1）由“”可證，可得，即可求解；
（2）①先證和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通過證明，可求，即可求解；
②分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；
（3）連接，，，由題意可得點在線段的垂直平分線上運(yùn)動，由題意易得，當(dāng)點E與點A重合時，過點M作于點H，當(dāng)點E與點C重合時，假設(shè)此時的中點為N，即為原來的點M，進(jìn)而得出點M的運(yùn)動軌跡，然后問題可求解．
【詳解】（）證明：連接，∵，，且當(dāng)時，，
，，，，
，，∴∠EDF，，

在和中，，∴，，
，即；
（），理由如下：過點作于，于，
，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
，，設(shè)，則，，，，
，，，四邊形是矩形，
，，
又，，，，
；
如圖4，當(dāng)點在射線上時，過點作于，于，
，，，，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，設(shè)，，
，，，，，，
四邊形是矩形，，，
又，，，，
；
當(dāng)點在的延長線上時，如圖5，，，，

，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，
設(shè)，，，，，
，，，四邊形是矩形，
，，
又，，，，
；
綜上所述：當(dāng)點在射線上時，，當(dāng)點在延長線上時，；
（3）解：連接，，，如圖（1），
的中點為，，，∴點在線段的垂直平分線上運(yùn)動，
∵點D為靠近B的四等分點，∴，
由（2）得，∴
當(dāng)點E與點A重合時，過點M作于點H，如圖，
∴，∴，∴∴，∴，
∵，代入得，∴；
當(dāng)點E與點C重合時，假設(shè)此時的中點為N，即為原來的點M，如圖，

∵，代入得，∴，
∴如圖，點M的運(yùn)動軌跡即為的長，
∵在Rt中，∴∴∴點運(yùn)動的路徑長為
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
例2．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）綜合與探究
問題解決：如圖1，中，，過點C作于點D，小明把一個三角板的直角頂點放置在點D處，兩條直角邊分別交線段于點 E ，交線段于點 F，在三角板繞著點D旋轉(zhuǎn)的過程中，若點E是的中點，則點F也是的中點嗎？（注：可以用知識：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
“陽光”小組的解答是：若點E是的中點，則點F也是的中點．
理由如下：∵ 于點 D，．
∵點 E 是的中點，．
，．是等邊三角形．，
．．
又，．
．即若點E是的中點，則點F也是的中點．
反思交流（1）“群星”小組認(rèn)為在這個題中，可以去掉條件“”，其他條件不變（如圖2），若點E是的中點，則點F也是的中點．請你根據(jù)條件證明這個結(jié)論；
拓廣探索（2）去掉條件“”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過程中，若（如圖3），那么等式成立嗎？請說明理由；（3）去掉條件“”，其他條件不變．若點 E 是上任意一點（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【答案】（1）若點E是的中點，則點F也是的中點，理由見解；（2）成立，理由見解；（3）若點E是上任意一點，（2）中的結(jié)論仍然成立，理由見解．
【分析】（1）由題意得，根據(jù)直角三角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）由題意證明，，，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）于點D，，
∵點E是的中點，，，
，，，
又，，
，，即點F是的中點；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若，那么等式成立．
理由如下：，∴四邊形是矩形，
，，，；
（3）若點E是上任意一點（如圖4），（2）中的結(jié)論仍然成立．
理由如下：，，
，，同理證得，
則，，同理證得，
則，，即．
【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·河南信陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；
（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．
【詳解】解：當(dāng)時，即：，
，，
，，，
，，
即，∽，，
，，∽，，
，，，，，
，，
即，∽，，
，，∽，，
成立如圖3，

，，又，，，
，，
即，∽，，
，，∽，，．
由有，∽，
，，，
如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，
如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，，或舍
如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，

在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，
③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，，
，或（舍），綜上：或．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點．
例4．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖1，等邊中，為邊上的一點，且，分別為上的兩個動點，始終保持.
(1)若，求證：①，②；
(2)①如圖2，若，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程；
②請通過類比、歸納、猜想，探究出之間的數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（用含有的代數(shù)式直接寫出，不用證明）；(3)如圖3，為邊上的中點，，連接，當(dāng)點分別在線段上運(yùn)動時，當(dāng)時，直接寫出線段掃過的圖形的面積.
【答案】(1)①見解析；②見解析(2)①；②；(3)
【分析】（1）過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；
②根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，則，即可得出；
（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，根據(jù)①的方法證明即可；
（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得是等邊三角形；則掃過的圖形的面積即為的面積，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：①如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，
∵是等邊三角形，∴，∵， ∴，，
又∵，∴，，
∴，∴，
∴，即，
在中，，∴，∴；
②證明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）① 證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，

當(dāng)時，，即，是的中點，，，
，，，
，是等邊三角形，，
，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，
同①，可得，，，，，
同①可得，，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，

當(dāng)與重合時，，則，∴是等邊三角形，
當(dāng)與重合時，同理可得是等邊三角形，
∵，∴，∴，
∵分別為的中點，∴則
∴，則
又∵∴∴
∴是等邊三角形；則掃過的圖形的面積即為的面積，
，，，以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，，如圖所示，過點作于點，
∴∵是等邊三角形，∴，
∴，∴，過點作于點，則，
∴，∴，
即線段掃過的圖形的面積為．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
1.（2024·江蘇·校考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點C作于E，則的值為（）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求的值，主要求出AE和BE的長即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長線于點F，可以證得兩對全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長，從而解決問題．
【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長線于點F，則∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°， ∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四邊形ABCD對角互補(bǔ)， ∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
設(shè)BE=a，則DF=a， ∵AB=15，AD=12，
∴12+2a=15，得， ∴AE=12+a=，BE=a=， ∴，故選B．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．
2．（2024·安徽六安·三模）在數(shù)學(xué)探究活動中，某同學(xué)進(jìn)行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片內(nèi)剪取一個直角，點，，分別在，，邊上．請完成如下探究：（1）當(dāng) 為的中點時，若，
（2）當(dāng)，、時，的長為

【答案】 /度
【分析】（1）連接，根據(jù)為的中點，可得，，則，根據(jù)，，易得四點在同一個圓上，根據(jù)圓周角定理，則有；
（2）過點分別作于點，作于點，易證，可得，即，根據(jù)，有，，即；根據(jù)，得到，即，可得，即有，即．
【詳解】解：（1）如圖1，連接，
∵為的中點，∴，∴，∴，
∵，，∴四點在同一個圓上，∴；

（2）如圖2，過點分別作于點，作于點，
則有：，
∴，∴，
∵∴，∴，∵，，∴
又∵，∴，則有，即．
∵，∴，即，∵，∴，即．
【點睛】本題考查了四點共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點，分別是邊上的點，且與交于點，則的值為．

【答案】
【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．
【詳解】∵∴∴
∵四邊形是菱形，∴，
∴∴∴，
又∵∴．，
∵∴，∴．
設(shè)，則，，；故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，邊長為4，點為的中點，，其兩邊分別交和的延長線于，則．
【答案】6
【分析】過點作，設(shè)與交于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合，可知，即可獲得答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，
如圖，過點作，設(shè)與交于點，
又∵，，∴，又∵點為的中點，且，
∴是的中位線，∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，
∴．故答案為：6．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用、正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題關(guān)鍵．
5．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫，并畫的平分線．
（I）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，（如圖1）．則；若把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)（如圖2），則________．（選填：“”或“=”）
（理解應(yīng)用）（2）在（1）的條件下，過點作直線，分別交，于點，，如圖3．
①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）②猜想，，之間的關(guān)系為________．
（拓展延伸）（3）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點，作，的兩邊分別與，相交于，兩點，與相等嗎？請說明理由．
【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由見解析
【分析】（1）PE=PF，利用條件證明△PEM≌△PFN即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根據(jù)勾股定理，全等三角形的性質(zhì)解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，證明△PGE≌△PHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【詳解】（1）如圖2，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，

∵OC是∠AOB的平分線，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案為：=；
（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可證明△EPO≌△FPH，
∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3對，故答案為：3；
②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案為：GE2+FH2=EF2；
（4）如圖，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．
【點睛】本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
6．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知是中的角平分線，點，分別在邊，上，，，與的面積之和為．
(1)當(dāng)，，時，如圖1，若，，則______，______；
(2)如圖2，當(dāng)時，①求證：；②直接寫出與，的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖3，當(dāng)，，，時，請直接寫出的大?。?br>【答案】(1)，9；(2)①證明見解析；②；(3)．
【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
（1）證明，都是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）①如圖中，過點作于點，于點證明；②由推出，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到右邊，連接，延長至點P，使，連接，證明，,可得,即可求解；
（3）如圖中，過點作于點，于點證明，推出，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，過點作于點，利用含角的直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖中，，，，，
平分，，，，，
，都是等腰直角三角形，，，
，故答案為：，；
（2）①證明：如圖中，過點作于點，于點．

，，平分，，
，四邊形是矩形，
，四邊形是正方形，，，
，，；
②解：，，，
把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到右邊，連接，延長至點P，使，連接，
則，，，
又，，，，，
，，，，
，；
（3）解：如圖中，過點作于點，于點．
，，平分，，
，，
，，
，，，
，
把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，
過點作于點，,
，．
7．（23-24九年級上·北京朝陽·期中）如圖，，平分，點P為上一個動點，過點P作射線交于點E．以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將射線沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交于點F．
(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；(2)如圖1，若點E在OA上，用等式表示線段OE、OP和OF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若點E在OA的反向延長線上，直接寫出線段OE、OP和OF之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)補(bǔ)圖見解析(2)，證明見解析(3)
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）作，得到，證明，得到，即可得出結(jié)論；（3）證明方法與（2）類似．
【詳解】（1）補(bǔ)圖如下圖：
（2）作交于，，，
，，
平分，，，
，，，，
在和中，，，，
，，；
（3）作交于，，，
平分，，，
，，，，
，，
在和中，，，，，
，，．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合體，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
8．（2024·吉林長春·一模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．
我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖所示，是的平分線，P是上任一點，作，，垂足分別為點D和點E．將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
已知：如圖所示，是的平分線，點P是上的任意一點，，，垂足分別為點D和點E．
求證：．
分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，便可證得．
（1）請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．
【定理應(yīng)用】（2）如圖②，已知是的平分線，點P是上的任意一點，點D、E分別在邊上，連結(jié)，．若，，則的長為______．
（3）如圖③，在平行四邊形中，，平分交于點E，連結(jié)，將繞點E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C的對應(yīng)點F落在邊上時，若，則四邊形的面積為______．
【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）
【分析】（1）因為是的平分線，所以，因為，所以，因為，可得，即證得；
（2）作，垂足分別為點M和點N，證，可得，，，因為，，可得，證，可得，因為，所以，即，，可得的長；（3）證，可得，因為，所以，證，可得，已知，平分，可得，，求得，根據(jù)四邊形的面積=四邊形的面積、的面積的面積=2個的面積，求得的面積，可得四邊形的面積．
【詳解】解：（1）證明：∵是的平分線，∴，
∵，∴，∵，∴，∴；
（2）作，垂足分別為點M和點N，
∵是的平分線，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，即，∴，故答案為：5；
（3）作，垂足分別為點M和點N，
由于繞點E旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點F落在邊上，即，
∵平分，，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，，∴，∴，∴，
∵，∴四邊形的面積，
故答案為：．
9．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是BC邊的中點，作射線DE，與邊AB交于點E，射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，與直線AC交于點F．（1）依題意將圖1補(bǔ)全；（2）小華通過觀察、實驗提出猜想：在點E運(yùn)動的過程中，始終有DE=DF．小華把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：由點D是BC邊的中點，通過構(gòu)造一邊的平行線，利用全等三角形，可證DE=DF；
想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點E關(guān)于線段AD的對稱點P，由∠BAC與∠EDF互補(bǔ)，可得∠AED與∠AFD互補(bǔ)，由等角對等邊，可證DE=DF；
想法3：由等腰三角形三線合一，可得AD是∠BAC的角平分線，由角平分線定理，構(gòu)造點D到AB，AC的高，利用全等三角形，可證DE=DF…….
請你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；
（3）在點E運(yùn)動的過程中，直接寫出BE，CF，AB之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）將圖1補(bǔ)全見解析；（2）證明見解析；
（3）數(shù)量關(guān)系：當(dāng)點F在AC邊上時，；,當(dāng)點F在AC延長線上時，．
【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）選擇一種自己比較熟練的方法進(jìn)行證明即可；
（3）本題分點F在AC邊上，點F在AC延長線上，兩種情況分析即可.
【詳解】解：（1）如圖1，
（2）想法1：證明：如圖2，過D作，交AC于G，
∵點D是BC邊的中點，∴DG=AB．∴△CDG是等邊三角形．∴∠EDB+∠EDG=120°．
∵∠FDG+∠EDG=120°，∴∠EDB =∠FDG．∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，∴△BDE≌△GDF．∴DE=DF．
想法2：證明：如圖3，連接AD，
∵點D是BC邊的中點，∴AD是△ABC的對稱軸．作點E關(guān)于線段AD的對稱點P，點P在邊AC上，
∴△ADE≌△ADP．∴DE=DP，∠AED=∠APD．∵∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°．
∵∠APD+∠DPF=180°，∴∠AFD=∠DPF．∴DP=DF．∴DE=DF．
想法3：證明：如圖4，連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵點D是BC邊的中點，∴AD平分∠BAC．∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM=DN．
∵∠A=60°，∴∠MDE+∠EDN=120°．∵∠FDN+∠EDN=120°，∴∠MDE=∠FDN．
∴Rt△MDE≌Rt△NDF．∴DE=DF．
（3）當(dāng)點F在AC邊上時，；
證明：如圖5中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
在△BDM與△CDN中，， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD= AB；
當(dāng)點F在AC延長線上時，．如圖6，
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB
【點睛】本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)得出結(jié)論，雖然本題的內(nèi)容較多但是題目難度并不大，所以要認(rèn)真讀題，第三問的問題要畫出兩種情況的圖形，利用三角形全等的出結(jié)論即可.
10．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）問題提出（1）如圖①，在中，，，平分，，則點到的距離為__________．
問題探究（2）如圖②，中，，，，點為斜邊上一點，且，的兩邊交于點，交于點，若，求四邊形的面積．
問題解決（3）市政部門根據(jù)地形在某街道設(shè)計一個三角形賞花園如圖③，為賞花園的大致輪廓，并將賞花園分成、和四邊形三部分，其中在四邊形區(qū)域內(nèi)種植平方米的月季，在和兩區(qū)域種植薰衣草，根據(jù)設(shè)計要求：，點、、分別在邊、、上，且，，為了節(jié)約種植成本，三角形賞花園的面積是否存在最小值，若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明由．

【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】（1）如圖①中，作于．證明，推出，，設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）如圖②中，作于，于，連接．，推出，，再利用面積法求出，的長即可解決問題．
（3）存在．如圖③中，作于，于．利用全等三角形的性質(zhì)證明是角平分線，求出的值，由中，是角平分線，，是定值，可知當(dāng)是的高時，的面積最小，由此即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖①中，作于．

在中，，，，
，，
平分，，，，
，，，
平分，，，設(shè)，
在中，，，解得：，，故答案為：4．
（2）如圖②中，作于，于，連接．
，四邊形是矩形，，
，，，，
，，，
在中，，，，，，
，，解得：，
；
（3）存在．如圖③中，作于，于．
，，，，
，，，，，
，，平分，，
設(shè)，則，，，，
，，，中，是角平分線，，是定值，
當(dāng)是的高時，的面積最小，此時．
的面積的最小值．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
11．（23-24九年級上·廣東惠州·期中）在中，，．將一塊三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交邊、于點D、E．
(1)如圖①，當(dāng)時，則的值是________．
(2)如圖②，當(dāng)與不垂直時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，在內(nèi)作，使得、分別交、于點、，連接．那么的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周長為定值，且周長為2
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和為斜邊的中點可知，，所以的值可求；
（2）結(jié)論成立．連接，通過證明≌．可得，所以；
（3）的周長為定值，且周長為2．在上截取，通過證明≌，得到．所以．
【詳解】（1）連 ∵P是的中點，，∴

∵，∴ ∴四邊形是矩形， ∴
又∵∴∴；故答案為：2；
（2）結(jié)論成立．連接，如圖②．
是等腰直角三角形，是的中點，，，．
，．．
又，．≌．
，．
（3）的周長為定值，且周長為2．在上截取，如圖③，
由（2）可知：，，，，．
，
又，≌，．
，，，．的周長是2．
【點睛】此題比較復(fù)雜，綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圖形的變換．綜合性很強(qiáng)，是一道不錯的題目．
12．（2023·廣東深圳·一模）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對角線相交于點O，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．證明：；
（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對角線相交于點O，且，，在矩形，繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．若，求的長；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形，在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時，請直接寫出的長．

【答案】（1）證明見解析（2）（3）
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等即可；（2）過點O作的平行線交于點E、交于點P，過點N作垂線交于點Q，構(gòu)造相似三角形，對應(yīng)邊成比例求，然后根計算即可；（3）過點O作的垂線交于點H，用勾股定理求出，證、，結(jié)合與重疊部分的面積是的面積的，設(shè)列出方程求出m，根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】（1）正方形的對角線相交于點，在正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點，邊與邊交于點，，，
，即，
在和中，；
（2）如圖，過點作的平行線交于點、交于點，過點作垂線交于點，

四邊形和四邊形都是矩形，，，，
，，，，
，，
，，，即，，；
（3）如圖，過點作的垂線交于點，
設(shè)，則，設(shè)，則，
，，，
又，，
，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，是直角三角形
∴，(有公共角且都有直角)，
，∴，∵，即，
∴，，設(shè)，則，
∵，即，∴，
與重疊部分的面積是的面積的，平行四邊形對角線平分平行四邊形的面積，
，即，
∴，即，∴，∴，
∴．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的證明、勾股定理、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、正方形）的性質(zhì)、相似三角形，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識、結(jié)合圖象分析是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運(yùn)動到點C的過程中，點M運(yùn)動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)見解析 (2)①，證明過程略；②當(dāng)點F在射線上時，，當(dāng)點F在延長線上時，(3)
【分析】（1）連接，當(dāng)時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；
②分類討論，即當(dāng)點F在射線上時；當(dāng)點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；
（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，當(dāng)時，，即，，
，，,，，即，

，，
在與中，，，，；
（2）① 證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，
當(dāng)時，，即，是的中點，，，
，，，
，是等腰直角三角形，且，
，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：當(dāng)點F在射線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，同①，可得，，，，，
同①可得，，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
當(dāng)點F在延長線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接
同（1）中原理，可證明，可得，
，，，，同①可得，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為,

綜上所述，當(dāng)點F在射線上時，；當(dāng)點F在延長線上時，；
（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，
，，，，
，，，是的中點，，
，，，
根據(jù)（2）中的結(jié)論，，
，，，
，．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【問題探究】（1）如圖，、相交于點，連接、，且，若，，，則的長為______ ；（2）如圖，，點是平分線上的一個定點，點、分別在射線、上，且，求證：四邊形的面積是定值；
【拓展運(yùn)用】（3）如圖，某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中，，米，米，米，點為入口，點在上，且，小李計劃過點修一條垂直于的筆直小路，將田地分為兩部分，四邊形區(qū)域為蜂巢區(qū)，四邊形區(qū)域為蜂源植物生長區(qū)，在點處設(shè)立售蜜點，為了方便取蜜，計劃再沿修一條筆直的小路，直接寫出小路的長（小路的寬度忽略不計，結(jié)果保留根號）
【答案】（1）8；（2）證明見解析；（3）米
【分析】（1）根據(jù)字型模型證明兩個三角形相似即可解答；（2）過點分別作、的垂線，垂足分別為、，證明，可得，再證明，可得，然后利用含度角的直角三角形和三角形面積公式即可解決問題；（3）過點作于點，過點作的垂線，交的延長線于點，可得四邊形是矩形，證明四邊形是正方形，再過點作的垂線，交的延長線于點，可得四邊形是矩形，證明，對應(yīng)邊成比例求出的長，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】（1）解：，，∽，
，，．故答案為：；
（2）證明：如圖，過點分別作、的垂線，垂足分別為、，，

平分，，，，
，，，，
，，，，
在和中，，，，，
在中，，，，，
四邊形的面積，
，，
四邊形的面積，
點是平分線上的一個定點，即為定長，四邊形的面積是定值；
（3）解：如圖，過點作于點，過點作的垂線，交的延長線于點，

則四邊形是矩形，，，，，
，，，
，，四邊形是正方形，
過點作的垂線，交的延長線于點，則四邊形是矩形，米，
米，米，米，
，，，
，即，解得米，在正方形中，，
米，即小路的長為米．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線，熟練掌握字型模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（2024·四川成都·二模）如圖，在矩形中，（n為正整數(shù)），點E是邊上一動點，P為中點，連接，將射線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與矩形的邊交于點F．
【嘗試初探】（1）在點E的運(yùn)動過程中，當(dāng)點F在邊上時，試探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
【深入探究】（2）若，在點E的運(yùn)動過程中，當(dāng)點F在邊上時，求的最小值；
【拓展運(yùn)用】（3）若，設(shè)的中點為M，求點E從點B運(yùn)動到點C的過程中，點M運(yùn)動的路程（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】（1），理由見解析；（2）的最小值為；（3）點運(yùn)動的路程為．
【分析】（1）過點作于，于，可證得，得出，再由，，得出：，，可得：，，則，，結(jié)合已知即可求得答案；（2）設(shè)，，，過點作于，可證得，得出，進(jìn)而推出，，則，即可求得答案；（3）確定以下幾個關(guān)鍵點時點的位置：當(dāng)點在點處時，當(dāng)點運(yùn)動到點處時，當(dāng)點在邊上時，即可求得答案．
【詳解】解：（1）結(jié)論：，理由：如圖1，過點作于，于，
則，四邊形是矩形，，
，四邊形是矩形，，，，
由旋轉(zhuǎn)得：，，即，
，，，為中點，，
∵，，，，
，，，，
，，，；
（2）當(dāng)時，，設(shè)，，，過點作于，如圖2，
則，，，，
，，，，
，，，
，點在邊上，，即，，
，的最小值為；
（3），，，
在中，，為中點，，
當(dāng)點在點處時，如圖3，，，，
，即，，
的中點為，；當(dāng)點運(yùn)動到點處時，如圖4，
是斜邊的中點，，，，，
，即，，的中點為，，；當(dāng)點在邊上時，如圖5，過點作于，
則，，，
點運(yùn)動的路程為．
【點睛】本題是矩形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識圖和邏輯思維能力，屬于中考壓軸題．

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