模型1、動(dòng)點(diǎn)定長模型（圓的定義）
若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．
尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．
例1． (2023·四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長為4，點(diǎn)M在斜邊AB上，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
例2． (2023·江蘇連云港市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，則面積的最小值為________．
例3． (2023·北京市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．
例4． (2023·廣東·汕頭市一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．
模型2、定邊對(duì)直角模型（直角對(duì)直徑）
固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?br>例1． (2023·湖北·武漢九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．
例2． (2023·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例3． (2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持，當(dāng)，兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為______．
模型3、定邊對(duì)定角模型（定弦定角模型）
固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相．
尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．
例1． (2023·廣東·中考真題）在中，．點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段長度的最小值為_____．
例2． (2023·浙江湖州·中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
例3． (2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．的最小值為
模型4、四點(diǎn)共圓模型（對(duì)角互補(bǔ)模型與等弦對(duì)等角）
1）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
條件：1）四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角．

2）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
條件：線段同側(cè)張角相等．
例1． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最小值為______．
例2． (2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則DE的最小值為_____．
例3． (2023江蘇九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（ ）
A．B．C．D．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．
2． (2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，的面積是（ ）
A．3B．C．D．
3． (2023·西藏中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把沿PE折疊，得到，連接CF．若AB＝10，BC＝12，則CF的最小值為_____．
4． (2023·北京·清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，則的度數(shù)為______．
5． (2023·河北·唐山九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
7． (2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
8． (2023·廣東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（ ）
A．πB．πC．πD．2π
9． (2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為（ ）
A．2B．πC．2πD．π
10． (2023·山西·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等腰Rt?ABC中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（ ）
A．B．2C．D．4
11． (2023·山東·煙臺(tái)九年級(jí)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC．過點(diǎn)A垂直于AB的直線與過點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D，連接BD，則sin∠BDC的值是__________．
12． (2023·湖北·九年級(jí)期中）如圖，中，，，若D是與點(diǎn)C在直線異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為__________________．
13． (2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、CD，那么___________________．
14． (2023·黑龍江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝_____．
15． (2023·四川成都·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥OE交CB延長線于點(diǎn)F，連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)G，則＝_____．
16． (2023·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為__________．
17． (2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，的最小值是______．
18． (2023·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作直線記的垂線，垂足為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為_______．
19． (2023·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．
20． (2023·廣東汕頭·二模）如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為______．
21． (2023·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是 ________．
22． (2023·湖北·二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．
（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；
（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；
②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．
23． (2023·四川眉山·一模）問題背景：如圖1，等腰中，，作于點(diǎn)D，則D為的中點(diǎn)，，于是；
遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接．①求證：；②請(qǐng)直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，．①證明是等邊三角形；②若，求的長．
24． (2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．
專題14 圓中的重要幾何模型-隱圓模型
隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中?？碱}，題目常以動(dòng)態(tài)問題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，大部分學(xué)生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見的有以下四種形式，動(dòng)點(diǎn)定長、定弦對(duì)直角、定弦對(duì)定角、四點(diǎn)共圓（對(duì)角互補(bǔ)或等弦對(duì)等角），上述四種動(dòng)態(tài)問題的軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分。本專題就隱圓模型的相關(guān)問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1、動(dòng)點(diǎn)定長模型（圓的定義）
若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．
尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓?。?br>例1． (2023·四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長為4，點(diǎn)M在斜邊AB上，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊AB＝4，由已知條件得到點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰長為4，∴斜邊AB＝4，
∵點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，∴點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查線段最小值問題，涉及等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)到圓的距離，解題的關(guān)鍵是能夠畫出圖形找到取最小值的狀態(tài)然后求解．
例2． (2023·江蘇連云港市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，則面積的最小值為________．
【答案】2
【分析】如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．先證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最?。?br>【詳解】解：如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．
∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．
∵直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴，
當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值，故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考常考題型．
例3． (2023·北京市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．
【答案】 ；
【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到、、在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】解：連接，
、分別是、的中垂線，，
、、在以為圓心，為半徑的圓上，
，，
，，，，
，，
又，
．故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到、、在以為圓心，為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．
例4． (2023·廣東·汕頭市一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．
【答案】##
【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長度即可．
【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，
可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．
模型2、定邊對(duì)直角模型（直角對(duì)直徑）
固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?br>例1． (2023·湖北·武漢九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．
【答案】+1
【分析】如圖，連接OD，OC，首先證明點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長線上時(shí)，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，AC，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長線上時(shí)，CD的值最大，
∵C為的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，
∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故答案為：+1．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)構(gòu)造輔助圓解決問題．
例2． (2023·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的園上，從而計(jì)算出答案．
【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓
∵四邊形為矩形∴ ∵∴∴
∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的園上 連接OB交圓O與點(diǎn)N
∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短
∵，∴∴ ∵故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．
例3． (2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持，當(dāng)，兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時(shí)點(diǎn)P的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長．
【詳解】解：為的直徑，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在△ABC的內(nèi)部，
如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為，連接交于點(diǎn)，連接
∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解答本題的關(guān)鍵．
模型3、定邊對(duì)定角模型（定弦定角模型）
固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相．
尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．
例1． (2023·廣東·中考真題）在中，．點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段長度的最小值為_____．
【答案】
【分析】由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．
【詳解】如圖： 以為半徑作圓，過圓心作，
以為圓心為半徑作圓，則點(diǎn)在圓上，

,
線段長度的最小值為: ． 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點(diǎn)到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
例2． (2023·浙江湖州·中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，過點(diǎn)M、N作以點(diǎn)O為圓心，∠MON=90°的圓，則點(diǎn)P在所作的圓上，觀察圓O所經(jīng)過的格點(diǎn)，找出到點(diǎn)M距離最大的點(diǎn)即可求出．
【詳解】作線段MN中點(diǎn)Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=MN，以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓，如圖，
因?yàn)镺Q為MN垂直平分線且OQ=MN，所以O(shè)Q=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所對(duì)的圓O的圓周角為45°，
所以點(diǎn)P在圓O上，PM為圓O的弦，
通過圖像可知，當(dāng)點(diǎn)P在位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且經(jīng)過圓心O，所以此時(shí)最大，等于圓O的直徑，
∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，
∴OM=，∴，故選 C．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑是圓上最大的弦，會(huì)靈活用已知圓心角和弦作圓是解題的關(guān)鍵．
例3． (2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．的最小值為
【答案】D
【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項(xiàng)答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項(xiàng)答案正確，證△BEG△CEB得 ，即可判斷C項(xiàng)答案正確，由，BC=1，得點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項(xiàng)錯(cuò)誤．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項(xiàng)答案正確，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項(xiàng)答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C項(xiàng)答案正確，
∵，BC=1，點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故應(yīng)選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
模型4、四點(diǎn)共圓模型（對(duì)角互補(bǔ)模型與等弦對(duì)等角）
1）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
條件：1）四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角．

2）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
條件：線段同側(cè)張角相等．
例1． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最小值為______．
【答案】
【分析】先判斷出四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根據(jù)題意知點(diǎn)E在以FG為直徑的⊙P上，連接PD交⊙P于點(diǎn)E，此時(shí)DE長度取得最小值，證明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分別取AB、AD的中點(diǎn)F、G，并連接FG，EF，EG，
∵E是AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴點(diǎn)E在以FG為直徑的⊙P上，如圖：
當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段PD上，此時(shí)DE的長度取得最小值，連接PA，
∵F、G分別是AB、AD的中點(diǎn)∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG是等邊三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=，∴DE長度的最小值為() ．故答案為：()．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到點(diǎn)E在以FG為直徑的⊙P上是解題的關(guān)鍵．
例2． (2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則DE的最小值為_____．
【答案】
【詳解】如解圖，，故四邊形PDCE對(duì)角互補(bǔ)，故P、D、C、E四點(diǎn)共圓，，故，要使得DE最小，則要使圓的半徑R最小，故直徑PC最小，當(dāng)時(shí)，PC最短為，故，故．
例3． (2023江蘇九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點(diǎn)共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān)，當(dāng)PC最大時(shí)CQ即取最大值．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ即為最大值
∴當(dāng)PC=AB=5時(shí)，CQ取得最大值為故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等確定四點(diǎn)共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，
即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
2． (2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，的面積是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意知，又長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．
【詳解】解： 取中點(diǎn)O，=
點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為圓心，長為半徑的圓弧上
由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短
點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形
在中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．
3． (2023·西藏中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把沿PE折疊，得到，連接CF．若AB＝10，BC＝12，則CF的最小值為_____．
【答案】8
【分析】點(diǎn)F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)FC的值最小，根據(jù)勾股定理求出CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE＝EF＝5即可．
【詳解】如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)CF的值最小，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB＝10，∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案為8．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
4． (2023·北京·清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，則的度數(shù)為______．
【答案】36°##36度
【分析】根據(jù)題意可得三點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，∴三點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，
∵，∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·河北·唐山九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
【答案】 130 37
【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)B，C，D在以A為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理求得∠BDC，∠DBC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BCD．
【詳解】∵AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D在以A為圓心的圓上，
∵∠BAC=26°∴∠BDC=∠BAC=13°， ∵∠CAD=74°，∴∠DBC=∠CAD=37°．
∴∠BCD=180∠DBC∠BDC=180°13°37°=130° 故答案為：130，37
【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最??；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得，通過線段和差計(jì)算即可得到答案．
【詳解】，，
，，，
取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP，

點(diǎn)P在以AB為直徑的上，連接OC交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小
在中，，，，
，
最小值為故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．
7． (2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．
【詳解】如圖，
由題意知，，在以為直徑的的上（不含點(diǎn)、可含點(diǎn)，
最短時(shí)，即為連接與的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)點(diǎn)），
在中，，，則．
，長度的最小值，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．
8． (2023·廣東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：
∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為半徑的圓交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴為⊙O的周長，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為：π，故選：A．
9． (2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為（ ）
A．2B．πC．2πD．π
【答案】D
【詳解】解：如圖，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中 ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，
∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為π．故選：D．
10． (2023·山西·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等腰Rt?ABC中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【詳解】分析：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=8，則OC=AB=4，OP=AB=4，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．
詳解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=4，∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長=?4π=2π． 故選B．

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以EF為直徑的半圓．
11． (2023·山東·煙臺(tái)九年級(jí)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC．過點(diǎn)A垂直于AB的直線與過點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D，連接BD，則sin∠BDC的值是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)圖形的特點(diǎn)證明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．
【詳解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO
∵點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC= 故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)的求解方法．
12． (2023·湖北·九年級(jí)期中）如圖，中，，，若D是與點(diǎn)C在直線異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為__________________．
【答案】##
【分析】以為底邊，在的下方作等腰三角形，則，根據(jù)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)過圓心時(shí)，最大，根據(jù)，，利用勾股定理可求出的長，即可得．
【詳解】解：如圖所示，以為底邊，在的下方作等腰三角形，
則，∵，
∴點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)過圓心時(shí)，最大，
∵，，∴，
∴的最大值為：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
13． (2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、CD，那么___________________．
【答案】13
【分析】先證明A、C、B、D四點(diǎn)共圓，得到∠DCB與∠BAD的是同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系，得到∠DCB的度數(shù)，再證∠ECB=45°，得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，E是AB中點(diǎn)，
∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E為圓心的圓上，
∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中點(diǎn)，∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理和四點(diǎn)共圓問題，綜合性較強(qiáng)．
14． (2023·黑龍江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝_____．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延長FE至點(diǎn)G，使得FG=FA，連AG，AT，得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點(diǎn)共圓，設(shè)法證明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，
，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延長FE至點(diǎn)G，使得FG=FA，連AG，AT，
∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，
∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點(diǎn)共圓，
∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中，
，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出△FAT≌△GAE是解本題的關(guān)鍵．
15． (2023·四川成都·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥OE交CB延長線于點(diǎn)F，連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)G，則＝_____．
【答案】
【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON，根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN，得到FC的長，證明△GFC∽△GOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答案．
【詳解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6在Rt△OME中，OE==3，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴，即，解得，F(xiàn)N=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
16． (2023·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】2
【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。?br>【詳解】解：如圖，連接CE．
∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，
,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧
如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作
∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=，
∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。?br>∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，
∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．
17． (2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，的最小值是______．
【答案】
【分析】先確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置，然后利用圓周角定理、線段的和差即可得．
【詳解】如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，則
由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上
由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點(diǎn)H，則此時(shí)取得最小值，連接BD
AB為半圓O的直徑
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得出BH取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵．
18． (2023·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作直線記的垂線，垂足為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為_______．
【答案】
【詳解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)的軌跡是以AC為直徑的半圓上，路徑是120度的弧長，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為π
19． (2023·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．
【答案】
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，
∵所對(duì)的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，
∴的長為π；故答案為：π．
20． (2023·廣東汕頭·二模）如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓，連接OC交圓O于點(diǎn) ，從而得到當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn) 位置時(shí)，線段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解
【詳解】解：∵，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓，如圖所示，
連接OC交圓O于點(diǎn) ，∴當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn) 位置時(shí)，線段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB= =1，
∵，∴ ，
∴ 故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓是解題的關(guān)鍵
21． (2023·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是 ________．
【答案】
【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長FE交AB于T．證明OE＝AC＝1，推出點(diǎn)E的在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．
【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，
∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大，
∵直線CF，直線EF都是⊙O的切線，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC?tan30°＝，∴CF的最大值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形30°角的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．
22． (2023·湖北·二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．
（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；
（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；
②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．
【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．
【分析】（1）由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；
②過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面積法可求PH2，即可求解．
【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，
∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，
∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，
∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB∴CE＝＝，
∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，
∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；
②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，
設(shè)AP＝2a，則BP＝a 由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，
∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，
∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，
∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，
AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，
∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴（AC?PH）2＝（AP?CF）2，∴PH2＝a2，
∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．
23． (2023·四川眉山·一模）問題背景：如圖1，等腰中，，作于點(diǎn)D，則D為的中點(diǎn)，，于是；
遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接．
①求證：；②請(qǐng)直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，．①證明是等邊三角形；②若，求的長．
【答案】遷移應(yīng)用：①詳見解析；②結(jié)論：；拓展延伸：①詳見解析；②
【分析】遷移應(yīng)用：①如圖2中，只要證明，即可根據(jù)解決問題；
②結(jié)論：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解決問題；
拓展延伸：①如圖3中，作于，連接．由，，推出、、、四點(diǎn)共圓，推出，推出，推出是等邊三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解決問題．
【詳解】遷移應(yīng)用：①證明：如圖2

∵，∴，
在和中，，∴，
②解：結(jié)論：．理由：如圖中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：①證明：如圖3中，連接，
∵四邊形是菱形，，∴是等邊三角形，∴，
∵E、C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，
∴，∴，∴是等邊三角形；
②解：作于H，∵，∴，
在中，∵，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
24． (2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，由得，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；
（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，以為圓心，為半徑作，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：（1）拋物線交x軸于點(diǎn)，，
將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）如圖，

D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：，，
交直線l：于點(diǎn)E，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
，設(shè)，，
又的面積為，的面積為，，，
，，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，
又，，，，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：（與“”不符，應(yīng)舍去），，，，；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，
以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則，，
以為圓心，為半徑作，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，則，，，
，，
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，
連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，
，經(jīng)過點(diǎn)C，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，
則，，，，，
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查代數(shù)計(jì)算問題，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圓的相關(guān)知識(shí)，屬于壓軸題類型．

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