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\l "_Tc28838" 模型1.阿氏圓模型 PAGEREF _Tc28838 \h 1
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模型1.阿氏圓模型
動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足 PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。
如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即）， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值。
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。
阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。
阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，點D是平面上一點，且，連接，則下列說法正確的是（ ）
A．長度的最大值是9B．的最小值是
C．D．面積的最大值是40
例2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．
例3.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．
例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
例5．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為 ．
例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為 ．
例7．（2024·福建·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應(yīng)，連接，則的最小值為 ．

例8．（2024·廣東·校考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．
例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．
2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則三分之二的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．
4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接、，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊的中點，點E在邊上，連接，點F為上的動點，則的最小值為 ．
6．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖所示，正方形邊長為8，為中點，為上的動點，為上的點，且，連接，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
8.（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為 ．
9．（2024·廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點 D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點F 是弧BC 上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
10．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖正方形的邊長是4，的半徑是2，點E是上一動點，連接，．則的最小值= ．
11．（2024九年級·廣東·專題練習）如圖，在中，，的半徑為2，D是上一動點，點E在上，，連接，則的最小值
12．（2024·四川·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點C與點D在的同側(cè)，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為 ．
13．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）已知：等腰中，，，是上一點，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動點，連、，如圖，則的最小值是 ．
14．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
15．（2024·江蘇·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是 .

16．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在 中，，，，D、E分別是邊、上的兩個動點，且，P是的中點，連接，，則的最小值為 ．
17．（2024·江蘇·無錫市九年級階段練習）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．
所以，所以．
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．
18．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？奸_學考試）
【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．
【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得，又因為∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因為，所以最小值為 ．
【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求最小值．
【能力提升】如圖5，∠ABC=120°， BA= BC=8，點D為平面內(nèi)一點且BD= 3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為 ．
19．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．
(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關(guān)于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關(guān)于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；
③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．
(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
20．（23-24九年級上·重慶·階段練習）如圖，在中，，交于點，為線段上一動點，連接．(1)如圖1，連接，若是的角平分線且時，求的度數(shù)．(2)如圖2，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交線段于點，連接，若點為線段的中點，求證：．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)，點對應(yīng)的點為，連接，，．旋轉(zhuǎn)過程中，當線段與線段存在交點且時，記；當取得最小值時，記為．請直接寫出的值．
專題34 最值模型之阿氏圓模型
最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
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模型1.阿氏圓模型
動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足 PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。
如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即）， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值。
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。
阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。
阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，點D是平面上一點，且，連接，則下列說法正確的是（ ）
A．長度的最大值是9B．的最小值是
C．D．面積的最大值是40
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、點和圓的位置關(guān)系等知識，牢記相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，根據(jù)點和圓的位置關(guān)系直接判斷A、C、D，根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)及勾股定理、兩點之間線段最短判斷B即可．
【詳解】解：A、，點D是平面上一點，且，
點A、C、D在同一直線上且D在延長線上時，長度的最大值是，故本選項不符合題意；

B、在上取點E，使，連接，
當B、D、E共線時最小，
此時，，故本選項符合題意；
C、點D是平面上一點，且，點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，
隨著點D 的變化而變化，故本選項不符合題意；
D、點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，
如下圖，當所在直線垂直于時，面積的最大，
在中，，，
，，，
，面積的最大值是44，故本選項不符合題意；故選：B．
例2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．
【答案】
【解析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時PM=，則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．
例3.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．
【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．
例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
【答案】
【分析】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC, 根據(jù)，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，當B,C,P三點共線時，3PA+PB的值最小為BC，利用勾股定理求出BC的長即可得答案．
【詳解】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,
∵⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值為．故答案為：
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
例5．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為 ．
【解答】解：在上取點，使，，，
，，，，
在延長線上取，，則，
又，，，，
，
當為和圓的交點時最小，即最小，且值為，
，的最小值為，故答案為：．
例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：如圖，在上取一點，使得，連接，．
，，，，，，，
，，，，，
，，
，的最小值為
例7．（2024·福建·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應(yīng)，連接，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，點在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點，使得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，從而得到，當且僅當三點共線時，取得最小值，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：∴點在以為圓心，以為半徑的圓上，
在線段上取一點，使得，則 ∵，∴

又∵∴∴∴
∴
如下圖所示，當且僅當三點共線時，取得最小值
，∴的最小值為：
例8．（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．
【答案】（1）見解析；（2）10；（3）
【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ；
（2）在AB上取一點Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．
【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ?AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最?。?br>∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．

（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC?PB=2PC?2PQ=2(PC?PQ) ，
∵PC?PQ≤QC，∴當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC?PB=2(PC?PQ)≤2．∴2PC?PB的最大值為2．
【點睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建相似三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決．
例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為
(2)存在，點M的坐標為或 或(3)
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點A及B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；②當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，
將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；
將代入，得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．
∴當時，，∴，
①當時，設(shè)直線的解析式為，將點A坐標代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，得或，∴點M的坐標為；
②當時，設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，解得或，∴點M的坐標為 或
綜上，點M的坐標為或 或；
（3）如圖，在上取點，使，連接，
∵，∴，∵，、∴，
又∵，∴，∴，即，
∴，∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，
∵，∴，∴的最小值為．

【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在上取點G，使，連接FG，DG，證明，可得出，則，當、、三點共線時，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，在上取點G，使，連接，．
沿邊翻折到，，又，，，，
又，，，，
，當、、三點共線時，最小，
在中，，，，
，即的最小值為．
2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則三分之二的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，由矩形的性質(zhì)可得，，推出，證明，得到，推出，即當、、共線時，取最小值，最小值為，最后根據(jù)勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，矩形中，，，，，，
，，又，，，，
，當、、共線時，取最小值，最小值為，
，故選:B．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，線段和最短問題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在上取點G，使，連接FG，DG，證明，可得出，則，當、、三點共線時，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，在上取點G，使，連接，．
沿邊翻折到，，又，，，，
又，，，，，
當、、三點共線時，最小，在中，，
，，，即的最小值為．故選：D．
4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接、，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，使得，連接，，．利用相似三角形的性質(zhì)證明，可得，利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，在上截取，使得，連接，，．
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵ ，在中，，，，
∴，∴，∴的最小值為．故選：C．
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊的中點，點E在邊上，連接，點F為上的動點，則的最小值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．作于點，證明，求得，當三點共線時，有最小值，最小值為的長，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵矩形中，，點P為邊的中點，
∴，，
作于點，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
當三點共線時，有最小值，最小值為的長，
此時，∴的最小值為6，故答案為：6．
6．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖所示，正方形邊長為8，為中點，為上的動點，為上的點，且，連接，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，取的中點，連接，證明，得出，從而得出，連接交于，當、、在同一直線上時，最小，即最小，最小為，再由勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：取的中點，連接，
，
∵四邊形為正方形，邊長為8，為中點，∴，，，
∵為上的動點，∴，∴，
∵為中點，∴， ∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
連接交于，當、、在同一直線上時，最小，即最小，最小為，
∵，∴最小值為，故選：D．
7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，
如圖，連接，由勾股定理得，，
如圖，在上取點使，則，連接，，
∵，，∴，∴，即，∴，∴當三點共線時，的值最小，為，
如圖，作于，∴，∴，∴，
∴，即，解得，∴，
由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案為：2．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．
8.（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】由四邊形是正方形，得，，證明，根據(jù)性質(zhì)得出，點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，然后證明，則，故的最小值也就是的最小值，當點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，最后由勾股定理即可求解．
【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，如圖中的，
∵在上運動且不與重合，∴點的軌跡就是，不與重合，
∵，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴的最小值也就是的最小值，
∵點在上，∴當點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，
∵點分別是正方形邊的中點，∴四邊形是矩形，
∵點分別是矩形邊的中點，∴四邊形是矩形，∴，，
∵，∴在中，由勾股定理得，
即：的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，兩點之間線段最短，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點 D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點F 是弧BC 上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
【答案】
【分析】連結(jié)AF，延長AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，先證△FAE∽△GAF，得出，根據(jù)兩點間距離最短得出FG+FD≥GD，即，當點G，F(xiàn),D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先證求出AH=，利用銳角三角函數(shù)求出GH=AG·cs30°=，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：連結(jié)AF，延長AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵，，∴，
∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴，∴，
∴FG+FD≥GD，即
當點G，F(xiàn),D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，
在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=，GH=AG·cs30°=，∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，
∴GD=，∴．故答案為．
【點睛】本題考查圓與相似，解直角三角形聯(lián)合應(yīng)用，最短路徑問題，勾股定理，利用輔助線構(gòu)造三角形相似是解題關(guān)鍵．
10．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖正方形的邊長是4，的半徑是2，點E是上一動點，連接，．則的最小值= ．
【答案】5
【分析】如圖，在上取一點，使得，連接．證明，推出，推出，由，由此可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，在上取一點，使得，連接．
∵四邊形是正方形，，，，
，，，
，，，，
，∴的最小值為5，故答案為：5．
【點睛】本題考查阿氏圓問題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
11．（2024九年級·廣東·專題練習）如圖，在中，，的半徑為2，D是上一動點，點E在上，，連接，則的最小值
【答案】
【分析】在AC上取點H使CH=1，連接CD、BD、HD，根據(jù)和∠DCB=∠DCE，得出△CDE∽△CBD，從而得出DB=2DE，再根據(jù)△CHD∽△CDA，得出，根據(jù)兩點之間線段最短得出的最值小為BH，再根據(jù)勾股定理即可得出答案
【詳解】解：在AC上取點H使CH=1，連接CD、BD、HD，
∵的半徑為2，∴CD=2，∵CE=1，CB=4∴，
∵∠DCB=∠DCE，∴△CDE∽△CBD，∴∴DB=2DE
∵CH=1，CA=4同理可證：△CHD∽△CDA，∴，∴
∴當點H、D、B三點共線時，DH+DB的值最小，即的值最小為BH；
連接BH，∵，，CH=1 ∴故答案為：
【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理等知識點，得出和DB=2DE是解題的關(guān)鍵
12．（2024·四川·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點C與點D在的同側(cè)，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當共線時取等號，即可求解．
【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，
∵在中，，∴，，
在上截取，過作于，于，連接、，
∴四邊形是矩形，，
∴，，∴，
在中，，
∵，是公共角，∴，
∴，則， ∴，當共線時取等號，
故的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本概念、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，解答的關(guān)鍵是截取在上截取，構(gòu)造相似三角形求得是關(guān)鍵．
13．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）已知：等腰中，，，是上一點，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動點，連、，如圖，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．設(shè)半圓與、的切點為、，取的中點，連接、，根據(jù)已知條件證明，得，當且僅當、、三點共線時，取得最小值，進而求解．
【詳解】解：設(shè)半圓與、的切點為、，
連接、、、，則，，，所以平分，
，，，，
，取的中點，連接、，
則，，，
在和中，，，，
，，，當且僅當、、三點共線時，
取得最小值, 最小值為．故答案為：．
14．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，
如圖，連接，由勾股定理得，，
如圖，在上取點使，則，連接，，
∵，，∴，∴，即，
∴，∴當三點共線時，的值最小，為，
如圖，作于，∴，∴，∴，
∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，
由勾股定理得，，故答案為：2．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．
15．（2024·江蘇·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是 .

【答案】
【分析】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉(zhuǎn)化為DE，從而求得的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值．
【詳解】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴
在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．
【點睛】本題考查求最值問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCE∽△ACD．
16．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在 中，，，，D、E分別是邊、上的兩個動點，且，P是的中點，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖，在CB 上取一點F，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，根據(jù)，利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，在上取一點F，使得，連接，，
∵，，，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴的最小值為，故答案為．
【點睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
17．（2024·江蘇·無錫市九年級階段練習）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．
所以，所以．
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長度，利用勾股定理即可求出AD長度．
（2）連接CP，在CA上取一點D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長度，利用勾股定理即可求出BD長度．
（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長度，利用勾股定理即可求出BE長度．
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當A、P、D三點共線時，最小，最小值． 故答案為：．
（2）連接CP，在CA上取一點D，使，則有，
∵，∴∽，得，
∴，故，僅當B、P、D三點共線時，
的最小值．

（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，
則，∵，∴∽，∴，
∴，∴，僅當E、P、B三點共線時，
，即的最小值為13．
【點睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出∽和∽是解題的關(guān)鍵．本題較難．
18．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？奸_學考試）
【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．
【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得，又因為∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因為，所以最小值為 ．
【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求最小值．
【能力提升】如圖5，∠ABC=120°， BA= BC=8，點D為平面內(nèi)一點且BD= 3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為 ．
【答案】[問題解決]；[嘗試應(yīng)用]，見詳解；[能力提升]
【分析】[問題解決]利用勾股定理即可求出，最小值為；
[嘗試應(yīng)用]在上取一點C使OC=4，通過證明得到，，所以，再求出AC的值，問題即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD確定點D的運動軌跡是一個圓，過點D作于G，若△ABD面積的最大，則DG最大，所以DG過圓心，進而求解本題.
【詳解】解：[問題解決]如圖，在中，，
的最小值為，故答案為：；
[嘗試應(yīng)用]如圖，在OB上取一點C，使OC=6，連續(xù)PO，PC，AC
，，，
，，，，
過點C作于D，sin，
，，
在中，，最小值為；

[能力提升]在BC上取一點E，使BE=6，延長BC到F，使BF=12，則，
，，，，
連接DE，DF，由，
點E，F(xiàn)到BD，CD的距離相等，，DE，DF是的內(nèi)，外角平分線，，
點D是平面內(nèi)任意一點，點D在以EF為直徑的圓O上，
過點O作交AB的延長線于點G，交圓O于點D，則DG是直線AB到圓上的最大距離，此時的面積最大，，EO=3，
在中，，
，，
，△ABD面積的最大值為，故答案為：
【點睛】本題考查了圓和相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角直角，角平分線的判定，最短路徑，銳角三角函數(shù)等知識，構(gòu)造輔助線是角本題的關(guān)鍵.
19．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．
(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關(guān)于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關(guān)于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；
③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．
(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)C；見解析(2)①見解析；②；③或(3)
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，則點是關(guān)于點的勾股點；根據(jù)勾股定理結(jié)合定義得到，據(jù)此畫圖即可；（2）①根據(jù)定義可得，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，即可證明；②利用勾股定理求出，則點E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運動，即可當（點O在）三點共線時，最大，據(jù)此求解即可；如圖3，由②可知點在以為圓心，為半徑的圓上運動．當點在左側(cè)時，連接．先證明，過點作，求出，，過點作，則四邊形為正方形，則，，即可得到；當點在右側(cè)時，同理求解即可．（3）如圖4，在上取點，使，則，先求出，進而證明，得到，則，故當A、E、F共線時，值最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
∴，∴點是關(guān)于點的勾股點；
∵點是關(guān)于點的勾股點，∴
∵，∴，如圖所示，即為所求；

（2）解：①∵點是關(guān)于點的勾股點，∴，
∵菱形中，，∴在中，，∴；
②∵，，∴在中，，∴，
∴點E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運動，
∴當（點O在）三點共線時，最大，最大值為；
③如圖3，由②可知點在以為圓心，為半徑的圓上運動．
當點在左側(cè)時，連接．當時，∵，∴，
過點作，∴點為中點，即，
∴，，過點作，則四邊形為正方形，
∴，∴，∴．
當點在右側(cè)時，可得點與點關(guān)于對稱，∴∴或
（3）解：如圖4，在上取點，使，則，
∵是關(guān)于點的勾股點，∴，
在中，，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴當A、E、F共線時，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點到圓上一點距離的最值問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
20．（23-24九年級上·重慶·階段練習）如圖，在中，，交于點，為線段上一動點，連接．(1)如圖1，連接，若是的角平分線且時，求的度數(shù)．(2)如圖2，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交線段于點，連接，若點為線段的中點，求證：．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)，點對應(yīng)的點為，連接，，．旋轉(zhuǎn)過程中，當線段與線段存在交點且時，記；當取得最小值時，記為．請直接寫出的值．
【答案】(1)(2)見解析(3)
【分析】（1）結(jié)合，，得到，繼而得到，結(jié)合，證明，得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）延長至，使得，連接，證明，進而證明，，得出是等腰直角三角形，，即可得證；
（3）根據(jù)已知條件設(shè)，則，，得出，則，延長至，延長交于點，得出，在上截取，過點作于點，連接，構(gòu)造，依題意當三點共線時，取得最小值進而求得，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，是的角平分線，
∴，，，
在與中，，∴，
∴，∴，∴．
（2）如圖，延長至，使得，連接
∵點為線段的中點，∴，在與中∴，
∴，，∴，∴，
∵將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，
∵，又∵，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
在與中，，∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，，∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，∴，∴；
（3）∵，，設(shè)，則，，∴，
在中，，∴，
∵當線段與線段存在交點且時， ∴，∴，
如圖，延長至，延長交于點，
由（2）可知是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，如圖，在上截取，過點作于點，連接
則，∴，
∵，，∴，∴，
∴當三點共線時，取得最小值，此時，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，求正切，構(gòu)造相似三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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