專題17  立體幾何中的最值問(wèn)題【壓軸綜述】在立體幾何中，判定和證明空間的線線、線面以及面面之間的位置關(guān)系(主要是平行與垂直的位置關(guān)系)，計(jì)算空間圖形中的幾何量(主要是角與距離)是兩類基本問(wèn)題．在涉及最值的問(wèn)題中主要有三類，一是距離（長(zhǎng)度）的最值問(wèn)題；二是面（體）積的最值問(wèn)題；三是在最值已知的條件下，確定參數(shù)（其它幾何量）的值.從解答思路看，有幾何法（利用幾何特征）和代數(shù)法(應(yīng)用函數(shù)思想、應(yīng)用基本不等式等)兩種，都需要我們正確揭示空間圖形與平面圖形的聯(lián)系，并有效地實(shí)施空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換．要善于將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題：這一步要求我們具備較強(qiáng)的空間想象能力，對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)特征要牢牢抓住，有關(guān)計(jì)算公式熟練掌握.一、涉及幾何體切接問(wèn)題最值計(jì)算求解與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑等.通過(guò)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．這樣才能進(jìn)一步將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問(wèn)題；二.涉及角的計(jì)算最值問(wèn)題1. 二面角的平面角及其求法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果．2.求異面直線所成角的步驟:一平移,將兩條異面直線平移成相交直線．二定角,根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角．四結(jié)論．3.線面角的計(jì)算：（1）利用幾何法：原則上先利用圖形“找線面角”或者遵循“一做----二證----三計(jì)算”. （2）利用向量法求線面角的方法(i分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(ii)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.下面通過(guò)例題說(shuō)明應(yīng)對(duì)這類問(wèn)題的方法與技巧.【壓軸典例】例1.(2020·全國(guó)卷Ⅲ理科·T15)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為　　　　. 【解析】方法一:易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示,其中BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn),設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,由于AM==2,故S△ABC=×2×2=2,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=××r=2,解得r=,其體積:V=πr3=π.方法二:分析知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球,如圖,由題可知圓錐的母線長(zhǎng)為BS=3,底面半徑為 BC=1,高SC==2,不妨設(shè)該內(nèi)切圓與母線BS切于D點(diǎn),令OD=OC=r,則由△SOD∽△SBC,可得=,即=,得r=,此時(shí)V=πr3=π.例2．（2021·浙江高三月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因?yàn)?/span>，而，故，例3．（2020·陜西西安一中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若，且面積的最大值為，則a的值為（    ）A．1 B．3 C． D．2【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)，如圖，連接，，，， ，，，，，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，，平面，平面，平面，所以，，所以，，所以，，由，平面，平面，可得平面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又,所以面積的最大值，則.例4．（2021·河南高三月考）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽(yáng)馬(如圖)，平面.，，點(diǎn)，分別在，上，當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】把平面展開到與平面共面的的位置(如下圖)，延長(zhǎng)到，使得，則，因?yàn)?/span>的長(zhǎng)度為定值，故只需求最小，只需，，，四點(diǎn)共線，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，，，由正弦定理得，外接圓的半徑.設(shè)外接圓的圓心為，則三棱錐外接球的球心一定在過(guò)且與平面垂直的直線上，因?yàn)?/span>到點(diǎn)，的距離相等，所以，此即為三棱錐外接球的半徑，所以該球的表面積為.例5．（2021·山東高三）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，頂點(diǎn)在底面的射影為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．棱上存在點(diǎn)使得面B．當(dāng)落在上時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)落在上時(shí)，四棱錐的體積最大值是2D．存在的值使得點(diǎn)到面的距離為【答案】A【詳解】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，取SC中點(diǎn)P，連結(jié)PE、PD.∵PE為△BCS的中位線，∴ PE∥BS又面BFS，面BFS，∴PE∥面BFS；在矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴DE∥BF,又面BFS，面BFS，∴DE面BFS；又,∴面PDE∥面BFS，∴面.故A正確；對(duì)于B：∵為等邊三角形，，∴，當(dāng)時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，與已知條件相悖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在Rt△SHE中，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為1.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:由選項(xiàng)C的推導(dǎo)可知：當(dāng)的最大時(shí)，點(diǎn)B到面的距離d最大.，此時(shí)∴，∴.故D錯(cuò)誤.例6．（2020·浙江高三其他模擬）空間中13個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的集合，滿足當(dāng)時(shí)，都是正四面體.對(duì)于任意平面，的最大值是（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【詳解】為使得對(duì)于任意平面，取得最大值，故要使得使之在同一平面中三棱錐頂點(diǎn)最多，如下所示：如圖所示：三棱錐，均為正四面體,顯然，最多有11個(gè)點(diǎn)在同一平面中.同時(shí)，若同一平面中存在12個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)，則只有1個(gè)點(diǎn)在平面外，無(wú)法構(gòu)造幾何體.故的最大值為：.例7．（2021·湖北高三月考）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．無(wú)論點(diǎn)在線段上如何移動(dòng)，都有 B．四面體的體積為24C．直線與所成角的余弦值為D．直線與平面所成最大角的余弦值為【答案】ABD【詳解】在正方體中，易證面又平面所以則A正確；則B正確；在棱上取點(diǎn)使，連結(jié)如圖則易知為直線與所成角或其補(bǔ)角，可得則則直線與所成角的余弦值為則C錯(cuò)誤；由題意知三棱錐為棱長(zhǎng)為的正四面體，作平面為垂足，則為正的中心，且為直線與平面所成角，所以當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)最短，如圖，此時(shí)最小，最大，此時(shí)則D正確.例8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)（不包括邊界），使四面體體積為，則的最小值是___________．【答案】【解析】由已知得四面體體積 所以設(shè)到的距離為，則解得所以在底面內(nèi)（不包括邊界）與平行且距離為的線段 上，要使的最小，則此時(shí)是過(guò)作的垂線的垂足.點(diǎn)到的距離為所以此時(shí)例9.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.【解析】(1)因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD?平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因?yàn)?/span>AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD與平面PBC的交線為l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則=(a,0,1),設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的一個(gè)法向量,則即可取n=(-1,0,a).所以cos?n,?==.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sin θ=×=.因?yàn)?/span>≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為.例10.（2020·深圳市高級(jí)中學(xué)高三）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P－ABC體積的最大值；(3)若，點(diǎn)E在線段PB上，求CE＋OE的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】 (1)證明：在△AOC中，因?yàn)镺A＝OC，D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC.因?yàn)镈O∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.(2)解：因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，所以當(dāng)CO⊥AB時(shí)，C到AB的距離最大，且最大值為1.又AB＝2，所以△ABC面積的最大值為.又因?yàn)槿忮FP－ABC的高PO＝1，故三棱錐P－ABC體積的最大值為. (3)解：在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以.同理，所以PB＝PC＝BC.在三棱錐P－ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖所示．當(dāng)O，E，C′共線時(shí)，CE＋OE取得最小值．又因?yàn)镺P＝OB，，所以垂直平分PB，即E為PB的中點(diǎn)．從而，即CE＋OE的最小值為.【壓軸訓(xùn)練】1.（2020河北邢臺(tái)高三）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，，，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心，中，有，，。2. （2020山東濟(jì)南高三）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為.3．（2020山西高三）兩球和在棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過(guò)點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，球與過(guò)點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，則球和的表面積之和的最小值為(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)球與球的半徑分別為r1,r2,∴r1+r2+ (r1+r2)=. r1+r2==，r1+r2?2,球與球的面積之和為：S=4π(+)=4π(r1+r2)2?8π??2π =(6?3)π,當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)取等號(hào)，其面積最小值為(6?3)π.故選A.4.（浙江省余姚中學(xué)高三）如圖，已知平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（  ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】，，，，，同理，為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，，為二面角的平面角，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，取得最小值，此時(shí)，5．（2020四川石室中學(xué)高三）在中，已知，，，D是邊AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐．若該三棱錐的頂點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，設(shè)，則x的取值范圍為（    ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由將沿BD折起，得到三棱錐，且在底面的射影在線段上，如圖2所示，平面，則，在折疊前圖1中，作，垂足為，在圖1中過(guò)作于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，折痕接近，此時(shí)與點(diǎn)無(wú)限接近，在圖2中，由于是直角的斜邊，為直角邊，所以，由此可得,因?yàn)?/span>中，，由余弦定理可得,所以，所以由于，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，6．（2020四川高三）已知球O表面上的四點(diǎn)A，B，C，P滿足，．若四面體PABC體積的最大值為，則球O的表面積為（  ）A． B． C． D．8π【答案】A【解析】當(dāng)平面ABP與平面ABC垂直時(shí)，四面體ABCP的體積最大．由，，得．設(shè)點(diǎn)Р到平面ABC的距離為h，則，解得．設(shè)四面體ABCP外接球的半徑為R，則，解得．所以球O的表面積為．7．（2019·湖南雅禮中學(xué)高三）圓錐的母線長(zhǎng)為，其側(cè)面展開圖的中心角為弧度，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面中，面積的最大值為，則的取值范圍是（     ）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)軸截面的中心角為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面的頂角為，且，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面的面積為：，又過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面中，面積的最大值為，故此時(shí)，故，圓錐底面半徑r，∴側(cè)面展開圖的中心角為弧度8．（2020·安徽高考模擬）如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】將正四面體補(bǔ)成正方體，如下圖所示：    截面為平行四邊形，可得，又，，且， ，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）9．（2019·湖北高三月考）若一個(gè)四棱錐底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球表面積最小時(shí)，它的高為(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則四棱錐的高為，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，則其外接圓的半徑.設(shè)球的半徑為，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，四棱錐的高為.故選A.10． （2020廣東高考模擬）平面四邊形中，，，且，現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折成，則在折起至轉(zhuǎn)到平面的過(guò)程中，直線與平面所成最大角的正切值為（  ）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】取BD的中點(diǎn)O,則即平面,從而平面平面,因此在平面的射影在直線上，即為直線與平面所成角，因?yàn)?/span>，，且，所以,即最大值為，因此直線與平面所成最大角的正切值為，11．（2021·山東菏澤市·高三期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為______；若是的中點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是______.【答案】        【詳解】在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，，則是題中阿氏圓上的點(diǎn)，由題意是阿氏圓的直徑，，則，，所以，∴阿氏圓半徑為；正方體中，都與側(cè)面垂直，從而與側(cè)面內(nèi)的直線垂直，如圖，則，∴，即在上述阿氏圓上，∵的面積是2為定值，因此只要到平面距離最大，則三棱錐體積的最大，由于點(diǎn)在阿氏圓上，當(dāng)是阿氏圓與交點(diǎn)時(shí)，到平面距離最大，此時(shí)，因此，，三棱錐體積的最大值為．12. a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】②③【解析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故|AC|＝1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cosθ，sinθ，0），其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），∴AB′在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，（cosθ，sinθ，﹣1），||，設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，則cosα|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為β∈[0，]，cosβ|cosθ|，當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即α，|sinθ|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，∵β∈[0，]，∴β，此時(shí)與的夾角為60°，∴②正確，①錯(cuò)誤．13.如圖，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是    .【答案】【解析】中，因?yàn)?/span>，所以.由余弦定理可得 ，所以.設(shè)，則，.在中，由余弦定理可得 .故.在中，，.由余弦定理可得，所以.由此可得，將ABD沿BD翻折后可與PBD重合，無(wú)論點(diǎn)D在任何位置，只要點(diǎn)D的位置確定，當(dāng)平面PBD⊥平面BDC時(shí)，四面體PBCD的體積最大（欲求最大值可不考慮不垂直的情況）.過(guò)作直線的垂線，垂足為.設(shè)，則，即，解得.而 的面積.當(dāng)平面PBD⊥平面BDC時(shí)：四面體的體積 .觀察上式，易得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，四面體的體積最大，為14.（2020安徽蕪湖一中高三）在中，，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）為直角三角形，且斜邊為，.將以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，則，即.二面角是直二面角，即平面平面.又平面平面，平面，平面.平面，因此，平面平面；（2）在中，，斜邊，且.由（1）知，平面，所以，直線與平面所成的角為.在中，，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且.因此，，即直線與平面所成角的正弦的最大值為.15.（2020江蘇高三）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？【答案】（1）312（2）【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵?/span> 中，所以，即于是倉(cāng)庫(kù)的容積，從而.令，得或（舍）.當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.

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