2023年江蘇省鹽城市初級中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)模擬試題（原卷版+解析版）

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫在答題紙相應(yīng)位置上）
1. 2023的相反數(shù)等于（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案．
【詳解】解：2023的相反數(shù)等于．
故選：B．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A．和不是同類項(xiàng)，不能相加合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)正確；
D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)、同底數(shù)冪乘法和除法，冪的乘方的運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
3. 2023年2月10日，神舟十五號(hào)航天員乘組圓滿完成了他們首次出艙任務(wù)，飛船的時(shí)速每小時(shí)千米，千米用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】B
【解析】
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
4. 一位賣“運(yùn)動(dòng)鞋”經(jīng)銷商到一所學(xué)校對名學(xué)生的鞋號(hào)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，經(jīng)銷商最感興趣的是這組鞋號(hào)的（ ）
A. 眾數(shù)B. 平均數(shù)C. 中位數(shù)D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，故應(yīng)注意眾數(shù)的大小．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：經(jīng)銷商最感興趣的是這組鞋號(hào)中哪個(gè)尺碼最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義，掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的意義是解答本題的關(guān)鍵．
5. 小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．
【詳解】解：如圖，延長交于，
，，
，
又，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線.
6. 下列關(guān)于反比例函數(shù)的描述中，正確的是（ ）
A. 圖像在第二、四象限；B. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?br>C. 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上；D. 當(dāng)時(shí)，.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】解：A、，，則圖像在第一、三象限，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，，則圖像在第一、三象限，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，選項(xiàng)說法正確，符合題意
C、，點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖像上，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，圖像在第一、三象限，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
7. 如圖，一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的最大深度，則截面圓中弦的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，垂徑定理可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意，，
在中，
∵
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
8. 甲、乙、丙、丁四個(gè)人所行的路程和所用時(shí)間如圖所示，按平均速度計(jì)算，走得最快的是（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖像，分別求出甲、乙、丙、丁四個(gè)人的平均速度即可解答．
【詳解】解：甲的平均速度為：千米/分鐘
乙的平均速度為：千米/分鐘
甲的平均速度為：千米/分鐘
甲的平均速度為：千米/分鐘
所以走的最快的是甲．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了從圖像中獲取信息和行程問題，正確的從圖像中獲取所需信息是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題紙相應(yīng)位置上）
9. 若二次根式有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．
【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案為：x≥1．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)大于等于0．
10. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：原式
．
故答案為：．
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
12. 當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，某興趣小組從某個(gè)二維碼中截取部分開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．如圖，在邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)黑色部分的頻率穩(wěn)定在左右，據(jù)此可以估計(jì)這個(gè)區(qū)域內(nèi)白色部分的總面積約為______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在左右可估計(jì)點(diǎn)落入白色部分的概率為，再乘以正方形的面積即可得出答案．
【詳解】解：∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在左右，
∴估計(jì)點(diǎn)落入白色部分的概率為，
∴估計(jì)白色部分的總面積約為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
13. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是________．

【答案】
【解析】
【分析】由幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，可以判斷這個(gè)幾何體是圓錐，結(jié)合圖形可得出圓錐的高及底面半徑，繼而可求出圓錐側(cè)面展開圖的半徑，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意知高，底面半徑，
由勾股定理求得母線長為：，
∴該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的知識(shí)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)三視圖判斷出圓錐的高和底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
14. 某商店購進(jìn)A、B兩種商品共50件．已知這兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)與銷售單價(jià)如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設(shè)商店購進(jìn)A種商品x件，購進(jìn)B種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意即可直接列出方程組．
【詳解】設(shè)商店購進(jìn)A種商品x件，購進(jìn)B種商品y件，
則根據(jù)題意可列方程組 ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)恰好在線段的延長線上，且，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是________．

【答案】##度
【解析】
【分析】旋轉(zhuǎn)得全等，根據(jù)等邊對等角，得出等腰三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是推出等腰三角形．
16. 如圖，矩形紙片，寬，長可無限長，把矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)動(dòng)，頂點(diǎn)和原點(diǎn)重合，邊在第一象限內(nèi)，邊與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，則面積的最大值是________．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，則，證明，得出，根據(jù)勾股定理與三角形的面積的關(guān)系，得出，進(jìn)而即可求解．
詳解】設(shè)，則，
∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴
解得：，
∵，，
∴，
即
∴
即面積的最大值是
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，共102分，請將解答過程寫在答題紙相應(yīng)的位置上）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．根據(jù)化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】
．
18. 解不等式組：，并求出它的所有整數(shù)解的和．
【答案】，0
【解析】
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而求出整數(shù)解的和即可．
【詳解】解：不等式組，
由①得，
由②得：，
不等式組的解集為，即整數(shù)解為，0，1，
則整數(shù)解的和為．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
19. 先化簡，再求值：，其中x滿足x2－2x－2=0.
【答案】；
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整體代入計(jì)算可得．
【詳解】解：原式=
=
=，
∵x2-2x-2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
∴原式=
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
20. “雙減”政策頒布后，某區(qū)為了解學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的情況，從申，乙兩所學(xué)校各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取他們每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
a．甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）；
b．甲校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的數(shù)據(jù)在這一組的是：
45 46 50 51 51 52 52 53 55 56 59 59
c．甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）______；
（2）乙校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的數(shù)據(jù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示這組數(shù)據(jù)的扇形圓心角的度數(shù)是______；
（3）小明每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長為53分鐘，在與他同校被調(diào)查的學(xué)生中，有一半以上的學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長都超過了小明，那么小明是______校學(xué)生（填“甲”或“乙”）；
（4）如果甲，乙兩所學(xué)校各有2000人，估計(jì)這兩所學(xué)校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長低于60分鐘的學(xué)生共有多少人．
【答案】（1）51 （2）
（3）乙 （4）2720人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；
（2）先求出乙校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的在所占的比例，再利用其所占比例乘以，即可求解；
（3）求出甲校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長超過53分鐘的人數(shù)，結(jié)合乙校的中位數(shù)，即可求解；
（4）先分別求出甲、乙兩校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長低于60分鐘的學(xué)生所占比例，進(jìn)而即可求解．
【小問1詳解】
解：由圖可得，把甲校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的數(shù)據(jù)從小到大排列，處于中間的兩個(gè)數(shù)為：51，、51，
∴中位數(shù)，
故答案為：51；
【小問2詳解】
解：由題意可得，乙校學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長的在所占的比例為：，
∴，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：由圖可知，
甲校中每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長超過53分鐘的人數(shù)有：（人），
∵ 在與他同樣被調(diào)查的學(xué)生中，有一半以上的學(xué)生每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長都超過了小明，乙校的中位數(shù)為54，
∴小明是乙校學(xué)生，
故答案為：乙；
【小問4詳解】
解：由圖可知，甲校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長低于60分鐘的學(xué)生所占比例為：，
乙校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長低于60分鐘的學(xué)生所占比例為：
，
∴（人），
答：這兩所學(xué)校每天完成書面作業(yè)所需時(shí)長低于60分鐘的學(xué)生共有2720人．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21. 有一個(gè)不透明的信封內(nèi)裝有三根長度分別為，和的細(xì)木棒（除長度外其余都相同），木棒露出紙袋外的部分長度相等，
（1）現(xiàn)從信封內(nèi)隨機(jī)取出一根細(xì)木棒，直接寫出抽取到細(xì)木棒的概率________；
（2）小亮手中有一根長度為的細(xì)木棒，現(xiàn)從信封內(nèi)隨機(jī)取出兩根細(xì)木棒與小亮手中的細(xì)木棒首尾相接放在一起，求抽出的細(xì)木棒能與小亮手中的細(xì)木棒構(gòu)成直角三角形的概率（用畫樹狀圖或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表法求概率即可求解．
【小問1詳解】
解：共有3根細(xì)木棒，現(xiàn)從信封內(nèi)隨機(jī)取出一根細(xì)木棒，直接寫出抽取到細(xì)木棒的概率為：，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：列表如下，
共有6種等可能結(jié)果，
∵，
∴其中抽出的細(xì)木棒能與小亮手中的細(xì)木棒構(gòu)成直角三角形的有2種，，
∴抽出的細(xì)木棒能與小亮手中的細(xì)木棒構(gòu)成直角三角形的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查是根據(jù)概率公式求概率，用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 圭表（如圖1）是我國古代度量日影長度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午的陽光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最長）定為冬至；白晝最長的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即的長）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，請通過計(jì)算推測損壞的“表”原來的高度（即的長）約為多少米？(參考數(shù)據(jù) ；；；；)
【答案】損壞的“表”原來的高度約為9米
【解析】
【分析】設(shè)米，則米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：設(shè)米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，
∴（米），
∴損壞的“表”原來的高度約為9米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，垂線段最短，平行投影，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，四邊形是平行四邊形，為上一點(diǎn)．

（1）如圖①，只用無刻度直尺在上作出點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形；
（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作出矩形，使得點(diǎn)、、分別在、、上．（保留作圖痕跡）
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求作．
（2）連接，交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，以為圓心為半徑作弧交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，四邊形即為所求．
【小問1詳解】
解：如圖，點(diǎn)，四邊形即為所求作．
【小問2詳解】
如圖，四邊形即為所求作．

理由：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
同理：，可得，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
24. 用承重指數(shù)衡量水平放置的長方體木板的最大承重量．實(shí)驗(yàn)室有一些同材質(zhì)同長同寬而厚度不一的木板，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：木板承重指數(shù)與木板厚度（厘米）的平方成正比，當(dāng)時(shí)，．
（1）求與的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖，選一塊厚度為6厘米的木板，把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同的兩塊板（不計(jì)分割損耗）．設(shè)薄板的厚度為（厘米），．
①求與的函數(shù)關(guān)系式；
②為何值時(shí)，是的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必寫的取值范圍】
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）設(shè)W=kx2，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①根據(jù)題意列出函數(shù)，化簡即可；②根據(jù)題意列出方程故可求解．
【詳解】（1）設(shè)W=kx2,
∵時(shí)，
∴3=9k
∴k=
∴與的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）①∵薄板的厚度為xcm，木板的厚度為6cm
∴厚板的厚度為（6-x）cm，
∴Q=
∴與的函數(shù)關(guān)系式為；
②∵是的3倍
∴-4x+12=3×
解得x1=2,x2=-6(不符題意，舍去)
經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解，
∴x=2時(shí)，是的3倍．
【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出函數(shù)或方程求解．
25. 如圖所示，在中，，，在上取點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，并分別與，相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）．
（1）求證：平分；
（2）若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求扇形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，以此可得，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行得，進(jìn)而得到，由可得，因此，以此即可證明；
（2）連接、、，易得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的，因此為等邊三角形，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，于是可證明為等邊三角形，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
連接，如圖，

與相切于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
【小問2詳解】
連接、、，如圖，

，是的中點(diǎn)，
，
在中，，
，
為等邊三角形，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、扇形的面積公式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．
26. 如圖1，在菱形中，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接和，在射線上取點(diǎn)，使得，射線交射線于點(diǎn)，設(shè)．

（1）如圖2，若，連接交于點(diǎn)，求證：；
（2）【探究】如圖3，若，，請?jiān)趫D形3中畫出圖形，并求的值；
【歸納】若，的值為________．（用含、的表達(dá)式表示）
【答案】（1）見解析 （2）畫圖見解析，；[歸納]
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得出四邊形是正方形，進(jìn)而得出，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，即可得，進(jìn)而證明；
（2）①如圖所示延長至使得，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，將已知條件代入得出，進(jìn)而即可求解．
[歸納]根據(jù)（2）的方法即可求解．
【小問1詳解】
證明：如圖所示，

∵，則，
又∵四邊形是菱形，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵在上，則，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
①如圖所示延長至使得，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵四邊形是菱形，
∴
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，則，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵是上的點(diǎn)，垂直平分，
∴，
又
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，設(shè)，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
[歸納]同（2）可得，
設(shè)，則，
∵
∴
∵，
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，平行線分線段成比例，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
27. 拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上．

（1）求出拋物線表達(dá)式；
（2）如圖1，若點(diǎn)在直線的上方，過點(diǎn)作，垂足為，
①當(dāng)點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的長，
②求的最大值；
（3）如圖2，，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)________．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）①如圖所示，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，得出直線的解析式為，求得，，當(dāng)為頂點(diǎn)時(shí)，則，，又，根據(jù)即可求解；
②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，分別求得，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）在軸上取一點(diǎn)，則，以為直徑，的中點(diǎn)為圓心，作，則，根據(jù)，得出點(diǎn)在上，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：將點(diǎn)，點(diǎn)代入，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：①如圖所示，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，

∵拋物線解析式為，則頂點(diǎn),
當(dāng)，即，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，，
當(dāng)為頂點(diǎn)時(shí)，則，，
∴，
∵，,
∴,
∴；
②如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)，則，
∴，，
，
∴的橫坐標(biāo)為,
∴,
∴,
∴
∴
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
【小問3詳解】
解：由，當(dāng)時(shí)，，則
∵，
∴，
如圖所示，

在軸上取一點(diǎn)，則，
以為直徑，的中點(diǎn)為圓心，作，則，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)在上，
∵，
設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
在中，，，
∴，
即，
整理得，
∴，
∵
∴或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．商品
類別
進(jìn)貨單價(jià)
（元/件）
銷售單價(jià)
（元/件）
A
30
40
B
40
55
平均數(shù)
中位數(shù)
甲校
49
乙校
50
54