專題05二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)的問題（知識解讀） 【專題說明】二次函數(shù)與相似三角形是中考數(shù)學的壓軸題，具有一定的難度，也是中考考頻比較高的，本節(jié)未同學們提供解題途徑，希望能夠助同學們輕松解題。 【解題思路】關(guān)函數(shù)與相似三角形的問題一般 三個解決途徑： (1)求相似三角形的第三個頂點時， 先要分析已知三角形的邊和角的特 點，進而得出已知三角形是否為特 殊三角形．根據(jù)未知三角形中已知 邊與已知三角形的可能對應邊分類 討論； (2)利用已知三角形中對應角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 數(shù)來推導邊的大小； (3)若兩個三角形的各邊均未給出， 則應先設(shè)所求點的坐標進而用函數(shù) 解析式來表示各邊的長度，之后利 用相似來列方程求解．【典例分析】【典例1】（2019?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標． 【變式1-1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點，直線AB與x軸相交于點C，P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，PD⊥x軸交AB于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若以A，P，D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標．【變式1-2】（2022?綿陽）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點，交y軸于點C（0，3），頂點D的橫坐標為1．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸的負半軸上是否存在點P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F，E三點為頂點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．【典例2】（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點P作x軸的垂線與線段BC交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與△BMH相似，求點P的坐標． 【變式2-1】（2022?遼寧）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點A（3，0），點C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A，交拋物線于點E．拋物線的對稱軸交AE于點B，交x軸于點D，交直線AC于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，連接CD，點Q為平面內(nèi)直線AE下方的點，以點Q，A，E為頂點的三角形與△CDF相似時（AE與CD不是對應邊），請直接寫出符合條件的點Q的坐標．    【變式2-2】（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）過點P作PM⊥y軸于點M，當△CPM和△QBN相似時，求點Q的坐標．【變式2-3】（2021?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q在射線ED上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與△BOC相似，請直接寫出點P的坐標．  
 

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