一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。

專題03 平行線四大模型（能力提升）
1．將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小為（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
【答案】D
【解答】解：由題意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．
∵∠CDE＝40°，
∴∠CED＝50°．
∵DE∥AF，
∴∠FAE＝∠CED＝50°．
∴∠BAF＝∠CAB﹣FAE
＝60°﹣50°
＝10°．
故選：D．
2．如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點A、B、C在同一直線上，∠1＝80°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：如圖，過點A作AD∥l1，
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∴∠FNA+∠NAD＝180°，
∵AD∥l1，
∴∠EMA+∠MAD＝180°，
∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，
∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，
∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，
即∠2＝130°，
故選：C．
3．如圖，AB與HN交于點E，點G在直線CD上，GF交AB于點M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【答案】D
版權(quán)【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正確；
過點F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②錯誤；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③錯誤；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正確．
綜上所述，正確答案為①④．
故選：D．
4．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、γ的關(guān)系為（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°
【答案】B
【解答】解：延長DC交AB于G，延長CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故選：B．
5．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、y的關(guān)系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
【答案】C
【解答】解：如圖，過點C、D分別作AB的平行線CG、DH，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，
∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，
∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，
∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，
∴α+β﹣γ＝90°．
故選：C．
6．如圖，AB∥CD，EMNF是直線AB、CD間的一條折線．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，則∠4的度數(shù)為（ ）
A．55°B．50°C．40°D．30°
【答案】B
【解答】解：如圖2，過M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，
∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，
∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，
∴∠4＝50°．
故選：B．
7．為了落實“雙減”政策，促進學(xué)生健康成長，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生的認知成長規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實可行的體育鍛煉內(nèi)容．晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一個瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，則∠E的度數(shù)是 30° ．
【答案】30°
【解答】解：延長DC交AE于點F，
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性質(zhì)得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案為：30°．
8．如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如圖丙，三角尺的直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【解答】解：（1）延長BC交MN于點D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一個外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案為：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度數(shù)為60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值為2．
9．如圖，AB∥CD，點E為兩直線之間的一點．
（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝ ；
（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．
【解答】解：
（1）55°
如圖所示，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案為55°．
（2）如圖所示，過點E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
10．已知AM∥CN，點B在直線AM、CN之間，AB⊥BC于點B．
（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系： ．
（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點G，則∠AGH的度數(shù)為 45° ．
【解答】解：（1））過點B作BE∥AM，如圖，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案為：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C滿足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
過點B作BE∥AM，如圖，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）設(shè)CH與AB交于點F，如圖，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案為：45°．
11．已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如圖1，求證：AB∥CD；
（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若射線GH恰好是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點N，連接GN，若∠N＝∠AGM，則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是 （直接寫答案）．
【解答】（1）證明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）證明：過點M作MK∥CD，
則∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射線GF是∠BGM的平分線，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°?∠AGM）＝90°?α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
12．問題情境
我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．
問題初探
（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N，求∠EMC的度數(shù)．
分析：過點C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．
由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為 ，∠EMC的度數(shù)為 ．
類比再探
（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【解答】解：（1）由題可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案為：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
證明：如圖，
過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
證明：如圖，
過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
13．已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點E、F，點G為落在直線AB和直線CD之間的一個動點．
（1）如圖1，點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，則∠EGF＝ ；
（2）若點G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號為 ．
（3）進一步探索，若EF⊥CD，且點G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案為：90°．
（2）若點G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①錯誤，②正確，
當(dāng)∠EGF為直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，
不妨假設(shè)∠BEF+∠DFE＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝90°，
∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正確．
故答案為：②③．
（3）不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2），
∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．
①當(dāng)點G在EF的左側(cè)，此時α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左側(cè)，如圖2所示，過點Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，
②當(dāng)點G在右側(cè)，此時α＞90°，β＞90°．
若α＜90°，則Pn在EF的左側(cè)，如圖3中，
同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．
若α＝90°，則Pn與F重合，不存在∠EPnF，舍棄．
若α＞90°，則Pn在EF的右側(cè)，如圖4中，
過點Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，
∵α＞90°，β＞0，
∴（180°﹣α）﹣β＜90°，
即∠EPnF＜90°，
綜上所述，不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°．

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