一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題03 阿氏圓（知識(shí)解讀）
【專題說明】
“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。
(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；
(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題；
本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。
【方法技巧】
阿氏圓問題
問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值
方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值
②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似
③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置
④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題
關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)
②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型
③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型
【典例分析】
【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．
阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．
【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．
下面是該題的解答過程（部分）：
解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任務(wù)：
（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．
【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點(diǎn)P是⊙B上一點(diǎn)，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為 ．
【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為 ．
【變式2-1】如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD＝5，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
【變式2-2】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，連接CD，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，連接BF．
（1）如圖①，當(dāng)θ＝60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，連接AF，求BF+AF的最小值．

專題03 阿氏圓（知識(shí)解讀）
【專題說明】
“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。
(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；
(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題；
本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。
【方法技巧】
阿氏圓問題
問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值
方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值
②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似
③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置
④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題
關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)
②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型
③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型
【典例分析】
【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．
阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．
【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．
下面是該題的解答過程（部分）：
解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任務(wù)：
（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．
【解答】解（1）在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．
∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，當(dāng)PC+kPD取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C，P，M三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，
利用勾股定理得．
（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一點(diǎn)M，使得CM＝CD＝，
∴的最小值為．
【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點(diǎn)P是⊙B上一點(diǎn)，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：連接BP，在BC上截取BQ＝1，連接PQ，AQ，
∴，，
∴，
∵∠PBQ＝∠CBP，
∴△BPQ∽△BCP，
∴，
∴PQ＝CP，
∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，
當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)依次在同一直線上時(shí)，AP+CP＝AQ＝的值最小，
故答案為：．
【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為 ．
【答案】2．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE＝OA，連接ED，EP，OP，
∵AO＝OB＝4，C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，
∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，
∴△OPE∽△OCP，
∴＝＝，
∴EP＝2DC，
∴2PC+PD＝PE+PD，
∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+PD的值最小，
∴2PC+PD最小值＝＝2．
【變式2-1】如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD＝5，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE＝OB，連接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分別是OA的中點(diǎn)，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴＝＝，
∴EP＝2PC，
∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），
∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD的值最小，
∵DE＝＝＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值為13，
∴PC+PD的值最小值為．
故答案為：．
【變式2-2】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，連接CD，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，連接BF．
（1）如圖①，當(dāng)θ＝60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，連接AF，求BF+AF的最小值．
【解答】解：（1）∵將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，如圖，
∴∠BAD＝θ，AB＝AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵θ＝60°，
∴∠DAC＝120°
∴∠ADC＝∠ACD＝30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD，∠CAE＝90°，
∴DE＝AE＝，
∵AB＝AC＝6，
∴DE＝AE＝AC?tan30°＝2，
∴CE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∵DF＝2CF，
∴CF＝CD＝2，
∴EF＝CE﹣CF＝2；
（2）如圖，過F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中點(diǎn)M，連接FM，則AM＝CM＝3，
∴△CFH∽△CDA，
∴，
∵DF＝2FC，
∴，
∴CH＝FH＝2，
∴MH＝3﹣2＝1，
∵，，
∴，
∵∠FHM＝∠AHF，
∴△FHM∽△AHF，
∴，
∴FM＝AF，
∴當(dāng)B、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FM＝BF+AF的長(zhǎng)最小，如圖，此時(shí)BM⊥AC，
∴BM＝，
∴BF+AF的最小值為3．

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