一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題02 中點(diǎn)四大模型在三角形中應(yīng)用（知識解讀）
【專題說明】
線段中點(diǎn)是幾何部分一個非常重要的概念，和后面學(xué)習(xí)的中線，中位線等概念有著密切的聯(lián)系.在幾何證明題中也屢次出現(xiàn).那么，如果在題中遇到中點(diǎn)你會想到什么？等腰三角形三線合一；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；還是中位線定理？今天我們重點(diǎn)探究“倍長中線”法以及平行線間夾中點(diǎn)時延長中線交平行等的應(yīng)用。
【方法技巧】
模型1 ：倍長中線法
如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.

當(dāng)題中出現(xiàn)中線時，我們經(jīng)常根據(jù)需要將AD延長，使延長部分和中線相等，這種方法叫做“倍長中線”.如下圖：此時，易證△ACD≌EDB，進(jìn)而得到AC=BE且AC//BE.

模型2：平行線夾中點(diǎn)
如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).可延長DE交AB于點(diǎn)F.

模型3：中位線
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn).可作另一邊AC的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線.如下圖所示：由中位線的性質(zhì)可得，DE//BC且DE=1/2BC.


模型4：連接直角頂點(diǎn)，構(gòu)造斜中定理

【典例分析】
【模型1 倍長中線法】
【典例1】【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【變式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.
【變式1-2】如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，連接BE．
（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
【變式1-3】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證明AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明．
（1）延長DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F；
（3）過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于F．
【模型2 平行線夾中點(diǎn)】
【典例2】如圖，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，AB⊥AD，垂足為點(diǎn)A，AD＝5，BC＝10，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．
【變式2-1】如圖，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則BE＝ ．
【變式2-2】如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點(diǎn)，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．
【變式2-3】如圖：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中點(diǎn)，
①請你用直尺（無刻度）作出一條線段與BE相等；并證明之；
②求BE的長．
【模型3 中位線】
【典例3】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中點(diǎn)，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，則DE的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【變式3-1】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為 ．
【變式3-2】如圖，等邊△ABC的邊長是4，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使，連接CD和EF．
（1）求證：CD＝EF；
（2）四邊形DEFC的面積為 ．
【變式3-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長線上，CE＝DE＝2BC．CD的中點(diǎn)為F，DE的中點(diǎn)為G，連接AF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形AFGD為菱形；
（2）連接AG，若BC＝2，，求AG的長．
【模型4 連接直角頂點(diǎn)，構(gòu)造斜中定】
【典例4】用三種方法證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，∠BCA＝90°，AD＝DB．求證：CD＝AB．
【變式4-1】直角三角形斜邊上的中線長為10，則該斜邊長為（ ）
A．5B．10C．15D．20
【變式4-2】如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長線段DE交邊BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（ ）
A．7B．C．8D．9
【變式4-3】用兩種方法證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線．
求證：CD＝AB．
證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE＝∠B，
CE與AB相交于點(diǎn)E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE＝AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD＝AB．
請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．
專題02 中點(diǎn)四大模型在三角形中應(yīng)用（知識解讀）
【專題說明】
線段中點(diǎn)是幾何部分一個非常重要的概念，和后面學(xué)習(xí)的中線，中位線等概念有著密切的聯(lián)系.在幾何證明題中也屢次出現(xiàn).那么，如果在題中遇到中點(diǎn)你會想到什么？等腰三角形三線合一；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；還是中位線定理？今天我們重點(diǎn)探究“倍長中線”法以及平行線間夾中點(diǎn)時延長中線交平行的應(yīng)用。
【方法技巧】
模型1 ：倍長中線法
如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.

當(dāng)題中出現(xiàn)中線時，我們經(jīng)常根據(jù)需要將AD延長，使延長部分和中線相等，這種方法叫做“倍長中線”.如下圖：此時，易證△ACD≌EDB，進(jìn)而得到AC=BE且AC//BE.

模型2：平行線夾中點(diǎn)
如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).可延長DE交AB于點(diǎn)F.

模型3：中位線
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn).可作另一邊AC的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線.如下圖所示：由中位線的性質(zhì)可得，DE//BC且DE=1/2BC.


模型4：連接直角頂點(diǎn)，構(gòu)造斜中定理

【典例分析】
【模型1 倍長中線法】
【典例1】【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故選B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故選C．
（3）證明：
延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，
∵AD是△ABC中線，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【變式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.
【解答】解：（1）延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延長FD到點(diǎn)G，使GD＝DF，連接BG，EG，
∵D是BC邊上的中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分線，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
【變式1-2】如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，連接BE．
（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
【解答】（1）結(jié)論：若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AC∥BE或AD＝DE；
證明：當(dāng)AC∥BE時，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
當(dāng)AD＝DE時，
∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
【變式1-3】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證明AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明．
（1）延長DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F；
（3）過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于F．
【解答】解：方法一：延長DE到F，使得EF＝DE，連接BF．
在△DEC和△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB，
∴∠D＝∠F，DC＝FB，
∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F，
∴BA＝BF，
∴AB＝CD．
方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F
∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°，
在△CGE和△BFE中，
，
∴△CGE≌△BFE，
∴BF＝CG，
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG，
∴AB＝CD．
方法三：過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于F．
∵CF∥AB，
∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵∠BAE＝∠D，∠BAE＝∠F，
∴∠D＝∠F，
∴CF＝CD，
∴AB＝CD．
【模型2 平行線夾中點(diǎn)】
【典例2】如圖，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，AB⊥AD，垂足為點(diǎn)A，AD＝5，BC＝10，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．
【解答】解：如圖，延長AE交BC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝＝13
∴AE＝＝
【變式2-1】如圖，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則BE＝ ．
【答案】
【解答】解：延長BE交CD于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
在△ABE與△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，
∴CF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BE＝BF＝，
故答案為：．
【變式2-2】如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點(diǎn)，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．
【解答】解：石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．
【變式2-3】如圖：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中點(diǎn)，
①請你用直尺（無刻度）作出一條線段與BE相等；并證明之；
②求BE的長．
【解答】解：①延長BE與CD相交于點(diǎn)F，則EF＝BE，
證明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△AEB與△DEF中，
，
∴△AEB≌△△DEF（AAS），
∴BE＝EF；
②∵△AEB≌△△DEF，
∴DF＝AB＝6，BE＝EF＝BF，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
∵BC⊥CD，
∴BF＝＝10，
∴BE＝BF＝5．
【模型3 中位線】
【典例3】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中點(diǎn)，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，則DE的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：延長BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）．
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝3，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝HC＝，
故選：D．
【變式3-1】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為 ．
【答案】20
【解答】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的AB，BC，CA邊的中點(diǎn)，
∴EF、DE、DF為△ABC的中位線，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周長為10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周長為20．
故答案為：20．
【變式3-2】如圖，等邊△ABC的邊長是4，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使，連接CD和EF．
（1）求證：CD＝EF；
（2）四邊形DEFC的面積為 ．
【解答】（1）證明：在△ABC中，
∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）解：過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD＝BD，
∴CD⊥AB，∠DCB＝∠ACB＝30°，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵∠DHC＝90°，
∴DH＝DC＝，
∵DE為△ABC的中位線，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF＝BC＝2，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴S四邊形DEFC＝CF?DH＝2×＝2．
故答案為：2．
【變式3-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長線上，CE＝DE＝2BC．CD的中點(diǎn)為F，DE的中點(diǎn)為G，連接AF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形AFGD為菱形；
（2）連接AG，若BC＝2，，求AG的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE的中點(diǎn)為G，
∴DE＝2DG，
∵CD的中點(diǎn)為F，
∴FG是△DFG的中位線，
∴CE＝2FG，F(xiàn)G∥CE，
∴FG∥AD，
∵CE＝DE＝2BC，
∴FG＝DG＝BC，
∴AD＝FG，
∴四邊形AFGD是平行四邊形，
∵FG＝DG，
∴四邊形AFGD為菱形；
（2）解：連接AG交DF于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠ADO，AD＝BC＝2，
∵四邊形AFGD為菱形，
∴AG⊥DF，AG＝2AO，
在Rt△ADO中，，
∴tan∠ADO＝＝，
∴設(shè)AO＝3x，DO＝2x，
∵AO2+DO2＝AD2，
∴（3x）2+（2x）2＝4，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AG＝2AO＝，
∴AG的長為．
【模型4 連接直角頂點(diǎn)，構(gòu)造斜中定】
【典例4】用三種方法證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，∠BCA＝90°，AD＝DB．求證：CD＝AB．
【解答】解：證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE＝∠B，
CE與AB相交于點(diǎn)E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE＝AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD＝AB；
證法2：延長CD至點(diǎn)E，使得DE＝CD，連接AE、BE．如圖3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四邊形ACBE是平行四邊形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四邊形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB；
證法3：延長CD到E，使DE＝CD，連接AE，
∵CD是斜邊AB的中線，
∴BD＝AD，
∵∠CDB＝∠EDA，CD＝DE，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴CB＝AE，∠B＝∠DAE，
∴CB∥AE，
∴∠BCA+∠ACE＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∵CB＝AE，∠BCA＝∠EAC＝90°，AC＝CA
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴AB＝CE
∵CE＝2CD
∴AB＝2CD．
【變式4-1】直角三角形斜邊上的中線長為10，則該斜邊長為（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【解答】解：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，可得斜邊長＝2×10＝20，
故選：D．
【變式4-2】如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長線段DE交邊BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（ ）
A．7B．C．8D．9
【答案】C
【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，
∴DF是△ABC的中位線，
∴AC＝2DF＝8．
故選：C．
【變式4-3】用兩種方法證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線．
求證：CD＝AB．
證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE＝∠B，
CE與AB相交于點(diǎn)E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE＝AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD＝AB．
請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．
【解答】解：證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE＝∠B，
CE與AB相交于點(diǎn)E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE＝AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD＝AB．
故答案為：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；
證法2：延長CD至點(diǎn)E，使得DE＝CD，連接AE、BE．如圖3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四邊形ACBE是平行四邊形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四邊形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB．

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