備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》專題13 最值模型：瓜豆原理-主從動(dòng)點(diǎn)問題（知識(shí)解讀）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題13 最值模型；瓜豆原理-主從動(dòng)點(diǎn)問題（知識(shí)解讀）
【專題說明】
初中數(shù)學(xué)有一類動(dòng)態(tài)問題叫做主從聯(lián)動(dòng)，有的老師叫他瓜豆原理，也有的老師叫他旋轉(zhuǎn)相似這類問題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來解決問題．
【方法技巧】
瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）
滿足條件：
1.兩動(dòng)一定；2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角；3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值．
方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；
第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；第四步：通過相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，
第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值．
“瓜豆原理”其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．
涉及的知識(shí)和方法：
知識(shí)：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；④點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值．
模型一：運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧
引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．
考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？
【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？
考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，
由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，
由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．
Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．
根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；
根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．
引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．
考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？
【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．
即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．
【模型總結(jié)】
為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．
此類問題的必要條件：兩個(gè)定量
主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．
模型二：運(yùn)動(dòng)軌跡為線段
引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？
【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．
可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？
【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．
當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．
【模型總結(jié)】
必要條件：
主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
結(jié)論：
P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與BC夾角）
P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
【典例分析】
【典例1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】D
【解答】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)，
將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，
作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CE，
則CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+＝，
故選：D．
【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥QE于H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cs30°＝，
∴點(diǎn)Q在射線FE上運(yùn)動(dòng)，
∵AD＝BC＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE?sin60°＝×＝，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為，
故選：A．
【變式1-2】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為（）
A．2B．1+C．2D．
【答案】B
【解答】解：如圖，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ET，連接GT，連接DE交CG于J．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，
∴∠BEF＝∠TEG，
在△EBF和△ETG中，
，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴點(diǎn)G的在射線TG上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)CG⊥TG時(shí)，CG的值最小，
∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，
∴CE＝CD＝3，
∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四邊形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，
∴CJ⊥DE，
∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝，
∴CG＝CJ+GJ＝1+，
∴CG的最小值為1+，
故選：B．
【變式1-3】（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，，，且，若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：，，，解得：（負(fù)值舍去），
，，，，，
，，過B作于H，
，，
，，當(dāng)時(shí)，PQ的值最小，
，，，，故選：A．
【變式1-4】（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：
∵是等邊三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)CQ⊥QE時(shí)，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．
【變式1-5】（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵P是邊AD的中點(diǎn)，AD=6，∴AP=3，如圖，連接AM，
∵等邊，是邊的中點(diǎn)，∴AM平分∠EAF，
∴在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M在∠EAF的平分線上，∴當(dāng)AM⊥PM時(shí)，PM取得最小值，
∵是等邊的邊的中點(diǎn)，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故選：C．
【變式1-6】（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是__________．
【答案】2
【解答】解：∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP=AF，
如圖，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，△P1AF1為等邊三角形，則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，∴，∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為，
如圖，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），
∵，∴∠OF1F2=60°，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，∴當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，線段OF最短，設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，
則，解得，∴直線F1F2的解析式為y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則，
∴，解得h=2，即線段OF的最小值為2，故答案為2．
【變式1-7】（2022·福建福州模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．
【答案】
【解答】設(shè)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小.
在中，令，則，令，則，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，則，∴，∴.
∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．
【典例2】如圖，⊙O的直徑AB＝2，C為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連結(jié)OD，則OD的最大值為．
【答案】+1
【解答】解：如圖，以O(shè)B為邊在AB的下方作等腰直角三角形OBE，連接CE，BD，
∵將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD＝BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，
∴BE＝OE＝，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵＝，
∴△DBO∽△CBE，
∴，
∴OD＝CE，
∴當(dāng)CE有最大值時(shí)，OD有最大值，
當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)O，點(diǎn)E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最大值為1+，
∴OD的最大值為+1，
故答案為：+1
【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．
【答案】5π
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝＝20，
連接AP，BP，
∵AB是直徑，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中點(diǎn)E和F，連接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M(jìn)，E為PC、BC的中點(diǎn)，
∴ME∥BP，ME＝，
在△APC中，
∵點(diǎn)M、F為PC、AC的中點(diǎn)，
∴MF∥AP，MF＝，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，
∴EF＝AB＝10，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為＝5π，
故答案為：5π．
【變式2-2】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．
【答案】4π
【解答】解：如圖，連接AO、OP，將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得線段AO'，連接O'B、OO'，
∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'為正三角形，
∵△APB為正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO與△ABO′中，
，
∴△APO≌△ABO′，
∴OP＝O'B＝2，
∴⊙O'即為動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，
∴當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是4π，

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