一、復習方法
1.以專題復習為主。 2.重視方法思維的訓練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。
二、復習難點
1.專題的選擇要準，安排時間要合理。 2.專項復習要以題帶知識。
3.在復習的過程中要兼顧基礎，在此基礎上適當增加變式和難度，提高能力。
專題12 二次函數菱形存在性綜合應用（專項訓練）
1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中點．
（1）求該二次函數的解析式．
（2）如圖1，若E為該拋物線在第一象限內的一動點，點F在該拋物線的對稱軸上，求使得△ECD的面積取最大值時點E的坐標，并求出此時EF+CF的最小值．
（3）如圖2，將拋物線C1向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動點，N為平面內一動點，是否存在這樣的點M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中點，
∴OA＝8．
∵OA＝OC＝2OB，
∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），
將A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：．
∴二次函數的解析式為：y＝﹣x2+x+8．
（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，
∴對稱軸為直線x＝2，
令y＝0，
則﹣x2+x+8＝0，
∴x＝﹣4或x＝8，
∴C（8，0），
設直線CD的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
過點E作EH⊥x軸交CD于點H，
設E（m，﹣m2+m+8），F(xiàn)（2，n），
則H（m，﹣m+4），
∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，
∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，
∴當m＝3時，S△ECD的面積有最大值25，
此時E（3，），
連接BE，交對稱軸于點F，連接CF，
∵B點與C點關于對稱軸x＝2對稱，
∴BF＝CF，
∴CF+EF＝BF+EF≥BE，
當B、E、F三點共線時，EF+CF有最小值，最小值為BE，
∴BE＝＝；
（3）存在點M、N使得四邊形DMCN為菱形，
理由如下：
平移后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，
設M（t，﹣t2+2t），N（x，y），
∵四邊形DMCN為菱形，
∴DC與MN為對角線，
∴，
∵CN＝CM，
∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，
∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，
∴t＝2或x＝﹣2，
∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．
2．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（﹣4，0）．與y軸交于點C（0，4），連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P是第二象限內拋物線上的一點，當點P到AB，AC距離相等時，求點P的坐標；
（3）如圖2，點M在拋物線上，點N在直線BC上，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使四邊形BMNQ為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+4；
（2）令y＝0，則x2﹣x+4＝0，
解得x＝3或x＝﹣4，
∴A（3，0），
∵點P到AB，AC距離相等，
∴P點在∠CAB的角平分線上，
設AP與y軸交于點E，過E作EF⊥AC交于F點，
∵OA＝3，CO＝4，
∴AC＝5，
∴CF＝2，
在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，
解得OE＝，
∴E（0，），
設直線AE的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴P（﹣，）；
（3）存在點Q，使四邊形BMNQ為菱形，理由如下；
∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
設直線BC的解析式為y＝k'x+m'，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
設Q（﹣，t），
∵四邊形BMNQ為菱形，
∴M點與Q點關于直線BC對稱，
∴M（t﹣4，），
∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），
∴Q點坐標為（﹣，）．
3．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣2，4），B（2，0）兩點，與y軸交于點C，
DE＝AB，DE在直線AB上滑動，以DE為斜邊，在AB的下方作等腰直角△DEF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△DEF與拋物線有公共點時，求點E的橫坐標t的取值范圍；
（3）在△DEF滑動過程中是否存在點P，使以C，D，E，P為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）設直線AB的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
∵E點的橫坐標為t，
∴E（t，﹣t+2），
∵A（﹣2，4），B（2，0），
∴AB＝4，
∵DE＝AB，
∴DE＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝EF＝2，
∴F（t﹣2，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），
當E點與A點重合時，t＝﹣2，
當F點在拋物線上時，（t﹣2）2﹣（t﹣2）﹣2＝﹣t+2，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴﹣2≤t≤2﹣時，△DEF與拋物線有公共點；
當E點與B點重合時，t＝2，
當D點與B點重合時，t﹣2＝2，
解得t＝4，
∴2≤t≤4時，△DEF與拋物線有公共點；
綜上所述：﹣2≤t≤2﹣或2≤t≤4時，△DEF與拋物線有公共點；
（3）存在點P，使以C，D，E，P為頂點的四邊形為菱形，理由如下：
由（2）知，E（t，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），C（0，﹣2），
設P（x，y），
①當CD為菱形的對角線時，CE＝DE，
∴，
解得，
∴P（﹣2，0）；
②當CE為菱形的對角線時，CD＝DE，
∴，
解得，
∴P（2，﹣4）；
③當CP為菱形的對角線時，CE＝CD，
∴，
解得，
∴P（4，2）；
綜上所述：P點坐標為（﹣2，0）或（2，﹣4）或（4，2）．
4．如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C（0，8），點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△BCP的面積最大值；
（3）點M是拋物線的對稱軸l上一動點．
①是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②請在平面內找到一點N，使得以B、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，并直接寫出N點的坐標．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得﹣，
∴y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，則﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，
過點P作PG∥y軸交BC于G，
設P（t，﹣t2+3t+8），則G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴當t＝4時，△BCP的面積有最大值，最大值為32；
（3）①存在點M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，
∴E（3，5），
設M（3，m），
∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，
當BE＝BM時，5＝，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
當BE＝EM時，5＝|m﹣5|，
解得m＝5+5或m＝﹣5+5，
∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
當BM＝EM時，＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
綜上所述：M點坐標為（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
②設N（x，y），M（3，m），
當BE為菱形的對角線時，BM＝EM，
∴，
解得，
∴N（8，5）；
當BM為菱形的對角線時，BE＝EM，
∴，
解得或，
∴N（8，5）或（8，﹣5）；
當BN為菱形的對角線時，BE＝BM，
∴，
解得（舍）或，
∴N（﹣2，0）；
綜上所述：N點坐標為（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，0）．
5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交BC的延長線于點H，求點M的坐標；
（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，Q，C，D為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，點C（0，6），
設直線BC的解析式為y＝kx+c，
∵直線BC經過點B（3，0），C（0，6），
∴，
解得：
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，
設點M的坐標為（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如圖1，過點M作MN⊥y軸于點N，過點H作HK⊥y軸于點K，
則∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵點H（﹣2m+6，﹣m）在直線y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m＝，
把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，
∴當∠OMB＝45°時，點M的坐標為（）；
（3）存在，理由如下：
∵拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，頂點為D，
∴點D的坐標為（1，8），
分兩種情況討論：
①當CD為菱形的邊時，
如圖2，過C作CE⊥DQ于E
∵C（0，6），D（1，8），
∴CD＝＝，
∴DQ＝CD＝，
∴Q點的坐標為（1，8﹣）或（1，8+）；
②當CD為菱形的對角線時，
如圖3，設點Q（1，m），P（0，n），
∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，
解得：m＝，
∴點Q的坐標為（1，）；
綜上所述，點Q的坐標為（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．
6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，與y軸交于點C，OB＝3OA＝3，點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點C坐標；
（2）如圖1，若點P在第一象限內，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點E，求線段PE的最大值及此時點P的坐標；
（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，交直線BC于點M，在y軸上是否存在點G，使得以M，P，C，G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點G坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
將（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
將x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴點C坐標為（0，3）．
（2）設直線BC解析式為y＝kx+b，將（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+3，
作PF⊥x軸交BC于點F，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵PE∥x軸，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE，
設點P坐標為（m，﹣m2+2m+3），則點F坐標為（m，﹣m+3）．
∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝時，PE的最大值為，此時點P坐標為（，）．
（3）①如圖，PM＝CM，
設點P坐標為（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m，
∵點C坐標為（0，3），
∴CM＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，
解得m＝0（舍）或m＝3﹣，
∴GC＝CM＝3﹣2，
∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1，
∴點G坐標為（0，3+1）．
②如圖，PM＝CG時四邊形PCGM為平行四邊形，PG⊥CM時四邊形PCGM為菱形，
∵PM＝﹣m2+3m，點C坐標為（0，3），
∴點G坐標為（0，m2﹣3m+3），
作GN⊥PM，
∵∠CBO＝45°，
∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，
∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3），
解得m＝0（舍）或m＝2，
∴點G坐標為（0，1）．
③如圖，PM＝CM，
由①可得m2﹣3m＝m，
解得m＝3+，
∴PM＝CG＝CM＝3+2，
∴點G坐標為（0，1﹣3）．
綜上所述，點G坐標為（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）．
7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸；
（2）如圖，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；
（3）點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）、點C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，
∴B（3，0），
∵點D與點C關于對稱軸對稱，
∴D（2，3），
∴BD的中點H為（，），BD＝，
∵∠BPD＝90°，
∴PH＝BD，
設P（1，t），
∴（）2+（﹣t）2＝×10，
解得t＝1或t＝2，
∴P（1，1）或（1，2）；
（3）存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，理由如下：
設M（m，﹣m2+2m+3），N（1，n），
①當AB為菱形的對角線時，AM＝AN，
∴，
解得，
∴N（1，﹣4）；
②當AM為菱形對角線時，AB＝AN，
∴，
此時無解；
③當AN為菱形對角線時，AB＝AM，
∴，
此時無解；
綜上所述：N點坐標為（1，﹣4）．
8．已知：拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P為直線BC上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO，PO交直線BC于點E，設＝k，求當k取最大值時點P的坐標，并求此時k的值；
（3）如圖2，D（m，0）是x的正半軸上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應點為M'．在圖2中探究：是否存在點D，使得四邊形CMNM′是菱形？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）如下圖，過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，
∴△PEH∽△OEC，
∴，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
設直線BC的解析式為y＝sx+t，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設點P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴當t＝時，k取得最大值為，此時P點的坐標為（，）；
（3）存在；
由折疊知，MC＝M'C，MN＝M'N，
故當MN＝MC時，四邊形CMNM′是菱形，
設M（m，﹣m+3），則N（m，﹣m2+2m+3），
∴MC＝＝|m|，
∴|﹣m2+3m|＝|m|，
即﹣m2+3m＝±m(xù)，
解得m＝3+或3﹣，
綜上所述，點D的坐標為（3+，0）或（3﹣，0）
9.如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，點P是直線AC下方拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，CP，設P點的橫坐標為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數關系式；
（3）試探究：過點P作BC的平行線1，交線段AC于點D，在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）點E的坐標為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
【解答】解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）如圖1，過點P作PM∥y軸交直線AC于點M，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
設直線AC的解析式為：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，
∵P點的橫坐標為m，
∴P的坐標是（m，m2+2m﹣3），則M的坐標是（m，﹣m﹣3），
∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∵點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）分兩種情況：
①如圖2，四邊形CDEB是菱形，
設D（t，﹣t﹣3），則E（t+1，﹣t），
∵四邊形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，
∴t＝±，
∵t＜0，
∴t＝﹣，
∴E（﹣+1，）；
②如圖3，四邊形CBDE是菱形，
設D（t，﹣t﹣3），則E（t﹣1，﹣t﹣6），
∵四邊形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，
∴t＝0（舍）或﹣2，
∴E（﹣3，﹣4）；
綜上所述，點E的坐標為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
10.如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC，交對稱軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方的拋物線上一點，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時點P的坐標；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內一點．當以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個點F的坐標的過程．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3； （2）P（，）；
（3）F點坐標為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）和點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
∵函數的對稱軸為直線x＝1，
∴D（1，2），
過點P作x軸的垂線，交BC于點Q，
設P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴當t＝時，S△PCD的最大值為，
此時P（，）；
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1個單位得到新拋物線為y＝﹣（x﹣2）2+4，
聯(lián)立，
解得x＝，
∴E（，），
∵新拋物線的對稱軸為直線x＝2，
設F（2，m），
∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，
∵以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，有三種情況：
①當EF、FD為鄰邊，此時EF＝FD，
∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，
解得m＝，
∴F（2，）；
②當ED、EF為鄰邊，此時ED＝EF，
∴＝+（m﹣）2，
解得m＝或m＝2，
∴F（2，2）或F（2，），
設直線ED的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
當x＝2時，y＝，
∴F（2，2）；
③當DE、DF為鄰邊，此時DE＝DF，
∴＝1+（m﹣2）2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；
綜上所述：F點坐標為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
11.綜合與探究：如圖1所示，直線y＝x+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．
①當△ANC面積最大時的P點坐標為 ；最大面積為 ．
②點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點D，使以點D、F、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） y＝﹣x2﹣3x+4 （2）① （﹣2，2）；8．
②點D的坐標為（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）將A（﹣4，0）代入y＝x+c，
得c＝4，
將A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，
得﹣16﹣4b+4＝0，
解得b＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）①如圖2，設點M的坐標為（x，0）（﹣4＜x＜0），則P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），
∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴S△ANC＝PN?AM+PN?OM＝PN?OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，
∴當x＝﹣2時，S△ANC最大＝8，此時P（﹣2，2），
故答案為：（﹣2，2）；8．
②存在，
如圖3，菱形BDCF以BC為對角線，連接BC、DF交于點I，DF交y軸于點R，
當y＝0時，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴CB＝＝，
∵DF與BC互相垂直平分，
∴I為BC的中點，
∴I（，2），CI＝CB＝，
∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，
∴△ICR∽△OCB，
∴＝，
∴CR＝＝＝，
∴OR＝4﹣＝，
∴R（0，），
設直線DF的解析式為y＝kx+，則k+＝2，
解得k＝，
∴直線DF的解析式為y＝x+，
由得，
∴F（，），
∵點D與點F（，）關于點I（，2）對稱，
∴D（，）；
如圖4，菱形BCDF以CF為對角線，連接BD交CF于點J，連接AD，
∵BD與CF互相垂直平分，
∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠JAB＝∠JBA＝45°，
∴JB＝JA，
∴JD＝JA，
∴∠JAD＝∠JDA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝1+4＝5，
∴D（﹣4，5）；
如圖5，菱形BCFD以CF、CB為鄰邊，且點D在BC的左側，設DF交x軸于點T，
∴CF＝CB＝，
作FL⊥y軸于點L，作DK⊥FL于點K，交x軸于點Q，則∠CLF＝90°，
∴∠LFC＝∠LCF＝45°，
∴LC＝LF，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FL∥OA，DF∥BC，
∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，
∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，
∴△DKF≌△COB（AAS），
∴KF＝OB＝1，KD＝OC，
∵QK＝OL，
∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，
∴D（，）；
如圖6，菱形BCFD以CF、CB為鄰邊，且點D在BC的右側，
作FL⊥y軸于點L，作DV⊥y軸于點V，作FK⊥DV于點K，則∠CLF＝90°，
∵∠LCF＝∠OCA＝45°，
∴∠LCF＝∠LFC＝45°，
∴LF＝LC，
∵CF＝CB＝，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FK∥OC，F(xiàn)D∥CB，
∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，
∴∠DFK＝∠BCO，
∵DF＝BC，
∴△DFK≌△BCO（AAS），
∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，
∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，
∴D（，），
綜上所述，點D的坐標為（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．

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