專題11 二次函數(shù)與矩形、菱形的存在性問(wèn)題（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】二次函數(shù)為載體的矩形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高．【解題思路】 考點(diǎn)1  矩形存在性問(wèn)題1.矩形的判定:（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對(duì)角線時(shí)）因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．解：點(diǎn) C 滿足以 A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的 點(diǎn) C 有在點(diǎn) C 的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn) D 的坐標(biāo)． 思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組． 考點(diǎn)2  菱形存在性問(wèn)題1．菱形的判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 2．坐標(biāo)系中的菱形： 有 3 個(gè)等式，故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有 3 個(gè)未知量，與矩形相同． 3．解題思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在構(gòu)成菱形的 4 個(gè)點(diǎn)中任取 3 個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確 定第 3 個(gè)點(diǎn)，再確定第 4 個(gè)點(diǎn)． （2）思路 2：先平行，再菱形 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的存在性要求列出“”（AC、BD 為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰 邊相等，得到方程組．方法總結(jié)： 菱形有一個(gè)非常明顯的特點(diǎn)：任意三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形必然是等腰三角形。【典例分析】【考點(diǎn)1  矩形的存在性問(wèn)題】【典例1】（2022?魚(yú)峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式1-1】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．            【變式1-2】（遼陽(yáng)）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．                【考點(diǎn)2  菱形的存在性問(wèn)題】【典例2】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．            【變式2-1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求b、c的值；（2）點(diǎn)P（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q．①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．            【變式2-2】綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫(xiě)出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DM的長(zhǎng)．                  【變式2-3】如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn) C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

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