備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》專題04 定弦定角（專項訓練）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、復習方法
1.以專題復習為主。 2.重視方法思維的訓練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。
二、復習難點
1.專題的選擇要準，安排時間要合理。 2.專項復習要以題帶知識。
3.在復習的過程中要兼顧基礎，在此基礎上適當增加變式和難度，提高能力。
專題04 定弦定角（專項訓練）
1．（2021秋?如皋市期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為（）
A．1.5B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴點P的運動軌跡是，
設所在圓的圓心為O，當O、P、B共線時，PB長度最小，設OB交AC于D，如圖所示：
此時PA＝PC，OB⊥AC，
則AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故選：B．
2．（2021秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個動點，D為PB上的一個動點，連接AD，當∠CBP＝∠BAD時，線段CD的最小值是（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中點E，連接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值為4﹣4，
故選：D．
3．（2021秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值為2﹣4，
故選：C．
4．（2022?巢湖市二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OE為半徑的⊙O，
∴當點P落在線段OD上時，DP的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四邊形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故選：A
5．（2021?廣西模擬）如圖，AC為邊長為的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°，點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴點P在弧AB上運動，
∴當＝時，△PAB的面積最大，最大值＝×2×1＝，
故選：D．
6．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．
【答案】9+9
【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，過點O作OH⊥BC于H，
則BH＝HC，
由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，
由題意可知，BC邊上的高的最大值為：3+3，
∴△ABC面積的最大值為：×6×（3+3）＝9+9，
故答案為：9+9．
7．（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內一動點，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點，交BC于E點，，則AD的最小值為．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴點D在以BC為弦，∠BDC＝135°的圓弧上運動，
如圖，設D點運動的圓弧圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點N，
連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
則∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC為等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴當A、D、M三點共線時，AD最小，
此時，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案為：1．
8．（2021?柳南區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動點D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點P，則CP的最小值為．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值為1．
9．（2021秋?灌南縣校級月考）我們在學習圓的知識時，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：
下面讓我們一起嘗試去解決：
（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為．
（2）如圖，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動．若AD＝2，則線段CP的最小值是．
（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為多少？
【解答】解：（1）如圖1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值為2．
故答案為2；
（2）如圖2中，
∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中點O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），
根據(jù)兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案為：﹣1；
（3）如圖3中，
∵EF＝2，點G為EF的中點，
∴DG＝1，
∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點，
作A關于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，
此時PA+PG的值最小，最小值為A′G的長；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值為4，
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
【解答】解：延長BA到D，使AD＝AC，連接DC，作△BDC的外接圓⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴當BD是⊙O直徑時，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
當BD是⊙O直徑，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，
∴AB+AC的最大值為：6．
11．【問題提出】
（1）如圖①，點O是正方形ABCD的對稱中心，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且∠EOF＝90°，連接BO，則線段BE，BF，BO之間滿足的等量關系為；
【問題探究】
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，連接AD，求AD的最大值；
【問題解決】
（3）如圖③，某縣政府為解決農業(yè)灌溉問題，加強農田水利“最后一公里”建設，改善農田灌溉、生態(tài)治理等水利民生工作，計劃給該縣管轄下的村莊A，B，C修建總揚水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．為了灌溉更多的農田，需要三條支渠總長（AD+BD+CD）盡可能長．已知預建的總揚水站D及支渠BD，CD滿足∠BDC＝60°．你認為該縣政府的想法能否實現(xiàn)？若能，求出三條支渠總長的最大值；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）如圖1，
連接OC，
∵四邊形ABCD是正方形，O是對稱中心，
∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF，
∵BC＝OB，
∴BF+CF＝OB，
∴BF+BE＝OB，
故答案為：BF+BE＝；
（2）如圖2，
作等腰直角△ABE，使∠AEB＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，＝，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，＝，
∴∠ABE＝∠CBD，＝，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC∽△EBD，
∴＝，
∴DE＝AC＝，
∵AD≤AE+DE，
∴當點A、E、D共線時，AD最大，
∵AE＝AB＝2，
∴AD最大值為：3；
（3）如圖3，
該縣政府的想法能實現(xiàn)，理由如下：
∴∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，
∴∠BAC+∠BCD＝180°，
∴四邊形ABCD內接于圓O，
延長CD至E，使CE＝BD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠EAC＝∠BAD，AE＝AD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，DE＝CD+CE＝CD+BD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴DE＝，
∴BD+AD+CD＝DE+AD＝（）AD，
∴當AD最大時，BD+AD+CD最大，
∴當AD是⊙O的直徑時，BD+AD+CD最大，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴直徑R＝＝2AB＝12，
∴BD+AD+CD最大值為：12（）＝12+12．

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