專(zhuān)題17 解密幾何綜合壓軸題- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專(zhuān)題重難點(diǎn)突破-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．【問(wèn)題情境】：
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開(kāi)展了以折疊為主題的探究活動(dòng)，如圖1，已知矩形紙片，其中寬．
(1)【動(dòng)手實(shí)踐】：
如圖1，威威同學(xué)將矩形紙片折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，連接，然后將紙片展平，得到四邊形，則折痕的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
(2)【探究發(fā)現(xiàn)】：
如圖2，勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形剪下，取邊中點(diǎn)，將沿折疊得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，求此時(shí)的值；
(3)【反思提升】：
明明同學(xué)改變圖2中點(diǎn)的位置，即點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)仍是邊上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中方式折疊，使點(diǎn)落在線段上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)在某一位置與（2）中的相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)度．
2．綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)操作判斷
操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫(xiě)出圖1中一個(gè)30°的角：______．
(2)遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)拓展應(yīng)用
在（2）探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．
3．將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，
如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；
當(dāng)且時(shí)，
①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
4．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．

(1)證明與推斷：
①求證：四邊形是正方形：
②推斷：的值為_(kāi)____________；
(2)探究與證明：
將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（），如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)拓展與運(yùn)用：
正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．
①求證：．
②若，，則_________________．
5．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），以CD為邊作正方形CDEF，連接AE，AF．
(1)觀察猜想
當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，線段BD與AF的數(shù)量關(guān)系是______，∠CAE的度數(shù)是______．
(2)探究證明
當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)解決問(wèn)題
當(dāng)BD時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng)．
6．已知，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，∠BDE=∠A且DB=DE，連接BE，EC，其中．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠A=60°，∠BCE與∠A怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接寫(xiě)出答案．
類(lèi)比探究：（2）如圖2，若，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，∠BCE與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D為AC上一點(diǎn)，以BD為邊，在如圖所示位置作正方形BDEF，點(diǎn)O為正方形BDEF的對(duì)稱(chēng)中心，且OA=，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．

7．在四邊形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的一點(diǎn)，且．
（1）若四邊形為正方形；
①如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；
②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出草圖，并求出與的數(shù)量關(guān)系．
8．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：
①的值為；
②∠AMB的度數(shù)為．
（2）類(lèi)比探究
如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．
9．解答題
(1)如圖1，和都是等邊三角形，連接、，求證，；
[類(lèi)比探究]
(2)如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接．求的值．
[拓展提升]
(3)如圖3，和都是直角三角形，，．連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．若恰好等于，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系．
10．如圖1，已知矩形中，，O是矩形的中心，過(guò)點(diǎn)O作于E，作于F，得矩形BEOF．
(1)線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，直線AE與CF的位置關(guān)系是；
(2)固定矩形，將矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接．那么（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O在CF上時(shí)（如圖3），設(shè)OE與BC交于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．
11．（1）如圖1，正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，正方形OA′B′C′與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等．正方形OA′B′C′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明．
結(jié)論：______________________________________________________
證明：______________________________________________________
（2）如圖2，正三角形ABC的中心為點(diǎn)O，正三角形OA′B′與正三角形ABC的邊長(zhǎng)相等，邊OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．正三角形OA′B′繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤120°），運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩個(gè)正三角形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正三角形ABC的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出研究過(guò)程．
12．在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：
“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫(huà)出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．
（1）小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．
①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)__________；
②面積的最大值為_(kāi)________；
（2）經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫(huà)的角的頂點(diǎn)不在小華所畫(huà)的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明；
（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)P在直線的左側(cè)，且．
①線段長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______；
②若，則線段長(zhǎng)為_(kāi)_______．【提出問(wèn)題】“其他形狀相同的兩個(gè)圖形，在類(lèi)似上述旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否依然成立？”現(xiàn)對(duì)正三角形進(jìn)行研究．
已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：
（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？
（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？

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