（1）切線判定： = 1 \* GB3 ①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
= 2 \* GB3 ②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）
= 3 \* GB3 ③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線
（2）切線判定常用的證明方法：
①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；
②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．
1．如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點，交的延長線于點，過點作于點，連接交線段于點．
(1)求證：EH=CH；
(2)求證：是圓的切線；
(3)若，求圓的半徑．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)．
【分析】（1）先判斷出是等腰三角形，即可得出結(jié)論；
（2）連接OD，先判斷出是等腰三角形，進而得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論
（3）設(shè)的半徑為r，即，先判斷出，進而得出，得出，，進而得出，再判斷出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．
（1）
證明： ，
，
在⊙中，，
∴，
是等腰三角形，
∵，
∴
（2）
證明：連接，如圖1，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
∴，
，
，
∵是的半徑，
是圓的切線；
（3）
連接，如圖1，，
設(shè)⊙的半徑為，即，
，
，
∵，
，
則，
，
，
∵是等腰三角形，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵是⊙的直徑，
∴，
∴，
，
在⊙中，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
解得：，舍，
綜上所述，⊙的半徑為．
【我思故我在】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解（3）的關(guān)鍵．
2．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點，直線于點，則．請證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點，直線于點，則．可以通過延長、相交于點，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；
（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點，直線于點，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先，再證為等腰三角形，進一步證得，從而證得結(jié)論．
（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進而求得．
【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，
是劣弧的中點，
，
，
，
，，
，
為等腰三角形，
，
；
（2）如圖2，延長、相交于點，再連接，
是圓內(nèi)接四邊形，
，
是劣弧的中點，
，
，
為等腰三角形，
，，
，
，
（3）．
連接，，，、相交于點，
弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【我思故我在】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理在5個條件中，1．平分弦所對的一條?。?．平分弦所對的另一條??；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過圓心（或者說直徑）．只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個．
3．如圖，AB是的直徑，AC是的切線，連接OC，弦，連接BC，DC．
求證：DC是的切線；
若，求的值．
【分析】連接OD，如圖，利用切線的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)證明，則可判定≌，從而得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；作于E，如圖，在中由于，則可設(shè)，，所以，則，再在中利用正弦可表示出，利用勾股定理可得到，于是得到，從而在中根據(jù)正切定義得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到的值．
【詳解】證明：連接OD，如圖，
為切線，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
是的切線；
解：作于E，如圖，
在中，，
設(shè)，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
的值為．
【我思故我在】本題考查了切線的性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”也考查了解直角三角形．
4．圖，是的直徑，點C在的延長線上，平分交于點D，過點A作，垂足為點E．
(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求的半徑以及線段的長．
【答案】(1)是的切線，理由見解析
(2)3；
【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出，即，根據(jù)平行線的判定方法得出，根據(jù)，得出，根據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)，在中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程即可；先求出，然后再根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．
【詳解】（1）：是的切線，理由如下：
連接OD，如圖所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：設(shè)，在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即半徑為3；
∵，
∴，
根據(jù)解析（1）可知，，
∴，
即，
解得：．
【我思故我在】本題主要考查了切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．
5．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點D，，垂足為E，的延長線與的延長線交于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為，，求的長．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．
6．如圖，在中，，以為直徑的與斜邊交于點，點為邊的中點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)填空
①若，，則___________；
②當(dāng)___________時，以，，，為頂點的四邊形是正方形．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【詳解】（1）證明：∵是直徑，
∴，
∵點為邊的中點，
∴DE=CE=BE，
∴，，
連接，則，
∴，
∴是的切線．
（2）解：①∵在中，，
∴，
∴，
故答案為：；
②只要，以，，，為頂點的四邊形就是正方形，
則，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了圓的切線的判定及解直角三角形的知識和正方形的判定，通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦，E是CA延長線上的一點，連接DE交⊙O于點F連接AF，CE．
(1)若，求的度數(shù)．
(2)求證：AF平分．
(3)若，，且CF經(jīng)過圓心O，求CE的長．
【答案】(1)70° (2)詳見解析 (3)
【分析】（1）由垂徑定理得到，從而得到與的關(guān)系，通過直角三角形的性質(zhì)可以得到,由圓周角定理的推理即可得出；
（2）由垂徑定理和圓周角定理的推理可以得出,再由圓內(nèi)接四邊形和得出與的關(guān)系，從而得到，由圓周角定理的推理得出與的關(guān)系，從而得出與的關(guān)系，得證；
（3）由垂徑定理可以得出CH，由勾股定理得出OH，從而得出AH的長，再由勾股定理得出AC的長，由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，從而得出CE的長．
(1)
（1）解：如圖，連接OD，AD，設(shè)AB交CD于H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
(2)
（2）證明：∵AB是直徑，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴AF平分．
(3)
（3）解：如圖，設(shè)AB交CD于H．
∵AB是直徑，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∵CF是直徑，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【我思故我在】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及推理、勾股定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)定理是解決本題的關(guān)鍵．
8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AC與BD交于點E，P為CB延長線上一點，連接PA，且∠PAB=∠ADB．
(1)求證：PA為⊙O的切線；
(2)若AB=6，tan∠ADB=，求PB的長；
(3)在（2）的條件下，若AD=CD，求△CDE的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)5
【分析】（1）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=8，根據(jù)勾股定理得到BC=，求得OB=5，過B作BF⊥AP于F，設(shè)AF=4k，BF=3k，求得BF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接OD交AC于H，根據(jù)垂徑定理得到AH=CH=4，得到OH=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE=，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
(1)
證明：連接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°，
∴∠ACB＋∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠ACB=∠PAB，
∴∠PAB＋∠OAB=90°，
∴∠OAP=90°，
∴PA為⊙O的切線；
(2)
解：∵∠ADB=∠ACB，
∴tan∠ADB=tan∠ACB=，
∵AB=6，
∴AC=8，
∴BC=，
∴OB=5，
過B作BF⊥AP于F，
∵∠ADB=∠BAF，
∴tan∠ADB=tan∠BAF=，
∴設(shè)AF=4k，BF=3k，
∴AB=5k=6，
∴k=，
∴BF=，
∵OA⊥AP，BF⊥AP，
∴BFOA，
∴△PBF∽△POA，
∴，
即，
∴PB=；
(3)
解：連接OD交AC于H，
∵AD=CD，
∴，
∴OD⊥AC，
∴AH=CH=4，
∴OH=，
∴DH=2，
∴CD=，
∴BD=，
∵∠ADE=∠BDA，∠DAE=∠ABD，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
即，
∴DE=，
∴△CDE的面積為．
9．問題提出
(1)如圖1，AB為圓O的弦，在圓O上找一點P，使點P到AB的距離最大．
(2)問題探究
如圖2，在扇形AMB中，點M為扇形所在圓的圓心，點P為上任意一點，連接PM，與AB交于點Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．
(3)問題解決
如圖3，小華家有一塊扇形AOB的田地，線段OA、線段OB以及分別為扇形AOB的邊沿部分．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小華爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作種植當(dāng)季蔬菜，具體操作方式如下：在上選取點C，過點C作CMOB，CNOA，則四邊形MONC為小華爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圓心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算：小華爸爸最終所花費的修建費預(yù)算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（結(jié)果保留整數(shù)，取1.73）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)210元
解：如圖1，過點O作OP⊥AB，
此時點P處于中心位置，
∵在圓內(nèi)，弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，
∴此時P點到AB的距離最大；
(2)
解：如下圖，Q點在AB的中點時，QM最小，則PQ最大，
∵MA＝MB，AQ＝BQ，
∴QM⊥AM，
∵AB＝10，AM＝7，
∴AQ＝BQ＝5，
∴，
∴；
(3)
解：由題意可知，當(dāng)點C處于中點時，對角線最長，
此時，OC＝OA＝90，AB⊥OC與點Q，
∵CMOB，
∴∠AMC＝60°，
∵CNOA，
∴∠CNB＝60°，
∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°，
∴△CMN為等邊三角形，
同理證明△OMN也為等邊三角形，
在Rt△OMQ中，OQOC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2，
∴OM＝1526.01，
∴?OMCN的周長C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米計算），
∵成本均為30元/米，
∴，
則預(yù)算最多為：7×30＝210（元）．
【我思故我在】本題考查了弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，點到弦之間的距離垂線段最短，平行四邊形周長的最大值，解題關(guān)鍵是把求平行四邊形四條邊的平方的和，換成求平行四邊形對角線的最大值，問題就得以解決．
10．如圖，在中，，，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G．
（1）求證：；
（2）填空：
①若，且點E是的中點，則DF的長為 ；
②取的中點H，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為 時，四邊形OBEH為菱形．
【答案】（1）見解析（2）①②30°
【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得，再應(yīng)用同角的余角相等可得，易得，得證；
（2）作，應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得，再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得．
【詳解】
解：（1）證明：如圖1，，，
AB是的直徑，
，
；
（2）①如圖2，過F作于H，點E是的中點，
，
，
，即
，
，即，
故答案為．
②連接OE，EH，點H是的中點，
，
四邊形OBEH為菱形，
．
故答案為
11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一動點，AG，DC的延長線交于點F，連接AC，AD，GC，GD．
（1）求證：∠FGC＝∠AGD；
（2）若AD＝6．
①當(dāng)AC⊥DG，CG＝2時，求sin∠ADG；
②當(dāng)四邊形ADCG面積最大時，求CF的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．
【分析】（1）由垂徑定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；
（2）①如圖，設(shè)AC與GD交于點M，證△GMC∽△AMD，設(shè)CM＝x，則DM＝3x，在Rt△AMD中，通過勾股定理求出x的值，即可求出AM的長，可求出sin∠ADG的值；
②S四邊形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因為點G是上一動點，所以當(dāng)點G在的中點時，△ACG的的底邊AC上的高最大，此時△ACG的面積最大，四邊形ADCG的面積也最大，分別證∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝6．
【詳解】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，CD⊥AB，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四邊形ADCG是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）①如圖，設(shè)AC與GD交于點M，
∵，
∴∠GCM＝∠ADM，
又∵∠GMC＝∠AMD，
∴△GMC∽△AMD，
∴＝＝＝，
設(shè)CM＝x，則DM＝3x，
由（1）知，AC＝AD，
∴AC＝6，AM＝6﹣x，
在Rt△AMD中，
AM2+DM2＝AD2，
∴（6﹣x）2+（3x）2＝62，
解得，x1＝0（舍去），x2＝，
∴AM＝6﹣＝，
∴sin∠ADG＝＝＝；
②S四邊形ADCG＝S△ADC+S△ACG，
∵點G是上一動點，
∴當(dāng)點G在的中點時，△ACG的底邊AC上的高最大，此時△ACG的面積最大，四邊形ADCG的面積也最大，∴GA＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵∠GCD＝∠F+∠FGC，
由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，
∴∠F＝∠GCA，
∴∠F＝∠GAC，
∴FC＝AC＝6．

相關(guān)試卷

專題09 在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破：

這是一份專題09 在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破，文件包含專題09在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算教師版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx、專題09在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算學(xué)生版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

專題05 尺規(guī)作圖與計算- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破：

這是一份專題05 尺規(guī)作圖與計算- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破，文件包含專題05尺規(guī)作圖與計算教師版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx、專題05尺規(guī)作圖與計算學(xué)生版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

專題04 計算技巧及能力提升- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破：

這是一份專題04 計算技巧及能力提升- 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸專題重難點突破，文件包含專題04計算技巧及能力提升學(xué)生版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx、專題04計算技巧及能力提升教師版-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸專題重難點突破docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點復(fù)習(xí)題型05 圓的相關(guān)證明與計算 類型二 與切線有關(guān)的證明與計算（專題訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點復(fù)習(xí)題型05 圓的相關(guān)證明與計算 類型二 與切線有關(guān)的證明與計算（專題訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+解析版）
專題【圓的有關(guān)計算與證明問題】 - 決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品（原卷版）（江蘇專版）

專題【圓的有關(guān)計算與證明問題】 - 決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品（原卷版）（江蘇專版）
壓軸專題08圓中證明及計算問題14題

壓軸專題08圓中證明及計算問題14題
中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 重難題型突破 題型三　圓的相關(guān)證明與計算練習(xí)(含解析)

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 重難題型突破 題型三　圓的相關(guān)證明與計算練習(xí)(含解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部