專題08 與反比例有關(guān)的面積問題- 2024年中考數(shù)學壓軸專題重難點突破-試卷下載-教習網(wǎng)

如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則與的面積之差________．
【答案】3
【分析】妙解1：已知反比例函數(shù)的解析式為y=，根據(jù)系數(shù)k的代數(shù)意義，設函數(shù)圖象上點B的坐標為(m，)再結(jié)合已知條件求解即可；
妙解2：利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，圍繞點B構(gòu)造矩形求解即可；
妙解3：利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，圍繞點B構(gòu)造直角三角形求解即可．
【詳解】妙解1：
如圖，設點C(n，0)，因為點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，所以設點B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴點A的坐標為(n，n)，點D的坐標為(n，)，
由AD=BD，得n?=m?n，化簡整理得m2?2mn=?6．
∴SΔOAC?SΔBAD=n2?(m?n)2=?m2+mn=?(m2?2mn)，
即S△OAC?SΔBAD=3．
妙解2：
如圖，作軸于點F，延長交于點H，交y軸于點G，延長交x軸于點E．
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴矩形的面積為6．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
妙解3：
如圖，作軸于點F，延長交于點H，連接．
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴的面積等于3．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，．
∵，
，
所以．
2．如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個小矩形，若D、E是CO邊上的三等分點，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過小矩形的頂點F、G，若圖中的陰影矩形面積，則反比例系數(shù)k的值為__．
【答案】10
【分析】根據(jù)題意求得，進而即可根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k的值．
【詳解】是CO邊上的三等分點，
，
，
反比例函數(shù)剛好經(jīng)過小矩形的頂點，
，
故答案為：10．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的面積，求得矩形OAGD的面積是關(guān)鍵．
3．如圖，在x軸上有一點A（3，0），點D是點A關(guān)于y軸的對稱點，點B在反比例函數(shù)的圖象上，連接BD，交反比例函數(shù)圖象于點C，若，的面積是24．則k的值是_________．
【答案】
【分析】作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，由S△ABD=BE?AD=24可得BE長度，根據(jù)△DCO∽△DBA，△OCF∽△ABE可得CF=BE=4，，用含k代數(shù)式表示OF，AE，進而求解．
【詳解】解：作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，
∵點D為點A關(guān)于y軸對稱點，
∴D坐標為（-3，0），
∴AD=6，
∵S△ABD=BE?AD=24，
∴BE=8，
∵OC∥AB，
∴△DCO∽△DBA，
∴，，
∵△OCF∽△ABE，
∴，
∴CF=BE=4，
∵B，C在圖象上，
∴，
∵，
∴，
解得k=-8．
故答案為：-8．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)與三角形的綜合應用，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，通過添加輔助線求解．
4．如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖像上，延長AB交x軸于C點，且點B是AC的中點，則的面積=________．
【答案】12
【分析】作，設，即可表示的面積，再利用中點坐標公式表示B點坐標，利用B點在反比例圖像上即可求解．
【詳解】解：作，設，，
，
，
B點是AC中點，
B點坐標，
B點在反比例圖像上，
，
又，
，
∴，
故答案是：．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)的綜合運用、中點坐標公式和設而不解的方程思想，屬于中檔難度的題型．解題的關(guān)鍵是設而不解的方程思想．此外設有兩點，則的中點坐標是：．
5．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點P，且AC過原點O，DB交x軸于點Q，軸，點C的坐標為（9，6），反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過A，P兩點，則△OPQ的面積是______．
【答案】##
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得對角線與互相垂直且平分，再過點和點作軸的垂線，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，，再證明，求出，最后利用三角形的面積公式求出△OPQ的面積即可．
【詳解】解：在菱形中，對角線與互相垂直且平分，
，
經(jīng)過原點，且反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過A，兩點，
由反比例函數(shù)圖象的對稱性知：
，
，
過點和點作軸的垂線，垂足為和，如圖所示：
∵軸，軸，
∴，
，
，
點的坐標為，
，，
，，
∴，
∵四邊ABCD為菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，，．
6．如圖，過點作軸，軸，點，都在直線上，若反比例函數(shù)的圖像與總有公共點，則的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】由已知點C與直線，則是確定的，故要考慮反比例函數(shù)圖像與有公共點，分兩個方面討論：①反比例函數(shù)圖像過點C或在點C上方；②反比例函數(shù)圖像與直線有公共點；①、②兩個方面同時滿足，即可得解．
【詳解】根據(jù)題意，若反比例函數(shù)的圖像與總有公共點，則反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點C或在點C上方，且反比例函數(shù)圖像與直線有公共點；
①當反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點C或在點C上方時，則，
；
②當反比例函數(shù)圖像與直線有公共點時，
由消去y元整理得，一元二次方程有實數(shù)根，
，
由①②可知，k的取取值范圍是．
故答案為：．
【我思故我在】此題考查了反比例函數(shù)的圖像與點、直線的位置關(guān)系的問題，熟練運用方程組的思想與方法是解此題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知點A的橫坐標與縱坐標相等，點B（0，2），點A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于C點，則△ABC面積為_____．
【答案】20
【分析】過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，證明△AEF≌△FDB（AAS），設BD＝a，則EF＝a，由點A（4，4）和點B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），進而求得直線AC的解析式為y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【詳解】解：∵點A在反比例函數(shù)y的圖象上，且點A的橫坐標與縱坐標相等，
∴A（4，4），
過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，
∵，則△ABF為等腰直角三角形，
∴
在△AEF與△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
設BD＝a，則EF＝a，
∵點A（4，4）和點B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，則y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴20，
故答案為：20．
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，己知是x軸上的點，且，分別過點作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點，過點作于點，過點作于點……，記的面積為，的面積為……，的面積為，則____________．
【答案】
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=A6A7=1可知B1點的坐標為（1，），B2點的坐標為（2，），B3點的坐標為（3，）…B6點的坐標為（6，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面積公式可得出S1、S2、S3…S6的值，故可得出結(jié)論．
【詳解】∵OA1=A1A2=A2A3=…= A6A7=1，
∴設B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B6（6，y6），
∵B1，B2，B3…B7在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，
∴，，，
；
；
，
…
，
∴S1+S2+S3+…+S6==，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
9．如圖，點A為函數(shù)y＝(x＞0)圖象上一點，連接OA，交函數(shù)y＝(x＞0)的圖象于點B，點C是x軸上一點，且AO＝AC，則△ABC的面積為______.
【答案】6
【分析】作輔助線，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系式得：S△AOD=, S△BOE=，再證明△BOE∽△AOD，由性質(zhì)得OB與OA的比，由同高兩三角形面積的比等于對應底邊的比可以得出結(jié)論．
【詳解】如圖，分別作BE⊥x軸，AD⊥x軸，垂足分別為點E、D，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=S△AOC，
∵點A為函數(shù)y=（x＞0）的圖象上一點，
∴S△AOD=，
同理得：S△BOE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為6．
10．點P，Q，R在反比例函數(shù)（常數(shù)k＞0，x＞0）圖象上的位置如圖所示，分別過這三個點作x軸、y軸的平行線．圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，則S2的值為_______．
【答案】
【分析】利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意知：矩形的面積

同理：矩形，矩形的面積都為，

故答案為：
【我思故我在】本題考查的是矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、B均在函數(shù)（x＞0）的圖象上，點C在y軸正半軸上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若點B的橫坐標是點A橫坐標的2倍，則△ABC的面積為 _____．
【分析】過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，設點A的坐標為，C（0，c），則B，可證△CAM≌△BCN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出a、c的方程組，求得a、c，由勾股定理可求AC的長，即可求△ABC的面積．
【詳解】解：過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，
設點A的坐標為，C（0，c），則B，
∴AM＝a，BN＝2a，OC＝c，CM＝，CN＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵∠CMA＝∠BNC＝90°，
∴△CAM≌△BCN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝CN，
即，
解得或（舍），
∴AM＝1，CM＝3，
∴，
∴．
故答案為：2.5
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
12．如圖，和均為正三角形，且頂點B、D均在雙曲線上，連接交于P，連接，則圖中是_________
【答案】8
【分析】先根據(jù)和均為正三角形可知，故可得出，所以，過點B作于點E，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖：
∵和均為正三角形，
∴，
∴，
∴，
過點B作于點E，則，
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴．
故答案為：8．
【我思故我在】本題考查的是反比例函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義等知識，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，若點M是x軸正半軸上一點，過點M作軸，分別交函數(shù)和函數(shù)的圖像于兩點，連接，則的面積為___________。
【答案】2.5
【分析】由軸可知，拆分即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵軸，
∴軸，軸，
∴，
又∵，
∴．
故答案為：2.5
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是通過拆分三角形求出的面積．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出和，再根據(jù)三角形之間的關(guān)系得出結(jié)論．
14．如圖，點、分別是軸上的兩點，點、分別是反比例函數(shù)，圖像上的兩點，且四邊形是平行四邊形，則平行四邊形的面積為 ________．
【答案】8
【分析】連接OC、OD，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出和的面積，從而求出平行四邊形的面積．
【詳解】解：如圖，連接OC、OD，CD交y軸于E，
∵點C，D分別是反比例函數(shù)，圖象上的兩點，
，，
，
．
故答案為：8．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是正確解答的關(guān)鍵．
15．如圖，點、、、在反比例函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標依次為1、2、3、4……，過這些點分別作x軸、y軸的垂線，圖中陰影部分的面積從左到右依次為、、……，則______．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，求出的坐標，再用平移法和反比例函數(shù)的幾何意義進行求解即可．
【詳解】解：當，
∴，
由圖象可知：
∴，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)與幾何的面積問題．熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義，利用平移法解決面積問題是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，平行四邊形OABC的頂點O，B在y軸上，頂點A在y＝（k1＜0）上，頂點C在y＝（k2＞0）上，則平行四邊形OABC的面積是_____．
【答案】
【分析】過點A作AE⊥y軸于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義解題即可．
【詳解】解：過點A作AE⊥y軸于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵平行四邊形OABC，
∴AE=CD，AB=CO，
∴，
在反比例函數(shù)y＝中，△COD的面積=，
∴△ABE的面積=△COD的面積=，
同理得△AOE的面積=△CBD的面積=，
綜上平行四邊形OABC的面積為．
故答案為．
【我思故我在】本題主要考查反比例函數(shù)中k的幾何意義，能夠熟練運用平行四邊形的性質(zhì)得到面積之間的關(guān)系并結(jié)合幾何意義解題是解題關(guān)鍵．
17．如圖，A、B兩點分別在反比例函數(shù)（x＞0）和（x＞0）的圖象上，且ABx軸，C為x軸上任意一點，則△ABC的面積為 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，得出-1=1，進而求解即可．
【詳解】解：如圖，延長BA交y軸于點M，連接OA，OB，
∵直線AB與x軸平行，
∵
∴，
故答案為：1．
【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，k的幾何意義，理解反比例函數(shù)k的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．
18．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E和點A，點B、C在x軸上，的面積為6，則______________．
【答案】8
【分析】如圖作EF⊥BC，由矩形的性質(zhì)可知，設E點坐標為（a，b），則A點坐標為（c，2b），根據(jù)點A，E在反比例函數(shù)上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可列出ab=k=2bc，根據(jù)三角形OEC的面積可列出等式，進而求出k的值．
【詳解】解：如圖作EF⊥BC，則，
設E點坐標為（a，b），則A點的縱坐標為2b，
則可設A點坐標為坐標為（c，2b），
∵點A，E在反比例函數(shù)上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案為：8．
【我思故我在】本題考查矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖形，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，能夠熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．
19．如圖，是函數(shù)圖象上的一點，是軸上任意一點，過點作軸的垂線，交函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象于點，交軸于點，連接，，則的面積為_________．
【答案】
【分析】連接OP，OB，根據(jù)PB⊥y軸，可知PB∥x軸，推出．
【詳解】連接OP，OB，
∵PB⊥y軸，
∴PB∥x軸，
∴
．
故答案為：．
【我思故我在】本題主要考查了反比例函數(shù)，三角形面積，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例系數(shù)k的幾何意義．
20．如圖，A是雙曲線上的一點，點C是OA的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為D，交雙曲線于點B，則△ABD的面積是___________．
【答案】4
【分析】根據(jù)點C是OA的中點，根據(jù)三角形中線的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,進而可得S△ABD = S△OBD,根據(jù)點B在雙曲線上，BD⊥ y軸，可得S△OBD=4，進而即可求解．
【詳解】點C是OA的中點，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,
點B在雙曲線上，BD⊥ y軸，
∴S△OBD=×8=4,
∴S△ABD =4,
答案為：4.
【我思故我在】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
21．在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“倒數(shù)點”．如圖，矩形的頂點C為，頂點E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點A．若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形的一邊上，則的面積為_________．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意，點B不可能在坐標軸上，可對點B進行討論分析：①當點B在邊DE上時；②當點B在邊CD上時；分別求出點B的坐標，然后求出的面積即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵點稱為點的“倒數(shù)點”，
∴，，
∴點B不可能在坐標軸上；
∵點A在函數(shù)的圖像上，
設點A為，則點B為，
∵點C為，
∴，
①當點B在邊DE上時；
點A與點B都在邊DE上，
∴點A與點B的縱坐標相同，
即，解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；
∴點B為，
∴的面積為：；
②當點B在邊CD上時；
點B與點C的橫坐標相同，
∴，解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；
∴點B為，
∴的面積為：；
故答案為：或．
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程，坐標與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論的思想進行分析．
22．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，Rt△OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，點A在第一象限，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C．交AB于點D，連結(jié)CD．若△ACD的面積是2，則k的值是_____．
【答案】
【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△OCE=S△OBD=k，根據(jù)OA的中點C，利用△OCE∽△OAB得到面積比為1：4，代入可得結(jié)論．
【詳解】解：連接OD，過C作CE∥AB，交x軸于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，
∴k＝，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．

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