一、選擇題
1．拋物線y＝ eq \f(1,4)x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
答案：B
解析：y＝ eq \f(1,4)x2可化為x2＝4y，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 eq \f(1,2)×4＝2.
2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
答案：B
解析：∵y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－ eq \f(p,2)，又準(zhǔn)線過點(diǎn)(－1，1)，∴－ eq \f(p,2)＝－1，∴p＝2，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).
3．動點(diǎn)M到點(diǎn)F(2，1)的距離和到直線l：3x＋4y－10＝0的距離相等，則動點(diǎn)M的軌跡為( )
A．拋物線 B．直線 C．線段 D．射線
答案：B
解析：∵F(2，1)在直線l：3x＋4y－10＝0上，∴動點(diǎn)M的軌跡為過點(diǎn)F且與直線l垂直的直線．
4．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線 eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
答案：B
解析：∵ eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)為(2，0)，∴ eq \f(p,2)＝2，p＝4.
5．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝( )
A.2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
答案：B
解析：由已知條件，易知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.又B(3，0)，則|AF|＝|BF|＝2.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A(x0，2 eq \r(x0)).根據(jù)拋物線的定義可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2 eq \r(2).故選B.
6．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓 eq \f(x2,3p)＋ eq \f(y2,p)＝1的一個焦點(diǎn)，則p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案：D
解析：由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(± eq \r(2p)，0)，所以 eq \f(p,2)＝ eq \r(2p)，解得p＝8，故選D.
7.
如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案：B
解析：
如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，從而得a＝ eq \f(4,3)，∵AE∥FG，∴ eq \f(FG,AE)＝ eq \f(CF,AC)，即 eq \f(p,4)＝ eq \f(4,8)，得p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.故選B.
8．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2＝2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4) C．3 D．－3
答案：B
解析：當(dāng)AB與x軸垂直時，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4)；
當(dāng)AB與x軸不垂直時，
設(shè)l：y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋ eq \f(k2,4)＝0
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)
由韋達(dá)定理得x1＋x2＝ eq \f(k2＋2,k2)，x1x2＝ eq \f(1,4)，
∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,2)))
＝(1＋k2)x1x2－ eq \f(1,2)k2(x1＋x2)＋ eq \f(k2,4)＝－ eq \f(3,4).
9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，y0)時，△AEF為正三角形，則此時△OAB的面積為( )
A． eq \f(4\r(3),3) B． eq \r(3) C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3)
答案：A
解析：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，
如圖所示，過點(diǎn)F作AE的垂線，垂足為H，由題知當(dāng)A的坐標(biāo)為(3，y0)時△AEF為正三角形，此時H為AE的中點(diǎn)，|AE|＝3＋ eq \f(p,2)，|EH|＝p，∴2p＝3＋ eq \f(p,2)，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，2 eq \r(3))，F(xiàn)(1，0)，∴kAF＝ eq \r(3)，直線AF的方程為y＝ eq \r(3)(x－1)，代入拋物線方程得3(x－1)2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3)，此時y1＝2 eq \r(3)，y2＝－ eq \f(2\r(3),3)，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝ eq \f(1,2)×1×( eq \f(2\r(3),3)＋2 eq \r(3))＝ eq \f(4\r(3),3)，故選A.
二、填空題
10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________．
答案：x＝－ eq \f(3,2)
解析：拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∵P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為 eq \f(p,2)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為±p，
不妨設(shè)P( eq \f(p,2)，p)，
因為Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，所以Q在F的右側(cè)，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋ eq \f(p,2)，0)，∴ eq \(PQ,\s\up6(→))＝(6，－p)
因為PQ⊥OP，所以 eq \(PQ,\s\up6(→))· eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(p,2)×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－ eq \f(3,2).
11．已知點(diǎn)A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(5)))在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為________．
答案： eq \f(9,4)
解析：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－ eq \f(5,4)，所以A到準(zhǔn)線的距離為1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝ eq \f(9,4).
12．已知直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點(diǎn)，則k的值為________．
答案：0或1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，滿足題意；若k≠0，則Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.綜上得k＝0或k＝1.
[能力提升]
13．(多選)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－ eq \r(3)(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則( )
A．p＝2
B．|MN|＝ eq \f(8,3)
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
答案：AC
解析：由題意，易知直線y＝－ eq \r(3)(x－1)過點(diǎn)(1，0).
對于A，因為直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以 eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以A選項正確．
對于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x10)，則點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，2 eq \r(m))或(m，－2 eq \r(m))，|PB|＝m＋1.當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2 eq \r(m))時，|PA|＝ eq \r(m2＋（2\r(m)＋4）2)，∵|PA|＝|PB|，∴|PA|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16 eq \r(m)＝m2＋1＋2m，化簡得2m＋15－16 eq \r(m)＝0，解得m1＝ eq \f(49,2)＋4 eq \r(34)，m2＝ eq \f(49,2)－4 eq \r(34)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2 eq \r(m))時，|PA|＝ eq \r(m2＋（2\r(m)＋4）2)，同理，由|PA|＝|PB|，得2m＋16 eq \r(m)＋15＝0，解得 eq \r(m)＝ eq \f(－8＋\r(34),2)0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方)，則 eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
答案：3
解析：
如圖所示，由題意得準(zhǔn)線l：x＝－ eq \f(p,2).作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，BH⊥AC于點(diǎn)H，則|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因為在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cs 60°＝ eq \f(|AH|,|AB|)＝ eq \f(|AF|－|BF|,|AF|＋|BF|)，
即 eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得 eq \f(|AF|,|BF|)＝3.

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