新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題專練14函數(shù)模型及其應(yīng)用（含詳解）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1．[2023·河北唐山一中期中]某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時(shí)間t(單位：時(shí))滿足p(t)＝p0×2－ eq \f(t,30) ，其中p0為t＝0時(shí)的污染物數(shù)量．又測(cè)得當(dāng)t∈[0，30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln 2，則p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
2．[2023·廣東惠州調(diào)研]為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚．假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為2 000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過(guò)1億元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( )
A．2030年 B．2029年
C．2028年 D．2027年
3．2023年6月4日6時(shí)30分許，神舟十五號(hào)載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域安全著陸，神舟十五號(hào)載人飛船是使用長(zhǎng)征二號(hào)F遙十五運(yùn)載火箭發(fā)射成功的．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)的函數(shù)關(guān)系式為v＝2 000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) .如果火箭的最大速度達(dá)到12 km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是( )
A.M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D． eq \f(M,m) ＝e6－1
4．中國(guó)的5G技術(shù)處于領(lǐng)先地位，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N))) .它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中 eq \f(S,N) 叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比 eq \f(S,N) 從1 000提升至4 000，則C大約增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )
A．10% B．20% C．50% D．100%
5．[2023·重慶巴蜀中學(xué)月考]2019年7月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減小”這一規(guī)律．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t(年)的衰變規(guī)律滿足：N＝N0·2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) (N0表示碳14原來(lái)的質(zhì)量)，經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城某文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的0.6倍，據(jù)此推測(cè)良渚古城遺址存在的時(shí)期距今大約是(參考數(shù)據(jù)：lg23≈1.6，lg25≈2.3)( )
A．3 440年 B．4 010年
C．4 580年 D．5 160年
二、填空題
6．某品牌手機(jī)銷售商今年1，2，3月份的銷售量分別是1萬(wàn)部，1.2萬(wàn)部，1.3萬(wàn)部，為估計(jì)以后每個(gè)月的銷售量，以這三個(gè)月的銷售量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該品牌手機(jī)的銷售量y(單位：萬(wàn)部)與月份x之間的關(guān)系，現(xiàn)從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函數(shù)y＝abx＋c(b＞0，b≠1)中選用一個(gè)效果好的函數(shù)進(jìn)行模擬，如果4月份的銷售量為1.37萬(wàn)部，則5月份的銷售量為________萬(wàn)部．
7．已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件(0＜x≤25)并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)(單位：萬(wàn)元)，且R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(108－\f(1,3)x2（0＜x≤10），,－x＋\f(175,x)＋57（10＜x≤25）.))
當(dāng)年產(chǎn)量為________千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大．(注：年利潤(rùn)＝年銷售收入－年總成本)
8．網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2017年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(萬(wàn)件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t(萬(wàn)元)之間滿足x＝3－ eq \f(2,t＋1) 的函數(shù)關(guān)系．已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元．若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)為________萬(wàn)元．
專練14 函數(shù)模型及其應(yīng)用
1．C 因?yàn)楫?dāng)t∈[0，30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝ eq \f(\f(1,2)p0－p0,30－0) ，所以p0＝600ln 2.因?yàn)閜(t)＝p0×2－ eq \f(t,30) ，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
2．B 設(shè)經(jīng)過(guò)n年后，投入資金為y萬(wàn)元，則y＝2 000·(1＋20%)n.
由題意得2 000(1＋20%)n＞10 000，即1.2n＞5，則n lg 1.2＞lg 5，所以n＞ eq \f(lg 5,lg 1.2) ≈ eq \f(0.70,0.08) ＝8.75，所以n＝9，即2029年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過(guò)1億元．
3．D 12 km/s＝12 000 m/s，所以12 000＝2 000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ，所以ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ＝6，則1＋ eq \f(M,m) ＝e6，所以 eq \f(M,m) ＝e6－1，故選D．
4．B 將信噪比 eq \f(S,N) 從1 000提升至4 000時(shí)，C增加了 eq \f(Wlg2（1＋4 000）－Wlg2（1＋1 000）,Wlg2（1＋1 000）) ≈
eq \f(lg24 000－lg21 000,lg21 000) ＝ eq \f(2,3lg210) ＝ eq \f(2,3) lg 2≈ eq \f(2,3) ×0.301 0≈0.2＝20%，故C大約增加了20%，選B.
5．B 由題得0.6·N0＝N0·2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) ，即2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) ＝ eq \f(3,5) ，
兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，則有 eq \f(－t,5 730) ＝lg2 eq \f(3,5) ＝lg23－lg25≈－0.7，
故t≈0.7×5 730＝4 011年，最符合題意的選項(xiàng)為B.
6．1.375
解析：由題意可知，當(dāng)選用函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c時(shí)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，)) ∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3；
當(dāng)選用函數(shù)g(x)＝abx＋c時(shí)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.
∵g(4)比f(wàn)(4)更接近于1.37，∴選用函數(shù)g(x)＝abx＋c模擬效果較好，∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的銷售量為1.375萬(wàn)部．
7．9
解析：設(shè)該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)為f(x)，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－ eq \f(x3,3) －100；
當(dāng)10＜x≤25時(shí)，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.
故f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(81x－\f(x3,3)－100（0＜x≤10），,－x2＋30x＋75（10＜x≤25）.))
當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，
得當(dāng)x∈(0，9)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(9，10)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．
故f(x)max＝f(9)＝81×9－ eq \f(1,3) ×93－100＝386.
當(dāng)10＜x≤25時(shí)，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.
綜上，當(dāng)x＝9時(shí)，年利潤(rùn)取最大值，為386.
所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大．
8．37.5
解析：由題意，產(chǎn)品的月銷量x(萬(wàn)件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t(萬(wàn)元)之間滿足x＝3－ eq \f(2,t＋1) ，
即t＝ eq \f(2,3－x) －1(1＜x＜3)，
所以月利潤(rùn)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(48＋\f(t,2x))) x－32x－3－t＝16x－ eq \f(t,2) －3＝16x－ eq \f(1,3－x) － eq \f(5,2) ＝45.5－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(16（3－x）＋\f(1,3－x))) ≤45.5－2 eq \r(16) ＝37.5，
當(dāng)且僅當(dāng)16(3－x)＝ eq \f(1,3－x) ，即x＝ eq \f(11,4) 時(shí)取等號(hào)，
即該公司最大月利潤(rùn)為37.5萬(wàn)元．

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