一、選擇題
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
2．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＋2x且曲線y＝g(x)在x＝1處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．已知曲線y＝aex＋x ln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則( )
A．a(chǎn)＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1
C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1
4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
6．已知曲線y＝ eq \f(x2,4) －3ln x的一條切線的斜率為－ eq \f(1,2) ，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )
A．3 B．2
C．1 D． eq \f(1,2)
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cs x的導(dǎo)函數(shù)，且f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),4) ，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(3,4) D．1
8．已知曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1，1)處的切線與二次曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．8
9．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)于任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
二、填空題
10．已知物體運(yùn)動(dòng)的位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝ eq \f(1,2) t3－t，則當(dāng)t＝2時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度為________．
11．已知函數(shù)f(x)＝ex ln x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為________．
12．若曲線y＝e－x在點(diǎn)P處的切線與直線2x＋y＋1＝0平行，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
[能力提升]
13．函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
14．(多選)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2x2－x，若過點(diǎn)P(1，t)可作曲線y＝f(x)的三條切線，則t的取值可以是( )
A．0 B． eq \f(1,27)
C． eq \f(1,28) D． eq \f(1,29)
15．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－1)ex＋3e的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則直線l的橫截距為________．
16．[2022·新高考Ⅰ卷]若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．
專練15 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
1．D ∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
2．B ∵曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函數(shù)f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為4.故選B.
3．D 因?yàn)閥′＝aex＋ln x＋1，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝ae＋1，所以曲線在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝e－1,b＝－1.))
4．C ∵函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，
∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
5．D ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x，故選D.
6．B 令y′＝ eq \f(2x,4) － eq \f(3,x) ＝－ eq \f(1,2) ，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，故選B.
7．B ∵f′(x)＝cs x－a sin x，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) a＝ eq \f(\r(2),4) ，得a＝ eq \f(1,2) .
8．D 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋ eq \f(1,x) ，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝2，∴切線方程為y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋（a＋2）x＋1，))
得ax2＋ax＋2＝0，
由題意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝a2－8a＝0，)) 得a＝8.
9．B 設(shè)g(x)＝f(x)－2x－4，
g′(x)＝f′(x)－2，
由題意得g′(x)>0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
又f(x)>2x＋4等價(jià)于g(x)>0，
∴原不等式的解為x>－1.
10．5
解析：由題知s′＝ eq \f(3,2) t2－1，故當(dāng)t＝2時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度為 eq \f(3,2) ×22－1＝5.
11．e
解析：f′(x)＝ex·ln x＋ eq \f(ex,x) ，∴f′(1)＝e.
12．(－ln 2，2)
解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
設(shè)P(x0，y0)，由題意得－e－x0＝－2，
∴e－x0＝2，∴－x0＝ln 2，x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2，2).
13．B f′(x)＝4x3－6x2，則f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由點(diǎn)斜式可得函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選B.
14．CD ∵f(x)＝－x3＋2x2－x，∴f′(x)＝－3x2＋4x－1.
由已知得，過點(diǎn)P(1，t)作曲線y＝f(x)的三條切線，情況如下：
①點(diǎn)P(1，t)在曲線上，此時(shí)切點(diǎn)為P(1，t)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得P(1，0)，利用切線公式得y＝f′(1)(x－1)，所以切線為x軸，但此時(shí)切線只有一條，不符合題意．
②點(diǎn)P(1，t)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，又切線經(jīng)過點(diǎn)P(1，t)，所以切線方程為y－t＝f′(x0)(x－1).
因?yàn)榍芯€經(jīng)過切點(diǎn)，所以y0－t＝(－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋4x0－1)(x0－1).
又因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以y0＝－x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋2x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －x0.
聯(lián)立方程得化簡(jiǎn)得t＝2x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －5x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋4x0－1.
令g(x)＝2x3－5x2＋4x－1，即t＝g(x)有三個(gè)解，即直線y＝t與y＝g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
令g′(x)＝6x2－10x＋4＝2(x－1)(3x－2)＝0，可得兩極值點(diǎn)為x1＝1，x2＝ eq \f(2,3) .
所以x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))) 和(1，＋∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) 時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)g(1)＝0＜t＜ eq \f(1,27) ＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) 時(shí)，滿足直線y＝t與y＝g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，而0＜ eq \f(1,29) ＜ eq \f(1,28) ＜ eq \f(1,27) ，故選CD.
15．－2
解析：因?yàn)閒′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切線l的斜率為f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3e)，所以切線l的方程為y－3e＝e(x－1).令y＝0，解得x＝－2，故直線l的橫截距為－2.
16．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).令f(x)＝(x＋a)ex，則f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝(x0＋1＋a)ex0.因?yàn)閥0＝(x0＋a)ex0，切線過原點(diǎn)，所以f′(x0)＝ eq \f(y0,x0) ，即(x0＋1＋a)·ex0＝ eq \f(（x0＋a）ex0,x0) .整理，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋ax0－a＝0.由題意知該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.

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