一、選擇題
1．函數(shù)y＝2x＋ eq \f(2,2x) 的最小值為( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，則 eq \f(1,ab) 的最小值為( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
3．下列結論正確的是( )
A．當x>0且x≠1時，lg x＋ eq \f(1,lg x) ≥2
B．當x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 時，sin x＋ eq \f(4,sin x) 的最小值為4
C．當x>0時， eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2
D．當00，y>0，x＋2y＝1，則 eq \f(xy,2x＋y) 的最大值為( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，則ab＋bc＋ac的最大值為( )
A．8 B．4
C．2 D．1
7．若直線 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1(a>0，b>0)過點(1，1)，則a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a與b相互垂直，則9x＋3y的最小值為( )
A．12 B．2
C．3 D．6
9．用一段長8 cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型面積的最大值為( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
二、填空題
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋ eq \f(1,8b) 的最小值為________.
11．已知函數(shù)f(x)＝4x＋ eq \f(a,x) (x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________．
12．[2023·山東聊城一中高三測試]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．
[能力提升]
13．[2023·合肥一中高三測試]若a，b都是正數(shù)，則 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b))) 的最小值為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．(多選)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則( )
A．a2＋b2≥ eq \f(1,2)
B．2a－b＞ eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2
D． eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2)
15．(多選)已知a，b，c為正實數(shù)，則( )
A．若a＞b，則 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a＋c,b＋c)
B．若a＋b＝1，則 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 的最小值為1
C．若a＞b＞c，則 eq \f(1,a－b) ＋ eq \f(1,b－c) ≥ eq \f(4,a－c)
D．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2的最小值為3
16．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
專練4 基本不等式
1．C 因為2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x) ≥2 eq \r(2x·\f(2,2x)) ＝2 eq \r(2) ，當且僅當2x＝ eq \f(2,2x) ，即x＝ eq \f(1,2) 時取“＝”．故選C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab) (當且僅當2a＝b，即：a＝1，b＝2時等號成立)，∴00，x＋2y＝1，
∴00，∴4x＋ eq \f(a,x) ≥2 eq \r(4x·\f(a,x)) ＝4 eq \r(a) ，
當且僅當4x＝ eq \f(a,x) ，即：x＝ eq \f(\r(a),2) 時等號成立，由 eq \f(\r(a),2) ＝3，a＝36.
12．2＋ eq \r(3)
解析：由3a＋b＝2ab，得 eq \f(3,2b) ＋ eq \f(1,2a) ＝1，
∴a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2b)＋\f(1,2a))) ＝2＋ eq \f(b,2a) ＋ eq \f(3a,2b) ≥2＋2 eq \r(\f(b,2a)·\f(3a,2b)) ＝2＋ eq \r(3) (當且僅當 eq \f(b,2a) ＝ eq \f(3a,2b) 即b＝ eq \r(3) a時等號成立).
13．C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b))) ＝5＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝9(當且僅當 eq \f(b,a) ＝ eq \f(4a,b) 即b＝2a時等號成立).
14．ABD 對于選項A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥ eq \f(1,2) ，正確；對于選項B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝ eq \f(1,2) ，正確；對于選項C，令a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(3,4) ，則lg2 eq \f(1,4) ＋lg2 eq \f(3,4) ＝－2＋lg2 eq \f(3,4) ＜－2，錯誤；對于選項D，∵ eq \r(2) ＝ eq \r(2（a＋b）) ，∴[ eq \r(2（a＋b）) ]2－( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2＝a＋b－2 eq \r(ab) ＝( eq \r(a) － eq \r(b) )2≥0，∴ eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2) ，正確．故選ABD.
15．BCD 因為a>b，所以 eq \f(a,b) － eq \f(a＋c,b＋c) ＝ eq \f(c（a－b）,b（b＋c）) ＞0，所以 eq \f(a,b) ＞ eq \f(a＋c,b＋c) ，選項A不正確；因為a＋b＝1，所以 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)＋a)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)＋b)) －(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，當且僅當a＝b＝ eq \f(1,2) 時取等號，所以 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 的最小值為1，故選項B正確；
因為a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c))) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a－b）＋（b－c）)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))
＝2＋ eq \f(b－c,a－b) ＋ eq \f(a－b,b－c) ≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c)) ＝4，當且僅當b－c＝a－b時取等號，所以 eq \f(1,a－b) ＋ eq \f(1,b－c) ≥ eq \f(4,a－c) ，故選項C正確；
因為a2＋b2＋c2＝ eq \f(1,3) [(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥ eq \f(1,3) (a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝ eq \f(1,3) [(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝ eq \f(1,3) (a＋b＋c)2＝3，當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立，所以a2＋b2＋c2的最小值為3，故選項D正確．
16．30
解析：一年的總運費為6× eq \f(600,x) ＝ eq \f(3 600,x) (萬元).
一年的總存儲費用為4x萬元．
總運費與總存儲費用的和為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 600,x)＋4x)) 萬元．
因為 eq \f(3 600,x) ＋4x≥2 eq \r(\f(3 600,x)·4x) ＝240，當且僅當 eq \f(3 600,x) ＝4x，即x＝30時取得等號，
所以當x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最?。?br>

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