2 高一數(shù)學下學期期中模擬試卷（新高考題型基礎(chǔ)卷2）-2023-2024學年高一數(shù)學下學期期中期末高效復習（人教A版必修第二冊）-試卷下載-教習網(wǎng)

考試范圍：第六章平面向量及其應用；第七章復數(shù)；第八章立體幾何初步
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）復數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題設(shè)，
所以.
故選：A
2．（2023·全國·高一專題練習）在2022年第二十四屆冬奧會上，中國代表隊創(chuàng)造了歷史最好成績，首都北京也成為第一座“雙奧之城”．如圖所示，坐落于北京的國家游泳中心（又稱“水立方”），是中國健兒為國爭光的地方，“水立方”可以抽象出的幾何體是（）．
A．圓柱B．四棱錐C．四棱臺D．長方體
【答案】D
【詳解】解：由圖可知，“水立方”是可以抽象為長方體模型，
故選：D
3．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在中，若為邊上的中線，點在上，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】如圖所示，在中，
因為為邊上的中線，
所以為的中點，
所以由平行四邊形法則有：
，
又點在上，且
所以，
所以
，
故選：A.
4．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學?？寄M預測）如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】連接與的延長線交于點, 連接與交于點,
因為 , 所以為的中點, 則為的中點,
所以截面為梯形 ,
因為所有棱長均為2,，
所以,,
,
,
故梯形的周長為 .
故選：D.
5．（2023·福建福州·高三福州三中校考階段練習）已知，為單位向量，且，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為，為單位向量，
由，
所以，
即，
設(shè)與夾角為，
則，
又，所以，
故選：C.
6．（2023·全國·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semi-regularslid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知，則該半正多面體外接球的表面積為（）
A．18πB．16πC．14πD．12π
【答案】A
【詳解】如圖，在正方體中，取正方體、正方形的中心、，連接，
∵分別為的中點，則，
∴正方體的邊長為，
故，可得，
根據(jù)對稱性可知：點到該半正多面體的頂點的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，
故該半正多面體外接球的表面積為.
故選：A.
7．（2023·河北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，E為PC的中點．平面與平面所成二面角的正切值是（）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【詳解】分別取的中點為，連接，
設(shè)，則.
因為是等邊三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
底面，
因為四棱錐的體積為，
所以，解得.
則，，所以，，
又因為底面為矩形，所以，
所以為平面與平面所成二面角的平面角，
.
故選：B
8．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若且，則的周長的最大值為（）
A．15B．16C．17D．18
【答案】A
【詳解】由已知及正弦定理得，
∴，
所以，因為，
所以，即，因為，
所以，從而，
由余弦定理得，即，
又，
∴，即，
∴，當且僅當時等號成立，從而，
∴的周長的最大值為15.
故選：A.
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9．（2023·高一單元測試）已知復數(shù)滿足，則（）
A．的虛部是B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】∵，∴，
故，據(jù)此可判斷
A項，的虛部為-1，故A項錯誤；
B項，，故，故B項正確；
C項，，故C項正確；
D項，，故D項正確；
故選：BCD.
10．（2023春·河北邯鄲·高三大名縣第一中學?？茧A段練習）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】CD
【詳解】A選項，若，，則可能異面，A選項錯誤.
B選項，若，，則可能相交，B選項錯誤.
C選項，若，，則（線面垂直的性質(zhì)定理），C選項正確.
D選項，若，，則（垂直于同一條直線的兩個平面平行），D選項正確.
故選：CD
11．（2023·全國·高一專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，，以下結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．的面積為
【答案】ACD
【詳解】在中，
∵，則，整理得，所以，
由二倍角公式得，解得，
在中，則，故選項A正確；
在中，則，故選項B錯誤；
由題意可知：，即，
由，解得，故選項C正確；
在中，
∵，則，
∴，故選項D正確.
故選：ACD.
12．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）在正方體中，為線段上的動點，則（）
A．平面
B．平面
C．三棱錐的體積為定值
D．直線與所成角的取值范圍是
【答案】ABC
【詳解】選項A，，四邊形是平行四邊形，
平面，平面，平面；
，四邊形是平行四邊形，
平面，平面，平面；
又，且平面，平面，
所以平面平面，而為線段上的動點，平面，
平面，正確；
平面，平面，，
，，平面，平面，
而平面，，
同理可證，，又，平面，
平面，正確；
選項C，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，
由選項A可得，平面，平面平面，則到平面的距離為定值，又底面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，正確；
選項D，，直線與所成角即直線與所成角，
在中，當點與或重合時，取到最小值，
當點在線段中點時，取到最大值，故錯誤.
故選：ABC.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知復數(shù)，要讓z為實數(shù)，則實數(shù)m為________.
【答案】2
【詳解】為實數(shù)，則，．
故答案為：2.
14．（2023·全國·高一專題練習）如圖的四面體中，所以棱長均相等，每個面都是全等的正三角形，分別是棱的中點，則直線與平面所成角的大小為______.
【答案】
【詳解】
如圖，連接，
由題意得，四面體為正四面體，
所以，，
因為與點，平面，平面，
所以平面，
所以直線與平面所成角的大小為.
故答案為：.
15．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校考學業(yè)考試）在中，，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為________．
【答案】##
【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，如圖所示
由題意可知，設(shè)，
所以，
所以，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當時，取最小值為.
故答案為：.
16．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面米，米，與底面所成角的正切值為2.已知螞蟻從點出發(fā)，沿著側(cè)面走到上的一點，再沿著側(cè)面繼續(xù)走到棱上，則這只螞蟻從點出發(fā)到達棱的最短路程為_______米，這只螞蟻的最短路線與的交點到底面的距離為______米.
【答案】 2 ##1.5
【詳解】因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，
所以AC=5米.因為AD與底面BCD所成的角為∠ADB，所以tan∠ADB==2，所以BD=2米.將側(cè)面ABD翻折至與平面ABC共面，如圖所示.AC=CD=5米，AD=2米，取AD的中點E，連接CE，交AB于F，則CE⊥AD，螞蟻的最短路線為C→F→E，最短路程為CE=2米，最短路線與AB的交點為F.取BD的中點G，連接EG，則EG=AB=2米，BG=BD=1米，根據(jù)△CBF∽△CGE，得==，則FB=EG=，故這只螞蟻的最短路線與AB的交點到底面BCD的距離為米.
故答案為：；.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17．（2023·高一單元測試）已知復數(shù)，．
(1)若z是實數(shù)，求m的值．
(2)若z是純虛數(shù)，求m的值．
(3)若z對應復平面上的點在第四象限，求m的范圍；
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【詳解】（1）因為為實數(shù)，
所以，解得或.
（2）因為是純虛數(shù)，所以有，解得.
（3）因為對應復平面上的點在第四象限，所以有，
解得.
18．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)是不共線的兩個向量．
(1)若，求證：三點共線；
(2)若與共線，求實數(shù)的值．
【答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）證明:因為，
而
所以，
所以與共線，且有公共點，
所以三點共線
（2）因為與共線
所以存在實數(shù)，使得，
因為與不共線，
所以，
解得，.
19．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得PA//平面DEF？并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析
(2)能；證明見解析
【詳解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．
（2）連接DE，EF，DF，設(shè)DE交AC于點H，連接HF
因為PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；
由于底面ABCD為菱形，為的中點，易證，所以，由PA//，可得，
所以存在點為棱上靠近的三等分點，可使PA//平面DEF.
20．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知，，
所以，
則，
又，所以，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，由正弦定理得，
又，，所以．
因為，所以，所以，
故，即的取值范圍為．
21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？茧A段練習）如圖，在幾何體中，底面四邊形是正方形，平面和平面交于．
(1)求證：；
(2)若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使得幾何體存在，并求三棱錐的體積．
條件①：平面平面；
條件②：平面平面；
條件③：，．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)只有條件①符合，體積為
【詳解】（1）在正方形中，，平面，平面
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，又，所以．
（2）由（1）知，，，，
所以四邊形為等腰梯形，為梯形，
選條件①：平面平面，
過點作于，連接，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
則，，
又，平面平面，所以平面，
所以；
選條件②：平面平面，且平面平面，
又，平面，平面，，
此時四邊形不為等腰梯形，故條件②不符合；
條件③：，，平面，平面，，
則平面，即平面，
又平面，，此時四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合．
22．（2023秋·四川南充·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱中，為上的點，為上的點，M，N分別為BA，BE的中點，平面．
(1)證明：M，N，F(xiàn)，C四點共面，且平面平面；
(2)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）證明：∵M、N分別為AB、BE的中點，
∴，
∵為正三棱柱，
∴,
∴,
∴M、N、F、C四點共面，
∵為正三棱柱，
∴平面平面，為等邊三角形，
∵為的中點，
∴，又平面平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，平面，
∴，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面；
（2）取的中點，過點作的垂線交于，連接，
由題可得，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∴為平面與平面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，．
由（1）可得四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，又，，
由得：，
所以，
∴，
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

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