4 高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬試卷（新高考題型提高卷2）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)（人教A版必修第二冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試范圍：第六章平面向量及其應(yīng)用；第七章復(fù)數(shù)；第八章立體幾何初步
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）在中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
所以
所以
故選：D.
2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則（）
A．B．C．1D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故，
則，即，
由，得，結(jié)合，解得，
則，故.
故選：C.
3．（2022春·浙江紹興·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）法國(guó)羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高，底寬，則塔身的表面積（精確到是（可能用到的參考數(shù)據(jù)：，
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，正四棱錐，底面，，，
則，所以，
作，則
所以該塔身的表面積
故選：．
4．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意的平面向量，下列說(shuō)法正確的是（）
A．若且，則B．若，且，則
C．若且，則D．
【答案】C
【詳解】對(duì)A，若且，則當(dāng)為零向量時(shí)，與不一定共線，即A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若，則，
又，所以，
因?yàn)榕c的夾角不一定相等，所以不一定成立，即B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若且，則，即C正確；
對(duì)D，因?yàn)榕c共線，與共線，
所以不一定成立，即D錯(cuò)誤.
故選：C．
5．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
如圖，設(shè)圓錐與圓錐公共底面圓心為，兩圓錐公共底面圓周上一點(diǎn)，底面半徑，
設(shè)球心為，球的半徑，
由已知，，∴，
∴在直角中，，
∵底面積相同的圓錐，高較大者體積較大，
∴體積較小圓錐的高，
體積較大圓錐的高，
∴體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.
故選：A.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，若P為該正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A．[2，6]B．[-2，6]C．[4，12]D．[-4，12]
【答案】B
【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為2，
所以，，，
設(shè)，
則，
所以，
由題意可知，
所以，
所以，
即.
故選：B
7．（2023春·河南·高三洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則周長(zhǎng)的最小值為（）
A．7B．C．D．4
【答案】C
【詳解】由題可得，，即，
又，所以，則，
因?yàn)?，所以，則，
所以，即，
又因?yàn)?，?br>所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，
故周長(zhǎng)的最小值為.
故選：C.
.
8．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，、分別為體對(duì)角線和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【詳解】如圖,連接,取中點(diǎn),過(guò)作面，垂足為,
在正方體中,平面,且平面,
平面平面,
平面平面,且平面，
平面,
為的中點(diǎn),
,
故,而對(duì)固定點(diǎn),當(dāng)時(shí),最小,
此時(shí)由面，面，，又,
，且面，故面，又面,
則面面，根據(jù)三棱錐特點(diǎn)，可知，而易知為等腰直角三角形，可知為等腰直角三角形,
.
故選：D.
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A．B．z的實(shí)部為1C．D．
【答案】BD
【詳解】由得：，因此A錯(cuò)誤，實(shí)部為1，則B正確，，故C錯(cuò)誤，，故D正確.
故選:BD
10．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸?y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系xOy中，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．與的夾角為
【答案】BCD
【詳解】,故A錯(cuò)，C對(duì)，，故B對(duì)，
，由于，故，故D對(duì).
故選：BCD
11．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，則（）
A．B．三棱錐與三棱錐體積相等
C．與平面所成角的正弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以異面直線與AC所成的角就是與AC所成的角．
因?yàn)?，所以為等邊三角形，?br>即異面直線與AC所成的角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知．，
又，所以，故B正確；
對(duì)于C，連接，BD．
因?yàn)锳C⊥平面，平面，所以．
同理可得，又，AC，平面，
所以平面，與平面所成的角θ為的余角，
，故C正確；
對(duì)于D，由C項(xiàng)知，，
所以與平面所成角的正弦值為，
所以到平面的距離為，故D正確．
故選：BCD.
12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點(diǎn)D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（）
A．B．△BOD為直角三角形
C．△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（3，9]D．AD的最大值為
【答案】ABD
【詳解】由題知，，由正弦定理可得，又△ABC為銳角三角形，所以，A正確；
連接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，即，故B正確；
△ABC周長(zhǎng)
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，故，所以，所以，
所以，所以，故C錯(cuò)誤；
易知，當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，所以AD的最大值為，D正確.
故選：ABD
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉是十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家，他巧妙地把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，得到公式，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，根據(jù)該公式，可得_________．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故答案為：.
14．（2023春·上?！じ叨Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等．螞蟻甲從A點(diǎn)沿表面經(jīng)過(guò)棱、爬到點(diǎn)，螞蟻乙從B點(diǎn)沿表面經(jīng)過(guò)棱爬到點(diǎn)．設(shè)，，若兩只螞蟻各自爬過(guò)的路程最短，則______
【答案】
【詳解】如圖所示，
將三棱柱沿著側(cè)棱展開，又因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則同理
所以，
又因?yàn)?，所?br>所以.
故答案為：.
15．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知向量，，，若，，則在方向上的投影是______．
【答案】##
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以?br>因?yàn)?，，所以，即，解得（?fù)值舍去），
所以，，所以，
所以在方向上的投影為，
故答案為：
16．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分面積是面積的2倍，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________；若的面積為1，當(dāng)最短時(shí)，______.
【答案】 ##
【詳解】由面積是面積的2倍，即，
如上圖，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，又平分，
所以，即，且，故，
若，又，則且，，
△中，，可得，故；
由角平分線性質(zhì)知：，則，
若，則，
又，即，則，故，
所以，可得，
由，
令，則，
所以時(shí)，即，此時(shí)，即.
故答案為：，.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)．
(1)若的實(shí)部與的模相等，求a的值；
(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）依題意，，
因?yàn)榈膶?shí)部與的模相等，
所以，整理得，
解得或，
所以或．
（2）因?yàn)?，又在?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，
所以解得，
所以a的取值范圍是．
18．（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，且.
(1)求；
(2)求與的夾角.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），故，
.
（2），設(shè)與的夾角為，，
則，，故.
19．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑，母線.
(1)求此圓錐的體積和側(cè)面展開圖扇形的面積；
(2)過(guò)點(diǎn)O在圓錐底面作OA的垂線交底面圓圓弧于點(diǎn)P，設(shè)線段SO中點(diǎn)為M，求異面直線AM與PS所成角的余弦值
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）圓錐SO的底面圓半徑，母線，所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積
圓錐的側(cè)面展開圖扇形的面積
（2）在圓錐中，作，交于，則異面直線AM與PS所成角為，
，，，
所以，
所以異面直線AM與PS所成角的余弦值為.
20．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖ABCD所示.為考慮露營(yíng)客人娛樂(lè)休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD、DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.
(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄（精確到0.1米）？
(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？
【答案】(1)247.4m
(2)應(yīng)使得，來(lái)修建觀賞步道.
【詳解】（1），
解得：，
因?yàn)镃是鈍角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔離防護(hù)欄；
（2）解法一：，
當(dāng)且僅達(dá)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)m，設(shè)，，
在中，，
解得：，
故
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)，即時(shí)，取的最大值為1，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)
答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
解法二：，
當(dāng)且僅達(dá)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)，
設(shè)，.則由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
從而，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
21．（2023秋·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；
（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍.
【答案】（1），證明見(jiàn)詳解；（2）
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，則.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
又，平面，平面
所以平面.
故當(dāng)時(shí)，平面.
（2）設(shè)是符合條件的邊上的點(diǎn).
因?yàn)槠矫?，平?br>所以，
又，，平面，平面
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
因此，點(diǎn)應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個(gè)公共點(diǎn).
則半徑，即.
所以.
22．（2022春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知梯形中，，，E為線段上一點(diǎn)（不在端點(diǎn)），沿線段將折成，使得平面平面.
(1)當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面平面；
(2)若與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，由題得，故，，且都在平面中，故平面.又平面，故
平面平面
（2）
如圖過(guò)作交于點(diǎn)，連，則平面平面，平面平面，，平面，故平面
所以是直線在平面上的投影
直線與平面所成角即為直線與直線所成角，即為
，又，
在Rt中，，
在Rt中，，則
，
在中，
，則
所以平面平面，平面平面，，平面，故平面
法1：由上易證平面平面
所以是的投影三角形
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為
則
法2：分別取的中點(diǎn)，連接
易證平面平面
所以平面與平面所成的銳二面角即為二面角所成角
由上可得平面，且可得中，
中，
過(guò)作交于點(diǎn)，連
由平面，且面
所以又，可證面
所以
所以為二面角的平面角
在Rt中，
所以

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