一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【詳解】由，得，
所以.
故選：B
2．（2023春·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的直觀圖，則是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．以上都有可能
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，則線(xiàn)段與軸必相交，令交點(diǎn)為，如圖（1）所以，
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，可得，點(diǎn)C在y軸上，可得，
如圖（2）所示，因此點(diǎn)必在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，所以，
所以是鈍角三角形．
故選：C．
3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）珠算是以算盤(pán)為工具進(jìn)行數(shù)字計(jì)算的一種方法，2013年年底聯(lián)合國(guó)教科文組織將中國(guó)珠算項(xiàng)目列入人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．算盤(pán)的每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面的兩顆珠叫“上珠”，下面的5顆叫“下珠”，從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】總共14顆算珠，其中上珠4顆，故從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為.
故選：C
4．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)P在CD上，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
又P，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，得.
故選：D.

5．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為，，，則，，的大小關(guān)系是（注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為，即，
平均數(shù)，
顯然第一四分位數(shù)位于之間，則，解得，
所以.
故選：A
6．（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）在正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則正四棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示
設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，
因?yàn)樵谡睦忮F中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，
所以，
在中，，即，
解得，所以外接球的體積為，
故選：C
7．（2023春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┯幸粋€(gè)解三角形的題因紙張破損有一個(gè)條件不清，具體如下：“在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，______，求角.”經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長(zhǎng)度，且答案提示.在同學(xué)的相互討論中，甲同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫(xiě)的條件為：“”；乙同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫(xiě)條件為“”，則下列判斷正確的是（ ）
A．甲正確，乙不正確B．甲不正確，乙正確
C．甲、乙都正確D．甲、乙都不正確
【答案】B
【詳解】可得，，
，
又，
由正弦定理得，
則，
解得，.
若條件為，
則由正弦定理得：，解得，
或，答案不唯一，不符合題意，
若條件為，
則由正弦定理得：，解得，
或，
，，答案唯一，符合題意，
故答案為，
故選：B.
8．（2023春·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)一中校考期中）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A．B．2C．D．
【答案】D
【詳解】連接，得，以所在直線(xiàn)為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，

當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則即為的最小值.
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：,
所以，即,
在三角形中，，，
由勾股定理可得：,且.
同理可求：，因?yàn)椋?br>所以為等邊三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故選：D.
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)一座連接中國(guó)香港、廣東珠海和中國(guó)澳門(mén)的橋隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度和頂尖的建造技術(shù)而聞名世界．港珠澳大橋?yàn)橹袊?guó)內(nèi)地前往中國(guó)香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡段統(tǒng)計(jì)了港珠澳大橋落地以后，由港珠澳大橋?qū)崿F(xiàn)中國(guó)內(nèi)地前往中國(guó)香港的老、中、青旅客的人數(shù)比為5：2：3，現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n名，若青年旅客抽到60人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．老年旅客抽到150人B．中年旅客抽到40人
C．D．被抽到的老年旅客和中年旅客人數(shù)之和超過(guò)200
【答案】BC
【詳解】因?yàn)槔?、中、青旅客的人?shù)比為5：2：3，青年旅客抽到60人，
所以，解得，
所以老年旅客抽到（人），
中年旅客抽到（人），100+40=140＜200．
故選：BC．
10．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3．從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6”，則（ ）
A．事件發(fā)生的概率為B．事件發(fā)生的概率為
C．事件是互斥事件D．事件相互獨(dú)立
【答案】ABC
【詳解】A選項(xiàng)，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有種情況，
其中抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5的情況有：，共3種情況，
故，A正確；
B選項(xiàng)，抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6的情況為：，共7種情況，
故中共有種情況，故，B正確；
C選項(xiàng)，由于事件中無(wú)相同情況，故，所以件是互斥事件，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，事件不互相?dú)立，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，關(guān)于的值，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)半徑為定值，弦越長(zhǎng)，的值就越大
B．當(dāng)弦長(zhǎng)度為定值，半徑越大，的值就越大
C．的值與弦的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)
D．的值與半徑的大小無(wú)關(guān)
【答案】AD
【詳解】設(shè)的半徑為，的長(zhǎng)度為，取的中點(diǎn)，連接，則
在中，
∴
只與弦的長(zhǎng)度有關(guān)，且弦越長(zhǎng)，的值越大，與半徑無(wú)關(guān).
故選:AD.
12．（2023春·廣西柳州·高一柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長(zhǎng)為，且，分別為，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．平面
B．
C．直線(xiàn)與平面所成角為
D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】ABD
【詳解】在正方體中，取棱中點(diǎn)，連接，

因?yàn)镸，N分別為AC，的中點(diǎn)，則，
因此四邊形為平行四邊形，則平面，
平面，所以平面，A正確；
因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，B正確；
顯然平面，則是與平面所成的角，又，
有，由于，所以直線(xiàn)MN與平面ABCD所成的角為，C錯(cuò)誤；
等邊三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，
由得，解得 ，D正確.
故選：ABD
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）一組數(shù)據(jù)12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第75百分位數(shù)是______．
【答案】39
【詳解】依題意，數(shù)據(jù)由小到大排列為：12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50，
由，得所求第75百分位數(shù)是39.
故答案為：39.
14．（2023春·天津武清·高一天津英華國(guó)際學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，，與的夾角為，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍___________ .
【答案】
【詳解】∵向量與的夾角是銳角，
∴且向量與向量不共線(xiàn)，
由得，
∴，
∴，即，解得或，
若向量與向量共線(xiàn)，則，無(wú)解，
∴向量與向量不共線(xiàn)，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2023·上?！とA師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與平面ABCD所成角的正切值為_(kāi)_____.
【答案】/
【詳解】連接，
平面，即為直線(xiàn)與平面所成角，
在中，，，
.
故答案為：.
16．（2023春·江蘇南京·高一校考期中）已知△ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若∠BAC=，D為邊BC上一點(diǎn)，且AD=1， BD：DC=2c：b，，則tan=___________則b+2c的最小值為 ___________.
【答案】 / /
【詳解】設(shè)，則，
∵AD=1，BD：DC=2c：b，
∴，
即，
化簡(jiǎn)得，即，
故，
又，
所以，
即，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即2b+c的最小值為.
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．）
17．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某校為了提高學(xué)生對(duì)體育運(yùn)動(dòng)的興趣，舉辦了一場(chǎng)體育知識(shí)答題比賽活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動(dòng).為了解本次比賽的成績(jī)，從中抽取了100名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)得分的平均值.若對(duì)得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)估計(jì)參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng).（以每組中點(diǎn)作為該組數(shù)據(jù)的代表）
【答案】(1)，中位數(shù)為82.5
(2)，有520名學(xué)生獲獎(jiǎng)
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：，解得，
設(shè)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)為，因數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4，落在內(nèi)的頻率為0.8，
從而可得，由得：，
所以估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)為82.5.
（2）由頻率分布直方圖及（1）知：數(shù)據(jù)落在，，，的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，，
此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分不低于82的頻率為，
則，
所以估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)得分的平均值為82，在參賽的1000名學(xué)生中估計(jì)有520名學(xué)生獲獎(jiǎng).
18．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）2023 U. I. M. F1摩托艇世界錦標(biāo)賽中國(guó)鄭州大獎(jiǎng)賽于2023年4月29日~30日在鄭東新區(qū)龍湖水域舉辦．這場(chǎng)世界矚目的國(guó)際體育賽事在風(fēng)光迤邐的龍湖上演繹了速度與激情，全面展示了鄭州現(xiàn)代化國(guó)家中心城市的活力與魅力．為讓更多的人了解體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和體育精神，某大學(xué)社團(tuán)舉辦了相關(guān)項(xiàng)目的知識(shí)競(jìng)賽，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
(2)若先采用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，的學(xué)生中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人為賽事志愿者，求這2名志愿者中至少有一人的成績(jī)?cè)诘母怕剩?br>【答案】(1)平均數(shù)73，中位數(shù)
(2)
【詳解】（1）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)知：平均成績(jī)
.
設(shè)中位數(shù)為，則，
解得.
（2）因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)所占比例為，
所以從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中應(yīng)分別抽取4人，2人，
記抽取成績(jī)?cè)诘?人為：，抽取成績(jī)?cè)诘?人為：，
從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為：，，共15種，
抽取的2名學(xué)生中至少有一人的成績(jī)?cè)诘氖?，，只?種，
故做培訓(xùn)的這2名學(xué)生中至少有一人的成績(jī)?cè)诘母怕?br>19．（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，交于點(diǎn)，，為中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成的角．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）在正方形中，，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
而平面，則，而，
∴，而，
又平面，
∴平面
（2）連接，如圖所示：
∵為正方形，，
∴，
而平面，
∴平面，
∴為直線(xiàn)與平面所成的角，
∵，
∴，
所以直線(xiàn)與平面所成的角為.
20．（2023春·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃?，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)若，求實(shí)數(shù)與的值；
(2)若，，且，則當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）
，，；
，，，
，
，.
（2）
設(shè)，則，
，
，，即的取值范圍為.
21．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)．
(1)若，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說(shuō)明理由；
(2)若，，，異面直線(xiàn)與成角，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．
【答案】(1)存在，理由見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）棱上存在點(diǎn)，且時(shí)，平面平面，
理由如下：
連，，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)椋?，所以，又，所以四邊形是平行四邊形?br>所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又平面，平面，且，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，所以，
因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與成角，所以，
因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>在上取點(diǎn)，且，因?yàn)椋裕?br>又由（1）知，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角，
，，所以，
，，
，
在中，.
所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.
22．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，.
(1)證明：外接圓的半徑為；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?，所?
又，所以，
所以外接圓的半徑為.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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1 高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬試卷（新高考題型 基礎(chǔ)卷1）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)（人教A版必修第二冊(cè)）

1 高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬試卷（新高考題型 基礎(chǔ)卷1）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)（人教A版必修第二冊(cè)）
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