1、掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.
2、了解最簡二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根
1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.
特別說明： (1).在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中， 如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù))； (2).該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算：
≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.
積的算術(shù)平方根:
（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.
特別說明： (1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0， ≥0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.
知識點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根
1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.。
特別說明：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.
(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.
2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):
（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.
特別說明：運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時仍要注意符號問題.
知識點(diǎn)三、最簡二次根式
（1）被開方數(shù)不含有分母； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.
特別說明：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：
（1) 被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；
（2）含有能開方的因數(shù)或因式.
【典型例題】
類型一、最簡二次根式??判斷??化簡??求參數(shù)
1．判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（3）（4）是最簡二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡二次根式
【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
解：（1） 不是最簡二次根式，被開方數(shù)含能開得盡方的因式；
（2）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．
（3）是最簡二次根式，符合兩個條件；
（4）是最簡二次根式，被符合兩個條件；
（5）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．
（6） 不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．
【點(diǎn)撥】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
舉一反三：
【變式1】在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的進(jìn)行化簡．
（1），（2），（3），（4），（5）．
【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
解：（1），含有開得盡方的因數(shù)，因此不是最簡二次根式．
（2），被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式；
（3），符合最簡二次根式兩個條件；
（4），在二次根式的被開方數(shù)中，含有小數(shù)，不是最簡二次根式；
（5），被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式．
【點(diǎn)撥】本題考查最簡二次根式的定義．解決此題的關(guān)鍵，是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
【變式2】把下列二次根式化成最簡二次根式：
； (2) ； (3) ；
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；
（2）先把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分子分母都乘以2，然后化簡；
（3）分子分母都乘以3，然后化簡．
解：（1）；
（2）；
（3）．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．已知和是相等的最簡二次根式．
求，的值；
求的值．
【答案】 的值是，的值是；（2）．
【分析】（1）根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程組求出a，b的值；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根的概念解答即可．
解：（1） ∵和是相等的最簡二次根式，
∴．
解得，，
∴的值是，的值是；
（2）．
【點(diǎn)撥】考查最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義列出關(guān)于a，b的方程組是解題的關(guān)鍵.
舉一反三：
【變式1】若與最簡二次根式能合并，則m的值為（ ）
A．7B．9C．2D．1
【答案】D
【分析】先將化簡為最簡二次根式，再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得．
解：，
與最簡二次根式能合并，
，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式、二次根式的化簡，熟練掌握最簡二次根式的概念是解題關(guān)鍵．
【變式2】若與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入計(jì)算求值
【詳解】解：∵ 與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式
解得：
∴符合題意
【點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．本題求出a，b后還需檢驗(yàn)，因?yàn)楸婚_方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)．
類型二、二次根式乘法??運(yùn)算??化簡
3．計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)平方差公式結(jié)合二次根式的乘法法則可以解答本題．
解：


【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算、平方差公式，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式乘法運(yùn)算的計(jì)算方法．
舉一反三：
【變式1】計(jì)算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) 6；(2) 10；(3) 1；(4)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再化為最簡二次根式即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再化為最簡二次根式即可；
（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再化為最簡二次根式即可．
解（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的乘法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次的乘法法則：．
【變式2】設(shè)，則可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可．
解：∵，
∴，
故選D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
類型三、二次根式除法??運(yùn)算??化簡
4．計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則及二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式除法運(yùn)算法則，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．把反過來，就得到，利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡．
舉一反三：
【變式1】把化去分母中的根號后得( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
解：．
故選：D
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的乘除法運(yùn)算．熟練掌握二次根式的乘除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式2】在化簡時，有下列兩種不同的方法：
方法1：原式．
方法2：原式．
這兩種方法都正確嗎？若有錯誤，說明理由．
【答案】方法1是錯誤的，方法2是正確的，理由見解析
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)可得方法1中當(dāng)時，違背了分式的基本性質(zhì)，即可求解．
解：方法1是錯誤的，方法2是正確的．理由如下∶
因?yàn)轭}中已知條件并沒有給出或隱含條件，而這里在約分以后將分子和分母同時乘以事實(shí)上，當(dāng)時，違背了分式的基本性質(zhì)，雖然結(jié)論是正確的，但運(yùn)算過程是錯誤的，當(dāng)時，原式仍有意義，此時原式的值為0．所以方法1是錯誤的．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡，分式的除法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
類型四、二次根式乘除法??混合運(yùn)算??化簡求值
5．（1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：
【答案】（1）8；（2）0
【分析】（1）原式先計(jì)算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；
（2）原式先計(jì)算二次根式的除法，再合并即可得到答案．
解：（1）計(jì)算：
=
=
=8；
（2）
=
=0．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式相關(guān)的運(yùn)算法則．
舉一反三：
【變式1】計(jì)算：
； (2) ； (3) ．
【答案】(1)；(2) 1； (3) 18
【分析】（1）先把各二次根式化簡，再按照從左至右的順序進(jìn)行運(yùn)算即可；
（2）先把被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再按照從左至右的順序進(jìn)行運(yùn)算即可；
（3）按照從左至右的運(yùn)算順序進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．
解（1）

（2）

＝1；
（3）
＝18．
【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握“二次根式的乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1) 6； (2)
【分析】（1）利用平方差公式運(yùn)算即可；
（2）先化為最簡二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
解（1）原式
（2）原式
【點(diǎn)撥】本題主要考查了最簡二次根式和二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
中考真題專練
1．(2023·貴州畢節(jié)·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先化簡分式，再代值求解即可；
解：原式=
=
=
=，
將代入得，原式=．
【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．(2023·遼寧阜新·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】分式算式中有加法和除法兩種運(yùn)算，且有括號，按照運(yùn)算順序，先算括號里的加法，再算除法，最后代入計(jì)算即可．
原式
當(dāng)時，
原式．
【點(diǎn)撥】本題是分式的化簡求值題，考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的除法等知識，化簡時要注意運(yùn)算順序，求值時，最后結(jié)果的分母中不允許含有二次根式．
3．(2023·廣東廣州·中考真題）已知
（1）化簡A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后約分化簡即可；
（2）先把式子移項(xiàng)求，然后整體代入，進(jìn)行二次根式乘法運(yùn)算即可．
解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查分式化簡計(jì)算，會通分因式分解與約分，二次根式的乘法運(yùn)算，掌握分式化簡計(jì)算，會通分因式分解與約分，二次根式的乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．

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1.1 二次根式

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