初中數(shù)學(xué)浙教版八年級下冊1.1 二次根式當(dāng)堂達標(biāo)檢測題

這是一份初中數(shù)學(xué)浙教版八年級下冊1.1 二次根式當(dāng)堂達標(biāo)檢測題，共15頁。
1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；
2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.
【要點梳理】
要點一、同類二次根式
1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.
特別說明：
(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；
(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).
2.合并同類二次根式
合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)
特別說明：
(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；
(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式.
要點二、二次根式的加減
1.二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其
中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.
特別說明：
（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.
（2）二次根式加減運算的步驟：
1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；
2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；
3)合并同類二次根式.
要點三、二次根式的混合運算
二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.
特別說明：
(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；
(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；
(3)二次根式混合運算的結(jié)果要寫成最簡形式.
【典型例題】
類型一、二次根式??概念??同類二次根式??分母有理化
1．判斷下列二次根式中哪些是同類二次根式：
， ﹣， ， ， ﹣7．
【答案】，，是同類二次根式；，是同類二次根式；
【分析】先化為最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．
解：∵＝，﹣＝﹣3，＝2，
＝，＝﹣35，
∴、﹣、﹣7是同類二次根式，
∴、是同類二次根式；
【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，分母有理化，同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．
舉一反三：
【變式1】若最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．
【答案】的值為
【分析】根據(jù)最簡二次根式，同類二次根式的定義列方程求解即可．
解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴，
解得，
答：的值為．
【點撥】本題考查同類二次根式，掌握同類二次根式的定義，即“被開方數(shù)相同的幾個最簡二次根式是同類二次根式”正確解答的前提．
【變式2】分別求出滿足下列條件的字母a的取值：
若最簡二次根式與﹣是同類二次根式；
若二次根式與﹣是同類二次根式．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同列出方程，通過解方程求得答案；
（2）根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同列出方程，通過解方程求得答案．
解：(1)∵﹣＝﹣2，最簡二次根式與﹣是同類二次根式，
∴3a＝2，
解得．
(2)∵二次根式與﹣是同類二次根式，
∴3a＝2n2，
解得a＝．
【點撥】考查了同類二次根式和最簡二次根式．同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．
2．【閱讀材料】
把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達到化去分母中根號的目的．
例如：化簡．
解：．
【理解應(yīng)用】
(1)化簡：
①；
②．
(2)計算：．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①根據(jù)題意分母有理化即可求解；
②根據(jù)題意分母有理化即可求解；
（2）根據(jù)題意，將每一項都分母有理化，然后根據(jù)二次根式的加減進行計算即可求解．
（1）解：①原式．
②原式．
（2）解：原式
．
【點撥】本題考查了分母有理化，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】解不等式：
【答案】
【分析】去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，即可求解．
解：
，
即：．
【點撥】本題主要考查了求解一元一次不等式的解集和二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】計算：
【答案】
【分析】根據(jù)根式的運算法則直接計算即可得到答案．
解：
．
【點撥】本題考查根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根式的運算及根式分母有理化．
類型二、二次根式??二次根式的加減運算
3．計算：．
【答案】
【分析】先計算開方，化簡絕對值，再合并同類二次根式即可．
解：原式
．
【點撥】本題考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握實數(shù)運算法則，二次根式的加減運算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】計算：
【答案】
【分析】先根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡，再結(jié)合去括號法則及二次根式混合運算逐步計算，最后合并同類二次根式即可得到答案．
解：
．
【點撥】本題考查二次根式混合運算，涉及二次根式性質(zhì)化簡、去括號法則、二次根式加減乘除運算法則及合并同類二次根式等知識，熟練掌握二次根式混合運算法則是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2】計算：
； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）先計算乘方與開方，并求絕對值，再計算加減法即可．
（1）解： 原式
；
（2）解：原式
．
【點撥】本題考查實數(shù)的混合運算，二次根式的混合運算，零指數(shù)冪，求絕對值，熟練掌握實數(shù)的混合運算和二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
類型三、二次根式??二次根式的混合運算
4．計算下列各式．
； ．
【答案】(1) 6 ； (2) 1.
【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可；
（2）根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【點撥】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】計算：．
【答案】3
【分析】先運用二次根式乘法法則計算，并化簡二次根式，去絕對值符號，最后合并同類二次根式即可．
解：原式
．
【點撥】本題考查二次根式的混合運算，化簡絕對值，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式2】計算：
； (2) ．
【答案】(1) ; (2) .
【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的混合運算法則，先計算算術(shù)平方根、立方根、絕對值，再計算加減；
（2）根據(jù)二次根式的混合運算法則，先計算乘方、乘法，再計算加法．
（1）解：
；
（2）解：
．
【點撥】本題主要考查二次根式的混合運算、平方差公式、算術(shù)平方根、立方根、絕對值、完全平方公式，熟練掌握二次根式的混合運算法則、平方差公式、算術(shù)平方根、立方根、絕對值、完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．
類型四、二次根式??二次根式的化簡求值
5．解答下列各題
已知，．求的值．
若，求的平方根．
【答案】(1) ; (2) .
【分析】（1）分別求出，再代入到代數(shù)式求值即可；
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0，求出的值，然后代值求解即可．
（1）解：，
∴，
，
∴；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點撥】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握二次根式的性質(zhì)，以及二次根式的運算法則，是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】已知，，求代數(shù)式的值．
【答案】2015
【分析】直接利用分母有理化將原式化簡，再將多項式變形，進而代入得出答案．
解：∵x，
y，
．
【點撥】本題主要考查了分母有理化，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式2】已知，，則
______；______；______．
根據(jù)以上的計算結(jié)果，利用整體代入的數(shù)學(xué)方法，計算式子的值．
【答案】(1) ；； (2).
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法計算和的值，利用平方差公式計算的值；
（2）先根據(jù)完全平方公式變形得出原式，然后再利用整體代入法計算．
（1）解：∵，，
∴，
，
．
故答案為：；；
（2）原式，
把，代入，可得：
．
【點撥】本題考查了二次根式的化簡求值問題，正確對所求式子變形是解本題的關(guān)鍵．
類型五、二次根式??應(yīng)用
6．閱讀材料并回答問題
肖博睿同學(xué)發(fā)現(xiàn)如下正確結(jié)論：
材料一：
若，則；若，則；若，則；
材料二：
完全平方公式：（1）；（2）．
比較大?。篲__________；
___________；
試比較與的大小（寫出相應(yīng)的解答過程）．
【答案】(1) (2) ， (3) ，過程見分析
【分析】（1）根據(jù)作差法，判定的符號，結(jié)合材料一中的規(guī)則即可得到答案；
（2）根據(jù)所給式子，結(jié)合完全平方式的結(jié)構(gòu)特征即可得到；
（3）根據(jù)作差法，判定的符號，根據(jù)材料二完全平方公式變形，根據(jù)平方的非負性確定符號，再結(jié)合材料一中的規(guī)則即可得到答案．
（1）解：
，
又，即，
，即；
（2）解：根據(jù)題意，；
（3）解：
，
又，
，即．
【點撥】本題考查利用作差法解代數(shù)式比較大小，涉及二次根式加減運算、去括號法則、整式混合運算、合并同類項、完全平方公式因式分解、平方式的非負性等知識，讀懂材料，掌握作差法比較代數(shù)式大小的方法是解決問題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】設(shè)一個三角形的三邊分別為a，b，c，p=（a+b+c），則有下列面積公式：S=（海倫公式）；S=（秦九韶公式）．
一個三角形的三邊長依次為3，5，6，任選以上一個公式求這個三角形的面積；
一個三角形的三邊長依次為，，，任選以上一個公式求這個三角形的面積．
【答案】(1) 2 (2)
【分析】（1）先求出，再由海倫公式計算即可；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式計算即可．
解：（1）∵一個三角形的三邊長依次為3，5，6，
∴，
由海倫公式得：；
（2）∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式得：．
【點撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用以及三角形面積公式；熟練掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．
【變式2】某居民小區(qū)有一塊形狀為長方形的綠地，長方形綠地的長為，寬為，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為，寬為．
長方形的周長是多少？
除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，通通上要鋪上造價為的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？

【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)長方形的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法則計算即可；
（2）先計算出空白部分的面積，然后再用空白部分的面積乘以單價即可得出結(jié)論．
（1）解：∵長方形的長為，寬為，
∴長方形的周長為：
．
答：長方形的周長是．
（2）由題意，知
（元）．
答：購買地磚需要花費元．
【點撥】本題考查二次根式的應(yīng)用，長方形的周長和面積，平方差公式．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則及其性質(zhì)．