2024年中考數(shù)學幾何模型專項復習講與練模型36 圓——四點共圓模型-原卷版+解析-試卷下載-教習網(wǎng)

四點共圓：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一圓上，則稱這四個點共圓
知識點一：四點共圓的性質(zhì)
◎結(jié)論1：如圖 A、B、C、D四點共圓

①同側(cè)共底的兩個三角形頂角相等（同弧所對的圓周角相等）
∠ACB＝∠ADB，AB為底；∠BAC＝∠BDC，BC為底；
∠CAD＝∠CBD，CD為底；∠ABD＝∠ACD，AD為底；
②圓內(nèi)接四邊形的對角互補
∠ABC＋∠ADC＝180o；∠BCD＋∠BAD＝180
③圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角
∠BCE為圓內(nèi)接四邊形的一個外角，
則∠BCE＝∠A

知識點二：四點共圓的判定
①若四個點到一個點的距離相等，則這四個點在同一圓上（四點共圓）

【證明】【共斜邊直角三角形】：
取斜邊中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半
AO＝BO＝CO＝DO，
∴A、B、C、D四點共圓.
②若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個點共圓.
若∠A＋∠C＝180o,則A、B、C、D四點共圓

【證明】（反證法）以B、C、D三點作⊙O，現(xiàn)證明A在⊙O上，
假設點A不在圓上：
①假設點A在⊙O內(nèi)，在A上方⊙O上取一點P，
∵B,C,D,P四點共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾
∴假設不成立，點A不在圓內(nèi)

②假設點A在⊙O外，在A上方⊙O上取一點P，
∵B,C,D,P四點共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾
∴假設不成立，點A不在圓外。
綜上：A只能在圓上，即A，B，C，D四點共圓。
③若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形四點共圓
若∠BCD＝∠A，則A、B、C、D四點共圓
【本質(zhì)：對角互補】

④若兩個點在一條線段的同旁，且和這條線段的兩個端點連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點四點共圓
若∠BAC＝∠BDC，則A、B、C、D四點共圓

證明：以A.B.C作圓，在弧BC上取點P，
則∠BAC＋∠P＝180°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＋∠BDC＝180°，
∴四點共圓
∵四點共圓，
B.P.C確定唯一圓
∴四點共圓.
1． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，則∠CBD的度數(shù)是（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
2． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，在長方形中，，，垂足為，延長交于，表示面積，則給出的下列命題：①；②；③；④．其中正確命題的代號是________．
3． (2023·黑龍江哈爾濱·九年級階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝_____．
1． (2023·全國·九年級課時練習）如圖1，在正方形中，點在邊上，過點作，且，連接、，點是的中點，連接．
（1）用等式表示線段與的數(shù)量關系：______；
（2）將圖1中的繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)，使的頂點恰好在正方形的對角線上，點仍是的中點，連接、．
①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；
②用等式表示線段與的數(shù)量關系并證明．
2． (2023·福建·廈門市松柏中學九年級階段練習）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的長．
（2）如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．
1． (2023·福建·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（）
A．B．C．D．
圓
模型（三十六）——四點共圓模型
四點共圓：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一圓上，則稱這四個點共圓
知識點一：四點共圓的性質(zhì)
◎結(jié)論1：如圖 A、B、C、D四點共圓

①同側(cè)共底的兩個三角形頂角相等（同弧所對的圓周角相等）
∠ACB＝∠ADB，AB為底；∠BAC＝∠BDC，BC為底；
∠CAD＝∠CBD，CD為底；∠ABD＝∠ACD，AD為底；
②圓內(nèi)接四邊形的對角互補
∠ABC＋∠ADC＝180o；∠BCD＋∠BAD＝180
③圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角
∠BCE為圓內(nèi)接四邊形的一個外角，
則∠BCE＝∠A

知識點二：四點共圓的判定
①若四個點到一個點的距離相等，則這四個點在同一圓上（四點共圓）

【證明】【共斜邊直角三角形】：
取斜邊中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半
AO＝BO＝CO＝DO，
∴A、B、C、D四點共圓.
②若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個點共圓.
若∠A＋∠C＝180o,則A、B、C、D四點共圓

【證明】（反證法）以B、C、D三點作⊙O，現(xiàn)證明A在⊙O上，
假設點A不在圓上：
①假設點A在⊙O內(nèi)，在A上方⊙O上取一點P，
∵B,C,D,P四點共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾
∴假設不成立，點A不在圓內(nèi)

②假設點A在⊙O外，在A上方⊙O上取一點P，
∵B,C,D,P四點共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾
∴假設不成立，點A不在圓外。
綜上：A只能在圓上，即A，B，C，D四點共圓。
③若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形四點共圓
若∠BCD＝∠A，則A、B、C、D四點共圓
【本質(zhì)：對角互補】

④若兩個點在一條線段的同旁，且和這條線段的兩個端點連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點四點共圓
若∠BAC＝∠BDC，則A、B、C、D四點共圓

證明：以A.B.C作圓，在弧BC上取點P，
則∠BAC＋∠P＝180°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＋∠BDC＝180°，
∴四點共圓
∵四點共圓，
B.P.C確定唯一圓
∴四點共圓.
1． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，則∠CBD的度數(shù)是（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】A
【詳解】
如圖，AB=AC=AD
∵
，
故選A．
2． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，在長方形中，，，垂足為，延長交于，表示面積，則給出的下列命題：①；②；③；④．其中正確命題的代號是________．
【答案】①③④
【分析】由矩形的性質(zhì)得出，，，由證明，①正確；由的面積的面積，得出的面積的面積，②不正確；證明、、、四點共圓，得出，③正確；延長交矩形的外接圓于，連接，由圓周角定理得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，得出，④正確；即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴①正確；
∵的面積的面積，
∴的面積的面積，
∴②不正確；
∵，
∴，
∴，
∴、、、四點共圓，
∴，
∴③正確；
∵、、、四點共圓，
如圖所示：
延長交矩形的外接圓于，連接，
則，
∵，
∴，
∴④正確；
正確的代號是①③④；
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角的性質(zhì)，掌握四點共圓的證明方法進行轉(zhuǎn)化是解題關鍵．
3． (2023·黑龍江哈爾濱·九年級階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝_____．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點共圓，設法證明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【詳解】∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，
∵∠AFE=60°，
∴△AFG是等邊三角形，
∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，
∴∠BAF=∠CAG，
∵DT=CE，
∴∠DBT=∠BTD，
∵∠BAD=∠CBE，
∴∠BAD=∠BTD，
∴A、B、D、T四點共圓，
∴∠BAD=∠DAT，
∴∠FAT=∠GAE，
在△FAT和△GAE中，
，
∴△FAT≌△GAE（ASA），
∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，
∴FT=(FG- TE)=17．
故答案為：17．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出△FAT≌△GAE是解本題的關鍵．
1． (2023·全國·九年級課時練習）如圖1，在正方形中，點在邊上，過點作，且，連接、，點是的中點，連接．
（1）用等式表示線段與的數(shù)量關系：______；
（2）將圖1中的繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)，使的頂點恰好在正方形的對角線上，點仍是的中點，連接、．
①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；
②用等式表示線段與的數(shù)量關系并證明．
【答案】（1）；（2）①畫圖見解析；②，證明見解析
【分析】（1）先判斷出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判斷出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，從而得到△BGF為等腰直角三角形，即可．
（2）①畫圖2即可；②如圖2，連接BF、BG，證明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：AG＝EG＝BG＝FG，由圓的定義可知：點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）BF＝，
理由是：如圖1，連接BG，CG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，F(xiàn)E＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵點G是AE的中點，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，F(xiàn)G＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF為等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案為：BF＝FG；
（2）①如圖2所示，
②；理由如下：
如圖2，連接BF、BG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，點G是AE的中點，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，判斷△BGF為等腰直角三角形是解本題的關鍵，作出輔助線是解本題的難點．
2． (2023·福建·廈門市松柏中學九年級階段練習）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的長．
（2）如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．
【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值為
【分析】（1）過點A作AM⊥BC于點M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性質(zhì)得BM=，進而即可求解；
（2）連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，易得B，D，E，F(xiàn)四點共圓，從而得?OEF是等邊三角形，進而得EF=BD，由BD⊥CD時， BD的值最小，進而即可求解．
【詳解】（1）過點A作AM⊥BC于點M，
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2×=，
∴BC=2 BM=2×=3；
（2）連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt?BDF與Rt?BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，
∴B，D，E，F(xiàn)四點共圓，
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴?OEF是等邊三角形，
∴EF=OF=BD，
∵∠C=∠EBF =30°，
∴當BD⊥CD時，BD=BC=，此時，BD的值最小，
∴EF的最小值=BD =×=．
【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造四邊形的外接圓，是解題的關鍵．
1． (2023·福建·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，為中點求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【詳解】∵為中點，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故選：A．
【點睛】此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補．

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