【最值模型】梯子問(wèn)題，指有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng),P為AB的中點(diǎn)。
◎結(jié)論：線段AB的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ABC=90°，AB的中點(diǎn)為Q，連接OQ，QC，當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值。

【證明】如圖在 Rt△AOB 中，點(diǎn)Q是中點(diǎn)，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.
若OC要取得最大值，則 O，Q，C三點(diǎn)共線，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。
1． (2023·河南·開封市第十三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點(diǎn)，分別在射線，上，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)A在移動(dòng)過(guò)程中，BO的最大值是_____．
1． (2023·廣東·陸河縣水唇中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，
(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？
2． (2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，線段的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，，AB的中點(diǎn)為Q，連接，求證：O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值．
1．（2015·江蘇徐州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；
（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm．
2．在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架25米長(zhǎng)的云梯，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻20米，如圖．
（1）求這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高？
（2）如果消防員接到命令，要求梯子的頂端上升5米（云梯長(zhǎng)度不變），那么云梯底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)多少米？
平行四邊形
模型（三十一）——梯子模型
【最值模型】梯子問(wèn)題，指有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng),P為AB的中點(diǎn)。
◎結(jié)論：線段AB的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ABC=90°，AB的中點(diǎn)為Q，連接OQ，QC，當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值。

【證明】如圖在 Rt△AOB 中，點(diǎn)Q是中點(diǎn)，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.
若OC要取得最大值，則 O，Q，C三點(diǎn)共線，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。
1． (2023·河南·開封市第十三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點(diǎn)，分別在射線，上，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)，兩者相加即可得解．
【詳解】取中點(diǎn)，連接、、，
，
．
在中，利用勾股定理可得．
在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大為．
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)A在移動(dòng)過(guò)程中，BO的最大值是_____．
【答案】2+
【分析】取AC的中點(diǎn)P，連接OP，BP，OB，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP的長(zhǎng)．在Rt△ABP中，由勾股定理得到BP的長(zhǎng)．在△OBP中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得到OB≤OP+BP，當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，從而得到OB的最大值．
【詳解】取AC的中點(diǎn)P，連接OP，BP，OB，則OP=AC=2．在Rt△ABP中，BP=．
在△OBP中，OB≤OP+BP，當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴OB的最大值為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的斜邊的一半和勾股定理．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形OPB．
1． (2023·廣東·陸河縣水唇中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，
(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？
【答案】(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)；
（2）由題意得： =20米，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)即可求解．
（1）
解：由題意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；
（2）
由題意得： =20米，
（米）
則：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，線段的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，，AB的中點(diǎn)為Q，連接，求證：O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和勾股定理判定即可；
【詳解】如圖．
在中，，
∴．
在中，由勾股定理得．
∵，
∴當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線，取得最大值，，即；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系和勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
1．（2015·江蘇徐州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；
（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm．
【答案】（1）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－3，9）；②滑動(dòng)的距離為6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．
【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理解答即可；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：
在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則sin∠BAO=
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6
∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cs30°=3，
∴OD=OB+BD=9
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）；
②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：
AO=12×cs∠BAO=12×cs30°=6．
∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），
∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：
則OE=﹣x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y=﹣x，
OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，
∴當(dāng)|x|取最大值時(shí)，即C到y(tǒng)軸距離最大時(shí)，OC2有最大值，即OC取最大值，
如圖，即當(dāng)C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時(shí)．此時(shí)|x|=6，OC=，
故點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是12cm．
考點(diǎn)：相似三角形綜合題．
2．在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架25米長(zhǎng)的云梯，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻20米，如圖．
（1）求這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高？
（2）如果消防員接到命令，要求梯子的頂端上升5米（云梯長(zhǎng)度不變），那么云梯底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)多少米？
【答案】（1）15米；（2）5米．
【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入數(shù)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意表示出EA長(zhǎng)，再在直角△EDB中利用勾股定理計(jì)算出BD長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）由題意得：米，米，
則（米），
即這個(gè)梯子的頂端距離地面15米，
（2）由題意得：米，米，
則（米），
因?yàn)槊祝?br>所以米，
即云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)5米．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．

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