【條件】AP是∠BAC的平分線，BO⊥AP
【結(jié)論】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD

角平分線＋垂直＝延長
【證明】延長BO交AC于D，
在△BAO和△DAO中
∠BAO＝∠DAO
AO＝AO
∠AOB＝∠AOD
∴△BAO≌△DAO
∴AB＝AD,OB＝OD
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
角平分線+垂線,輕輕延長等腰現(xiàn)

1． (2023·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
2． (2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．
（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
1． (2023·廣東·豐順縣小勝中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形
（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論
2． (2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，
求證：.

1．在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD 的大小為_________；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD 的大小與（2）中的結(jié)果相同，請直接寫出的大?。?br> 全等三角形
模型（十五）——雨傘模型
【條件】AP是∠BAC的平分線，BO⊥AP
【結(jié)論】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD

角平分線＋垂直＝延長
【證明】延長BO交AC于D，
在△BAO和△DAO中
∠BAO＝∠DAO
AO＝AO
∠AOB＝∠AOD
∴△BAO≌△DAO
∴AB＝AD,OB＝OD
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
角平分線+垂線,輕輕延長等腰現(xiàn)

1． (2023·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析
【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；
（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．
【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：
如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．
2． (2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．
（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．
【分析】（1）由已知條件可得，進(jìn)而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據(jù)角度的等量代換，即可得，最后由等角對等邊的性質(zhì)即可得證；
（2）如圖，延長交軸于點(diǎn)，先證明，得，再證明，即可得．
【詳解】（1），
，
，
，
直線平分，
，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
證明：如圖，延長交軸于點(diǎn)，
直線平分，，
，，
又，
（ASA），
，
，
，
即，
，
又，
（ASA），
，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，非負(fù)數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，熟練掌握以上知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·廣東·豐順縣小勝中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形
（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論
【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【分析】（1）延長CE交AB于點(diǎn)G，證明，得E為中點(diǎn)，通過中位線證明DEAB，結(jié)合BF=DE，證明BDEF是平行四邊形
（2）通過BDEF為平行四邊形，證得BF=DE=BG，再根據(jù)，得AC=AG，用AB-AG=BG，可證
【詳解】（1）證明：延長CE交AB于點(diǎn)G
∵AECE
∴
在和
∴
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE為的中位線
∴DEAB
∵DE=BF
∴四邊形BDEF是平行四邊形
（2）
理由如下：
∵四邊形BDEF是平行四邊形
∴BF=DE
∵D，E分別是BC，GC的中點(diǎn)
∴BF=DE=BG
∵
∴AG=AC
BF=（AB-AG）=（AB-AC）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的證明，中位線的性質(zhì)，全等三角形的證明等綜合性內(nèi)容，作好適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，
求證：.

【答案】見解析.
【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結(jié)論即可．
【詳解】證明：如圖，
延長交的延長線于，
平分
【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
1．在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD 的大小為_________；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD 的大小與（2）中的結(jié)果相同，請直接寫出的大?。?br>【答案】（1）30°；（2）30°；（3）為或或．
【分析】（1）由，，可以確定，旋轉(zhuǎn)角為，時(shí)是等邊三角形，且，知道的度數(shù)，進(jìn)而求得的大??；
（2）由，，可以確定，連接、．，，，由案．依次證明，．利用角度相等可以得到答案．
（3）結(jié)合（1）（2）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是等邊三角形時(shí)，在內(nèi)部時(shí)，在外部時(shí)，求得答案．
【詳解】解：（1）解（1）∵，，
∴，
∵，，
∴為等邊三角形，
∴．
又∵，
∴為等腰三角形，
∴，
∴．
（2）方法1：如圖作等邊，連接、．
，．
，，
．
，
．
．①
，，
．②
，③
由①②③，得，
，．
，，
．
，，
．
．
．④
，，
．⑤
，⑥
由④⑤⑥，得．
．
．
．
．
方法2 如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．

∵在等腰三角形ACD中，，
∴，
∵，
∴．
可證．
結(jié)合角度，可得，．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
方法3 如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．

∵，
∴四邊形ACDE是菱形，
∴，．
∴，
∴，
∴是等邊三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴．
∴．
（3）由（1）知道，若，時(shí)，則；
①由（1）可知，設(shè)時(shí)可得，，
，
．
②由（2）可知，翻折到△，則此時(shí)，
，
，
③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長線于點(diǎn)，連接，
，
．
綜上所述，為或或時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何結(jié)論探究題，解答這類題目的關(guān)鍵是要善于從探究特殊結(jié)論中歸納出一般性解題方法，并靈活運(yùn)用這種方法解答一般性的問題，真正達(dá)到舉一反三的目的．

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