2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)講與練模型19 軸對稱——海盜埋寶模型-原卷版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【結(jié)論】如圖，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，則△FAB是等腰直角三角形.

【特征】⑴兩等腰直角三角形
⑵一組底角共頂點(diǎn)
⑶另一組底角頂點(diǎn)相連取中點(diǎn)

【證明】
（方法一：倍長中線法）
如圖，延長 AF至點(diǎn)P使得 FP=AF，連接 PE，PB，延長 PE交AC于點(diǎn)Q.
在△DAF 和△EPF 中，DF=EF, ∠DFA=∠EFP, AF=PF,
∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF. ∴DA∥EP.
∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.
在四邊形 EQCB 中，
∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，
∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.
又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，
∴∠QCB＝∠PEB.
在△ACB和△PEB中，AC=PE, ∠ACB＝∠PEB, BC=BE,
∴△ACB≌△PEB(SAS).
∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE
∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.
∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP 的中點(diǎn)，∴BF⊥AP,BF=AF.
∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).
（方法二∶構(gòu)造手拉手模型）
將△DAC沿 AC對稱，得△PAC，將△EBC沿 BC 對稱，得△QBC，連接EP，DQ.
易證△PCE≌△DCQ（手拉手模型），
∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的結(jié)論）.
∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線，
∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，
∴AF=BF，AF⊥BF，
∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).
1．（山東省萊城區(qū)（五四學(xué)制）2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，兩個等腰和，點(diǎn)在上，，連接，取的中點(diǎn)，連接. 求證：.
1．（湖北省武漢市東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角項(xiàng)點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BO）的對角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（圖①?圖②），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時，該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)：BN2＝CD2+CN2，請你說明理由；
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
（3）如圖③，若AD＝8，AB＝6，E為矩形外的一點(diǎn)，且AE⊥CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，取AO的中點(diǎn)G，連接BG，當(dāng)F在線段BG上時，則BF的值為．
1．（專題32圖形的變化（翻折與旋轉(zhuǎn)變換）-解答題專項(xiàng)訓(xùn)練-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全國通用））如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CK，EK，CE．
(1)如圖1，若α＝45°，則△ECK的形狀為．
(2)在（1）的條件下，若將圖1中△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°），使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BE﹣AE＝2CK．
(3)若BC＝8，AC＝15，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），AD＝2CD，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)K始終為BD的中點(diǎn)，則線段CK長度的最大值是多少？請直接寫出結(jié)果．
2． (2024年遼寧省葫蘆島市綏中縣九年級一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)
(1)如圖1．若a=45，則的形狀為__________________；
(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；
(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

3．（【萬唯原創(chuàng)】2017年安徽省中考數(shù)學(xué)-逆襲卷-特訓(xùn)18）如圖，在和中，，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在上時，求證：；
（2）如圖②，若，，，求的長；
（3）如圖③，若，，求的值．
軸對稱
模型（十九）——海盜埋寶模型

【結(jié)論】如圖，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，則△FAB是等腰直角三角形.

【特征】⑴兩等腰直角三角形
⑵一組底角共頂點(diǎn)
⑶另一組底角頂點(diǎn)相連取中點(diǎn)

【證明】
（方法一：倍長中線法）
如圖，延長 AF至點(diǎn)P使得 FP=AF，連接 PE，PB，延長 PE交AC于點(diǎn)Q.
在△DAF 和△EPF 中，DF=EF, ∠DFA=∠EFP, AF=PF,
∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF. ∴DA∥EP.
∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.
在四邊形 EQCB 中，
∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，
∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.
又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，
∴∠QCB＝∠PEB.
在△ACB和△PEB中，AC=PE, ∠ACB＝∠PEB, BC=BE,
∴△ACB≌△PEB(SAS).
∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE
∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.
∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP 的中點(diǎn)，∴BF⊥AP,BF=AF.
∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).
（方法二∶構(gòu)造手拉手模型）
將△DAC沿 AC對稱，得△PAC，將△EBC沿 BC 對稱，得△QBC，連接EP，DQ.
易證△PCE≌△DCQ（手拉手模型），
∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的結(jié)論）.
∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線，
∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，
∴AF=BF，AF⊥BF，
∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).
1．（山東省萊城區(qū)（五四學(xué)制）2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，兩個等腰和，點(diǎn)在上，，連接，取的中點(diǎn)，連接. 求證：.
【答案】見解析
【分析】延長交于點(diǎn).利用三角形的中位線定理解答.
【詳解】如圖所示，延長交于點(diǎn).
∵為等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴為等腰直角三角形
∴
∵為等腰直角三角形
∴
∴
∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)
∴為的中位線
∴
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，能分析題意并正確的作出輔助線是關(guān)鍵.
1．（湖北省武漢市東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角項(xiàng)點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BO）的對角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（圖①?圖②），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時，該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)：BN2＝CD2+CN2，請你說明理由；
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
（3）如圖③，若AD＝8，AB＝6，E為矩形外的一點(diǎn)，且AE⊥CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，取AO的中點(diǎn)G，連接BG，當(dāng)F在線段BG上時，則BF的值為．
【答案】（1）見解析；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由見解析；（3）
【分析】（1）如圖1，連接DN，由矩形性質(zhì)，中垂線性質(zhì)，勾股定理和等量代換即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，延長MO交AB于E，方法類似（1），求證△BEO≌△DMO（AAS），進(jìn)而得NE=NM，即NE2=NM2，等量替換得出結(jié)論BN2＋DM2＝CM2＋CN2；
（3）如圖3，過點(diǎn)B做BH⊥AC于點(diǎn)H，連接FO，先由矩形性質(zhì)和勾股定理得出AC＝10，再由FO是△AEC的中位線得FO∥EC進(jìn)而得∠AFO＝∠AEC＝90°，用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半求得FG=AO=2.5，根據(jù)勾股定理進(jìn)一步求解即可．
【詳解】解：（1）連結(jié)DN，

∵矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，
∴BO=DO ，∠DCN=90° ，
∵三角板一直角邊與OD重合，
∴ON⊥BD，即ON垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠DCN=90°
∴ND2=NC2+CD2
∴BN2=NC2+CD2 ；
（2）CM2+CN2=DM2+BN2 ，理由如下：
延長MO交AB于E，
∵矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，
∴BO=DO ，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵M(jìn)O⊥ON，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE2=BE2+BN2， NM2=CN2+CM2，
∴CN2+CM2=BE2+BN2，
即CN2+CM2=DM2+BN2；
（3）當(dāng)F在線段BG上時，則BF的值為，
過點(diǎn)B做BH⊥AC于點(diǎn)H，連接FO．
∵AD＝8，AB＝6，，
∴
根據(jù)等面積可得：，
，
∵ O是AC中點(diǎn)，G是AO中點(diǎn)，AC=10，
∴AG=，
，
，
又∵F、O為AE、AC中點(diǎn)，
∴FO∥EC，
∴∠AFO=∠E=90°，
∵G為AO 中點(diǎn)，AC=10 ，
∴FG=AO=2.5，
∴在中，．
【點(diǎn)睛】這是一道四邊形綜合題，主要運(yùn)用了矩形判定與性質(zhì)，線段中垂線判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確添加輔助線，巧妙構(gòu)造特殊三角形（如：直角三角形和矩形）和靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決綜合題．
1．（專題32圖形的變化（翻折與旋轉(zhuǎn)變換）-解答題專項(xiàng)訓(xùn)練-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全國通用））如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CK，EK，CE．
(1)如圖1，若α＝45°，則△ECK的形狀為．
(2)在（1）的條件下，若將圖1中△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°），使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BE﹣AE＝2CK．
(3)若BC＝8，AC＝15，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），AD＝2CD，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)K始終為BD的中點(diǎn)，則線段CK長度的最大值是多少？請直接寫出結(jié)果．
【答案】(1)等腰直角三角形；
(2)見解析；
(3)
【分析】（1）首先利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得EK＝KB＝DK，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得∠CKE＝2∠ABC＝90°，從而得出答案；
（2）在BD上截取BG＝DE，連接CG，設(shè)AC交BD于Q，利用SAS證明△AEC≌△BGC，得CE＝CG，∠5＝∠BCG，從而解決問題；
（3）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OK，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出CO的長，再利用三角形中位線定理得OK的長，最后利用三角形三邊關(guān)系可得答案．
(1)
解：△ECK是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴CA＝CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵DK＝KB，
∴EK＝KB＝DK，
∴∠KEB＝∠KBE，
∴∠EKD＝∠KBE+∠KEB＝2∠KBE，
∵∠DCB＝90°，DK＝KB，
∴CK＝KB＝KD，
∴∠KCB＝∠KBC，EK＝KC，
∴∠DKC＝∠KBC+∠KCB＝2∠KBC，
∴∠EKC＝∠EKD+∠DKC
＝2（∠KBE+∠KBC）
＝2∠ABC
＝90°，
∴△ECK是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
(2)
證明：如圖，在BD上截取BG＝DE，連接CG，設(shè)AC交BD于Q，
∵∠α＝45°，DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝BG，
∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵AC＝BC，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴CE＝CG，∠5＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠ACB＝90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵KD＝KB，DE＝BG，
∴KE＝KG，∴CK＝EK＝KG，
∴BE﹣AE＝2CK；
(3)
解：∵AD＝2CD，AC＝15，∴AD＝10，
取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OK，
∵點(diǎn)K始終為BD的中點(diǎn)，
∴OK是△ABD的中位線，
∴OKAD＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB17，
∴OC，
∵CK≤KO+OC，
∴CK的最大值為5．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
2． (2024年遼寧省葫蘆島市綏中縣九年級一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)
(1)如圖1．若a=45，則的形狀為__________________；
(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；
(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）見解析；（3）BE-AE=2CK；
【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC，∠EKC =90°即可；
（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG，等量代換可得結(jié)論.
（3）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q，根據(jù)等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易證△CAE∽△CBG，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.
【詳解】（1）等腰直角三角形；
理由：如圖1中，
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∴CA=CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵DK=KB，
∴EK=KB=DK= BD，
∴∠KEB=∠KBE，
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，
∵∠DCB=90°，DK=KB，
∴CK=KB=KD= BD，
∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，
∴△ECK是等腰直角三角形．
（2）證明：如圖2中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q．
∵∠α=45°，DE⊥AE，
∴∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BG，
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AC=BC，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴CE=CG，∠5=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴CK=EK=KG，
∴BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．
（3）解：結(jié)論：BE-AE?tanα=2CK．
理由：如圖3中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q．
∵DE⊥AE，∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°
∵∠EQA=∠CQB，
∴∠CAE=∠CBG，
在Rt△ACB中，tanα=，
在Rt△ADE中，tanα= ，
∴， DE=AE·tanα
∴△CAE∽△CBG，
∴∠ACE=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴EG=2CK，
∵BE－BG=EG=2CK，
∴BE－DE=2CK，
∴BE－AE?tanα=2CK．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，靈活的利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3．（【萬唯原創(chuàng)】2017年安徽省中考數(shù)學(xué)-逆襲卷-特訓(xùn)18）如圖，在和中，，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在上時，求證：；
（2）如圖②，若，，，求的長；
（3）如圖③，若，，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【詳解】（1）證明：如解圖①，連接，
在中，，，
∴，
同理，
∴，
∵是的中點(diǎn)，∴，
∴.
在和中，
，
∴，
∴.
∵是的外角，
∴，
即，
∴，
∴；
第4題解圖①
（2）解：如解圖②，延長交于，連接、.
∵，
∴，∴，
∴，，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴.
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴；
第4題解圖②
（3）解：如解圖③，延長交于，連接.
∵，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，且，∴.
∵，∴，
∴是的中位線，
∴.
設(shè)，∵，
∴.
∴，.
∴.
在和中，
，∴，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，
∵，∴，
∵，∴，
連接，在中，
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
，
∴.
第4題解圖③

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